高中数学 第二章 平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向量 2.3.1 数乘向量备课素材 北师大版必修4（通用）

1、2.3.1平方向量准备授课资料一、向量的乘法的证明设a、b为任意向量，、为任意实数时(1)(a)=()a； ，(2)( )a=a a； 二(3)(a b)=a b.证明： (1)如果=0或=0或a=0，公式明显成立.如果0、0且a0，则根据向量的乘积的定义|(a)|=|a|=|a|()a|=|a|=|a|因此|(a)|=|()a|如果、相同，则式的两侧矢量的方向与a相同，如果、不同，则式的两侧矢量的方向与a相反.因此，矢量(a )和()a具有与相等的类型相同的方向，所以这两个矢量相等.(2)如果=0或=0或a=0，则明显成立.如果0、0且a0，则可分为以下两种情况：、为同一编号时，a和a为同方

2、向，因此|( )a|=| |a|=(| |)|a|)|aa|=|a|a|=| |a|=(|a|) a |，即|( )a|=|a a|根据、同一编号可知，式的两边矢量的方向与a相同，或者与a相反，式的两边矢量的方向相同.如上所述，公式成立.在、不同情况下，在的情况下，式的两边矢量的方向与a的方向相同，在0且1的情况下，如图9所示，如果平面内的任意点o为=a，=b，=a，=b，则为=a b，=a b .通过方法知道的OAB=OA1B1，|=|所以=.所以AOBA1OB1.所以=，873.aob=a1ob1。因此，o、b、B1在同一直线上。 |=|、的方向也相同.(a b)=a b。在0的情况下，可

3、以从图10同样地证明(a b)=a b .所以式也成立二、预备练习问题1.(2a 8b)-(4a-2b)等于()A.2a-b B.2b-a C.b-a D.a-b2 .如果两个非零向量e1、e2不共线，且ke1 e2和e1 ke2共线，则k的值为()A.1 B.-1 C.1 D.03 .在向量方程式2x-3(x-2a.)=0的情况下，向量x等于()A.a B.-6a. C.6a D.-a在4.a.bc中，=、EFBC、EF将A.C传递给f，如果=a .=b，则用a .b表示的形式为=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ u在5.A.Bc中，m、n、p分别是接近a.b、BC、CA

4、.边上的a .b、c的三等分点，o是a.bc平面上的任意点，如果=e1-e2，则为6.a.bc的重心是g，o是坐标原点，=a、=b、=c申请驾照：=(a b c )7 .判定向量a.=-2e和b=2e是否有公共线，有以下解法：解：a.=-2e，b=2e，b=2e .和b共线.请根据本节学到的共线知识进行评价.如果解法错误，请告诉我正确的解法.参考回答：1.B 2.C 3.C4.-a. b5.e1-e26 .证明：连接并延长A.G，使A.G与m交叉B- a .=c-a .=c-b(c-b )=(c B- 2a.)。=(cb-2a.)。=a (c b-2a.)=(a. b c )7 .评价：乍一看，上述答案简单明快。 但是，仔细研究问题后，发现其答案有问题。 这在问题的已知中，在向量e没有任何限制的情况下，应允许e=0，而在e=0的情况下，明显地是a.=0，b=0。 这是因为，在这种情况下，a .不满足定理的条件，b=a .成立的值也不是唯一的(例如=-1、=1、=2，b=a .成立)，因此无法应用定理来进行确定综上所述，这个问题应回答为：在解：(1)e=0的情况下，a.=-2e=0.由于零矢量与任一个矢量平行且平行矢量也是共线矢量，所以此时a .和b是共线.(2)e0时，a=-2