高考数学知识模块复习指导学案——直线与圆人教版（通用）

1、高考数学知识模块复习指导系列学案直线与圆【考点梳理】一、考试内容1有向线段。两点间的距离。线段的定比分点。2直线的方程。直线的斜率。直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程。直线方程的一般式。3两条直线平行与垂直的条件。两条直线所成的角。两直线交点。点到直线的距离。4圆的标准方程和一般方程。二、考试要求1理解有向线段的概念。掌握有向线段定比分点坐标公式，熟练运用两点间的距离公式和线段的中点坐标公式。2理解直线斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。熟练掌握直线方程的点斜式，掌握直线方程的斜截式、两点式、截距式以及直线方程的一般式。能够根据条件求出直线的方程。3掌握两条直线平行与垂直的条件，能够

2、根据直线的方程判定两条直线的位置关系。会求两条相交直线的夹角和交点。掌握点到直线的距离公式。4熟练掌握圆的标准方程和一般方程。能够根据条件求出圆的标准方程和一般方程。掌握直线和圆的位置关系的判定方法。三、考点简析1有向线段。有向线段是解析几何的基本概念，可用有向线段的数量来刻划它，而在数轴上有向线段AB的数量AB=xB-xA。2两点间的距离公式。不论A(x1，y1)，B(x2，y2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2-x1|或|AB|=|y2-y1|。3定比分点公式。定比分点公式是解决共线三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)

3、之间数量关系的一个公式，其中的值是起点到分点，分点到终点的有向线段的数量之比。这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后的值也就随之确定了。若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是。当P点为AB的中点时，=1，此时中点公式是。4直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。（2）斜率存在的直线，其斜率k与倾斜角之间的关系是k=tan。5确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0

4、，y0)直线上已知点，k斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1a直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0，分别为斜率、横截距和纵截距A、B不能同时为零6平面上直线与二元一次方程是一一对应的。7两条直线的夹角。当两直线的斜率k1，k2都存在且k1k2 -1时，tan=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断。另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别。8怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系

5、来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。（1）斜率存在且不重合的两条直线l1y=k1x+b1， l2y=k2x+b2，有以下结论：l1l2k1=k2l1l2k1k2= -1（2）对于直线l1A1x+B1y+C1=0， l2A2x+B2y+C2=0，当A1，A2，B1，B2都不为零时，有以下结论：l1l2=l1l2A1A2+B1B2 = 0l1与l2相交l1与l2重合=9点到直线的距离公式。（1）已知一点P（x0，y0）及一条直线l：Ax+By+C=0，则点P到直线l的距离d=；（2）两平行直线l1:Ax+By+C1=0， l2:Ax+By+C2=0之间的距离d=。10确

6、定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围。（1）圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径；（2）圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2-4F0），圆心坐标为（-，-），半径为r=。11直线与圆的位置关系的判定方法。（1）法一：直线：Ax+By+C=0；圆：x2+y2+Dx+Ey+F=0。一元二次方程（2）法二：直线:Ax+By+C=0；圆：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心（a，b）到直线的距离为d=12两圆的位置关系的判定方法。设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|

7、O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|r1+r2两圆外离；|O1O2|=r1+r2两圆外切；| r1-r2|O1O2| r1+r2两圆相交；| O1O2 |=| r1-r2|两圆内切；0| O1O2|0，x20由解得 k23。由双曲线左准线方程 x=-1且e=2，有|AM1|BM1|=e|x1+1|e|x2+1|=4x1x2+(x1+x2)+1=4(+1)=100+k2-30，|AM1|BM1|100又当直线倾斜角等于时，A(4，y1)，B(4，y2)，|AM1|=|BM1|=e(4+1)=10|AM1|BM1|=100故 |AM1|BM1|100。例2 如图9-1，已知圆C：（

8、x+4）2+y2=4。圆D的圆心D在y轴上且与圆C外切。圆 D与y轴交于A、B两点，点P为(-3，0)。（1）若点D坐标为（0，3），求APB的正切值；（2）当点D在y轴上运动时，求APB的最大值；（3）在x轴上是否存在定点Q，当圆D在y轴上运动时，AQB是定值？如果存在，求出点Q坐标；如果不存在，说明理由。解 （1）|CD|=5，（O为原点）且圆D与圆C外切，圆D半径r=5-2=3，此时，A、B坐标分别为（0，0）、（0，6），PA在x轴上，且BP的斜率k=2，tanAPB=2。（2）如图9-2，设D的坐标为(0，a)，圆D的半径为r，则(r+2)2=16+a2。设PA、PB的斜率为k1、k

9、2，又A、B的坐标分别为(0，a-r)、(0，a+r)。则k1=，k2=，tanAPB=由解出a2代入，得tanAPB=+，而8r-6为单调增函数，r2，+。tanAPB(，APB的最大值为arttan。（3）假设存在Q点，设Q(b，0)，QA、QB的斜率分别为k1，k2，则k1=，k2=，tanAQB=|=|=|将a2=(r+2)2 16代入上式，得tanAQB=|=|欲使AQB大小与r无关，则应有b2=12，即b=2，此时tanAQB=，AQB=60。存在Q点，当圆D变动时，AQB为定值60，这Q点坐标为（2，0）。例3 设正方形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）的外接圆方程为x2+y2

