文科人教版数学教案平面向量高考总复习

1、20162016 届文科人教版数学教案届文科人教版数学教案 平面向量高考总复习平面向量高考总复习 姓名：沈金鹏沈金鹏 院 、 系：数学学院数学学院 专业:数学与应用数学数学与应用数学 2015 年 11 月 1 日 平面向量平面向量 考纲导读考纲导读 1 1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念 2 2掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律 3 3掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件 4 4了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算 5 5掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角 度和垂

2、直的问题，掌握向量垂直的条件 6 6掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌 握平移公式 7 7掌握正、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形 知识网络知识网络 向量的模 单位向量 零向量 向量的加法 相等的向量 概念 平面向量的坐标运算 向 量 向量的减法 运算 实数与向量的乘积 线段的定比分点 向量的数量积 平移公式 余弦定理 解三角形 正弦定理 高考导航高考导航 任意三角形的面积公式 向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇 点，成为多项内容的媒介 主要考查： 1 1平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四

3、边形法则及三角形法则 2 2向量的坐标运算及应用 3 3向量和其它数学知识的结合如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用 4 4正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力以化简、求值或判断三角形 的形状为主解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明 第第 1 1 课时课时向量的概念与几何运算向量的概念与几何运算 基础过关基础过关 1 1向量的有关概念 既有又有的量叫向量 的向量叫零向量的向量，叫单位向量 叫平行向量，也叫共线向量规定零向量与任一向量 且的向量叫相等向量 2 2向量的加法与减法 求两个向量的和的运算，叫向量的加法向量加法按法则或 法则进行加法满足律和律

4、求两个向量差的运算，叫向量的减法作法是将两向量的重合，连结两向量 的，方向指向 3 3实数与向量的积 实数与向量a的积是一个向量，记作 a它的长度与方向规定如下： | a | 当0 时， a的方向与a的方向 ； 当0 时， a的方向与a的方向 ； 当0 时， a (a) ()a (ab) 共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数 使得 4 4 平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一 平面内的任一向量a，有且只有一对实数 1 、2，使得 设e1、e2是一组基底，ax1e1 y1e2，bx2e1 y2e2，则a与b共线的充要条件 是 典型例

5、题典型例题 例例 1 1已知ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AD 的中点设AB a，AC b，求BE 解：BEAEAB(ABAC)AB 1 4 31 ab 44 变式训练变式训练 1. 1.如图所示，D 是ABC 边 AB 上的中点，则向量CD等于（） ABC BA BBC BA CBC BA 1 2 1 2 1 2 A D BC DBC BA 解解: :A 1 2 例例 2. 2. 已知向量a 2e13e2，b 2e13e2，c 2e19e2，其中e1、e2不共线，求实数、， 使c ab 解解: :cab2e19e2(22)e1(33)e2 222，且33 92，且 1 变式训练变

6、式训练 2 2：已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于 O 点，点P 为平面上任意一点，求证： PA PB PC PD 4PO 证明 PAPC2PO，PBPD2POPAPBPCPD4PO 例例 3. 3. 已知 ABCD 是一个梯形，AB、CD 是梯形的两底边，且AB2CD，M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，若AB a，AD b，试用 a、b 表示BC和MN 1 4 1 4 解：解：连 NC，则NC AD bMN MC CN ABCN ab；BC NC NB ba 1 2 变式训练变式训练 3 3：如图所示，OADB 是以向量OAa，OBb为邻边的平行四边形，又BM 11 BC，CNC

7、D，试用a、b表示OM，ON，MN 33 解解: :OM MN 1522 ab，ONab， 6633 B M O C 1 3 D N A 11 ab 26 例例 4. 4. 设a，b是两个不共线向量，若a与b起点相同，tR，t 为何值时，a，tb，(ab) 三向量的终点在一条直线上？ 1 3 解：解：设a tb a (a b) (R)化简整理得：(1)a (t )b 0 3 2 1 0 3 2 a 与b 不共线， t 0 t 1 23 2 3 1 3 故t uuu rr uuu rr uuu rr uuu ru r uuu rrrrru r 变式训练变式训练 4 4： 已知OA a,OB b,

8、OC c,OD d,OE e， 设tR， 如果3a c,2b d, rrr e t(a b)，那么t为何值时，C,D,E三点在一条直线上？ uuu ru rrrr uuu rrrrr 解：解：由题设知，CD d c 2b3a,CE ec (t 3)a tb，C,D,E三点在一条 uuu ruuu rrrrr 直线上的充要条件是存在实数k，使得CE kCD，即(t 3)a tb 3ka 2kb， rr 整理得(t 33k)a (2k t)b. r r 若a,b共线，则t可为任意实数； 11 时，a, tb, (a b)三向量的向量的终点在一直线上 23 r r t 33k 0 6 若a,b不共线

9、，则有，解之得，t . 5 t 2k 0 r rr r 6 综上，a,b共线时，则t可为任意实数；a,b不共线时，t . 5 小结归纳小结归纳 1认识向量的几何特性对于向量问题一定要结合图形进行研究向量方法可以解决几何 中的证明 2注意O与 O 的区别零向量与任一向量平行 3注意平行向量与平行线段的区别用向量方法证明ABCD，需证ABCD，且 AB 与 CD 不共线要证 A、B、C 三点共线，则证ABAC即可 4向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则， 特点：首尾相接首尾连； 向量减法的三角形法则特点：首首相接连终点 第第 2 2 课时课时平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算

10、基础过关基础过关 1 1平面向量的坐标表示 分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i、 j 作为基底，对于一个向量a，有且只 有一对实数 x、 y， 使得ax i y j 我们把(x、 y)叫做向量a的直角坐标， 记作 并 且|a| 2 2向量的坐标表示与起点为的向量是一一对应的关系 3 3平面向量的坐标运算： 若a(x1、y1)，b(x2、y2)，R，则： ab ab a 已知 A(x1、y1)，B(x2、y2)，则AB 4 4两个向量a(x1、y1)和b(x2、y2)共线的充要条件是 典型例题典型例题 1 AB，求点 C 的坐标 3 例例 1. 1.已知点 A（2，3），B（1，5

11、），且AC 解解AC 121111 )，即 C(1,) AB(1， )，OCOA AC(1, 3333 uuu ruuu rr 1 uuu 变式训练变式训练 1. 1.若OA (2,8)，OB (7,2)，则 AB= . 3 uuu ruuu ruuu r 解解: : (3,2)提示：AB OB OA (9,6) 例例 2. 2. 已知向量a(cos 2 5 ，sin)，b(cos，sin)，|ab|，求cos()的值 22225 解解: :|ab| 2 537225 2552 5 cos cos() 222 2 cos(2coscos( ) 2 2555555522 变式训练变式训练 2.

12、2.已知a2b(3，1)，2ab(1，2)，求ab 解解 a(1，1)，b(1，0)，ab(0，1) 例例 3. 3. 已知向量a(1, 2)，b(x, 1)，e1a2b，e22ab，且e1e2，求 x 解解: :e1(12x，4)，e2(2x，3)，e1e2 3(12x)4(2x)x 1 2 变式训练变式训练 3. 3.设a(ksin, 1)，b(2cos, 1) (0 )，ab，求证：k 3 2 2cos( sin 2 cos 证明证明: kk 3 sin ) 3 0k 3 例例 4. 4. 在平行四边形 ABCD 中，A(1，1)，AB(6，0)，点 M 是线段 AB 的中点，线段 CM