10、-6x+a=0（a9），C、D点所在直线l的斜率为。（1）求外接圆圆心M点的坐标及正方形对角线AC、BD的斜率；（2）如果在x轴上方的A、B两点在一条以原点为顶点，以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程；（3）如果ABCD的外接圆半径为2，在x轴上方的A、B两点在一条以x轴为对称轴的抛物线上，求此抛物线的方程及直线l的方程。解 （1）由(x-3)2+y2=9-a(a0)，由于A，B两点在抛物线上， 解出：r=，p=。得抛物线方程为y2=x。由此可知A点坐标为（1，1），且A点关于M(3，0)的对称点C的坐标是(5，-1)，直线l的方程为y -（-1）=(x-5)，即x-3y-

11、8=0。（3）将圆方程(x-3)2+y2=(2)2分别与AC、BD的直线方程：y= -(x-3)，y=2(x-3)联立，可解得A(-1，2)，B(5，4)。设抛物线方程为y2=a(x-m) (*)将A(-1，2)、B(5，4)的坐标代入(*)，得解得：a=2，m= -3，抛物线的方程为y2=2(x+3)。A(-1，2)点关于M(3，0)的对称点为C(7，-2)，故直线l的方程为y-(-2)=(x-7)，即x-3y-13=0。例4 如图9-3，已知：射线OA为y=kx(k0，x0)，射线OB为y= -kx(x0)，动点P(x，y)在AOx的内部，PMOA于M，PNOB于N，四边形ONPM的面积恰

12、为k.（1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f(x)的解析式；（2）根据k的取值范围，确定y=f(x)的定义域。解 （1）设M(a，ka)，N(b，-kb)，(a0，b0)。则|OM|=a，|ON|=b。由动点P在AOx的内部，得0y0，y=（2）由0ykx，得0kx (*)当k=1时，不等式为0。当0k1时，由不等式得x2，x，(*)x1时，由不等式得x2，且但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件yx，将它代入函数解析式，得x解得x1)，或xk（0；当0k1时，定义域为x|x1时，定义域为x|x。例5 已知函数f(x)

13、=x2-1(x1)的图像为C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。（1）求曲线C2的方程y=g(x)；（2）设函数y=g(x)的定义域为M，x1，x2M，且x1x2，求证|g(x1)-g(x2)|x1-x2|;（3）设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交。解 （1）曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数。y=x2-1，x2=y+1，又x1x=则曲线C2的方程为g(x)= (x0)。（2）设x1，x2M，且x1x2。则x1-x20。又x10， x20，|g(x1)-g(x2)|=| -|=|x1-x2|（3）设A(x1，y1)、B（x2，y2）为

14、曲线C2上任意不同两点。x1，x2M，且x1x2，由（2）知，|kAB|=|=0)，圆心O在抛物线x2=2py上运动，MN为圆O截x轴所得的弦，令|AM|=d1，|AN|=d2，MAN=。（1）当O点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；（2）求+的最大值，并求取得最大值的值。解 (1)设O(x0，y0)，则x02=2py0 (y00)，O的半径|OA|=，O的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=x02+(y0-p)2。令y=0，并把x02=2py0代入得x2-2x0x+x02-p2=0，解得xM=x0 p，xN=x0+p，|MN|=| xN xM|=2p为定值。（2）M(x0-p，0

15、) ，N(x0+p，0) d1=，d2=，则d12+d22=4p2+2x02，d1d2=，+=2=22=2当且仅当x02=2p2，即x=p，y0=p时等号成立，+的最大值为2。此时|OB|=|MB|=|NB|（B为MN中点），又OM=ON，OMN为等腰直角三角形，MON=90，则=MON=45。例7 已知函数y=log2(nN)。（1）当n=1，2，3时，把已知函数的图像和直线y=1的交点的横坐标依次记为a1， a2， a3，求证a1+ a2+ a3+ an1；（2）对于每一个n的值，设A n、B n为已知函数的图像上与x轴距离为1的两点，求证n取任意一个正整数时，以A n B n为直径的圆都

16、与一条定直线相切，并求出这条定直线的方程和切点的坐标。解 原函数可化为：y=logx。（1）y=1时，可求得x=()n，即an=()n=（）n-1，an是以为首项，为公比的等比数列。a1+ a2+ a3+ an=1-1（2）同理可以求An、Bn的横坐标，可得An、Bn的坐标分别为（，1）和（2n，-1），因此| AnBn |=2n+，因此AnBn中点C到y轴距离=，以C为圆心、AnBn为直径的圆必与定直线y轴相切，这条定直线的方程为x=0。由点C的纵坐标为0，可知从点C到y轴作垂线的垂足就是原点，即切点，所以切点坐标为(0，0)。例8 自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反

17、射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线L所在直线的方程。（1989年全国高考数学试题）解法一 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1，它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1。设光线L所在的直线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题设知对称圆的圆心C（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d=1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= -或k= -。故所求直线方程是y-3= -(x+3)，或y-3= -(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。解法二 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1，设交线L所在的直

18、线的方程是y-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题意知k0，于是L的反射点的坐标是（-，0），因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L所在直线的方程为y= -k(x+)，即y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d=1。以下同解法一。例9 设圆满足：截y轴所得弦长为2；被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31，在满足条件、的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程。（1997年全国高考数学试题）解法一 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|。由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，圆P截x轴所得的弦长为r，故r2=2b2。又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r2=a2+1。从而得2b2-a2=1。又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d=，所以5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4aba2+4b2 -2(a2+b2)=2b2-a2=1，当且仅当a=b时，上式等号成立，从而要使d取得最小值，则应有，解此方程组得或。又由r2=2b2知r=。于是，所求圆的方程是(x-