13、 与 BD 交于点 P D C (1) 若AD(3，5)，求点 C 的坐标； (2) 当|AB|AD|时，求点 P 的轨迹 P 解：解：(1)设点 C 的坐标为(x0，y0)， AC AD DB (3, 5) (6, 0) (9, 5) (x 01, y05) AMB 得 x010y06即点 C(10，6) (2) AB AD 点 D 的轨迹为(x1)2(y1)236(y1) M 为 AB 的中点P 分BD的比为 1 2 设 P(x，y)，由 B(7，1)则 D(3x14，3y2) 点 P 的轨迹方程为(x 5)2(y 1)2 4(y 1) 变式训练变式训练 4. 4.在直角坐标系 x、y 中

14、，已知点 A(0，1)和点 B(3，4)，若点 C 在AOB 的平 分线上，且|OC|2，求OC的坐标 解解 已知 A (0，1)，B (3，4)设 C (0，5)， D (3，9) 则四边形 OBDC 为菱形AOB 的角平分线是菱形 OBDC 的对角线 OD OD 3 10 OC 2 3 10 OC 2 OD ( 103 10 ,) 55 小结归纳小结归纳 1 1认识向量的代数特性向量的坐标表示，实现了 “形”与“数”的互相转化以向量为工具， 几何问题可以代数化，代数问题可以几何化 2 2由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表 示方法，由于坐标运算方便，

15、可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算 第第 3 3 课时课时平面向量的数量积平面向量的数量积 基础过关基础过关 1 1两个向量的夹角：已知两个非零向量a和b，过 O 点作OAa，OBb，则AOB (0180) 叫做向量a与b的当0时，a与b；当180时，a与 ，我们说a与b垂直，记作 b ；如果a与b的夹角是 90 2 2两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为 ，则数量 叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab规定零向量与任一向量的 b 数量积为 0若a(x1, y1)，b(x2, y2)，则a 3 3向量的数量积的几何意义： |b|cos 叫做向量b在a方向上

16、的投影 ( 是向量a与b的夹角) b的几何意义是，数量ab等于 a 4 4向量数量积的性质：设a、b都是非零向量，e是单位向量， 是a与b的夹角 eeaa ab b ；当a与b反向时，ab 当a与b同向时，a cos b| |a 5 5向量数量积的运算律： b ； a b a(b) (a) c (ab) 典型例题典型例题 例例 1. 1. 已知|a|4，|b|5，且a与b的夹角为 60，求：(2a3b)(3a2b) 解解: :(2a3b)(3a2b)4 变式训练变式训练 1. 1.已知|a|3，|b|4，|ab|5，求|2a3b|的值 解解: :6 5 例例 2. 2. 已知向量a(sin，1

17、)，b(1，cos)， (1) 若 ab，求； (2) 求|ab|的最大值 解：解：(1)若a b，则sincos 0 即tan 1而( ,)，所以 22 2 2 4 4 ) (2) a b 当 4 3 2(sincos) 3 2 2sin( 时， a b 的最大值为 2 1 rr 变式训练变式训练 2 2：已知a (cos,sin)，b (cos,sin)，其中0 r r r r (1)求证：a b与a b互相垂直； (2)若ka b与akb的长度相等，求的值(k为非零的常数) r r r r r 2 r 22222 证明：证明：Q (a b)(a b) a b (cos sin)(coss

18、in) 0 r r r r a b 与a b互相垂直 （2）kab (kcoscos,ksinsin), akb (coskcos,sinksin), rr 2k ab k 12k cos(),akb k212k cos() , 而k 12kcos() 2k212kcos() cos() 0， 2 例例 3. 3. 已知 O 是ABC 所在平面内一点，且满足(OBOC)(OBOC2OA)0，判断 ABC 是哪类三角形 解解: :设 BC 的中点为 D，则(OB OC)(OB OC 2OA)02BCAD0BCADABC 是等腰三角形. 变式训练变式训练 3 3：若A(1,2),B(2,3),C(2,5)，则ABC 的形状是. uuu ruuu ruuu r uuu ruuu ruuu r 解解: : 直角三角形.提示：AB (1,1),AC (3,3), AB AC 0, AB AC 例例 4. 4. 已知向量m(cos, sin)和n( 2sin, co