高一数学求数列的前n项和的方法人教版知识精讲（通用）

1、高一数学高一数学求数列的前求数列的前 n n 项和的方法项和的方法人教版人教版 【本讲教育信息本讲教育信息】 一. 教学内容： 求数列的前项和的方法n 二. 本周教学重、难点： 1. 重点： 求数列的前项和的方法。n 2. 难点： 灵活运用求数列前项和的方法解决问题。n 【典型例题典型例题】 1. 分类求和法： 利用转化思想，对某种数列可采用分拆，合并、重新组合的方法转化为等差，等比数 列或常数列求和。 例 1 求数列 1+1，的前项和。4 1 a 7 1 2 a 10 1 3 a )23( 1 1 n a n n 解：解： 设通项为，前项和为，则 n an n S)23( 1 1 n a a

2、 n n )23(741 ) 111 1 ( 12 n aaa S n n （1）当时，1annn n nn n nSn 2 1 2 3 2 13 2 )231 ( 2 （2）当时，1an n aa a n n a a S nn n n n 2 ) 13(1 2 )231 ( 1 1 1 1 1 2. 裂项求和法 如果一个数列的每一项都能拆成两项之差，在求和中，一般除首末两项或附近几项外， 其余各项先后抵消，那么这个数列的前项较易求出，在解决分数数列求和问题时经常用n 到。 例 2 求数列，的前项和。 21 6 32 6 ) 1( 6 nn n 解：解： 1 6 ) 1 1 1 (6) 1 1

3、1 3 1 2 1 2 1 1 (6 n n nnn Sn 3. 倒序求和法 例 3 ，求。nSn321 n S 解：解： nSn321123)2() 1(nnnSn 两式相加： ) 1(2nnSn 2 ) 1( nn Sn 4. 错位相减法 如果是等差数列，是等比数列，那么求的前项和，可用错位相减 n a n b nn ba n 法。 例 4 求的前项和。2 n nn n S 解：解： n n nS2232221 32 132 22) 1(22212 nn n nnS 两式相减： 1432 2222221 nn n nS 22) 1( 1 n n nS 练习： 1. 的通项，若，求。 n a

4、 1 1 nn an9 n Sn 解：解：912312nnSn 101 n99n 2. 求 n 21 1 321 1 21 1 1 解：解：设 ) 1( 2 nn an 1 2 ) 1 1 1 (2) 1 11 3 1 2 1 2 1 1 (2 n n nnn Sn 3. 求数列，的前项和。 2 1 4 2 8 3 n n 2 n 解：解： n n n S 28 3 4 2 2 1 1 22 1 8 2 4 1 2 1 nn n nn S 两式相减： 1 22 1 8 1 4 1 2 1 2 1 nn n n S 1111 2 2 1 22 2 1 2 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1

5、nnnn n nnn n n n S 2 2 2 4. 已知数列满足，（） n x nnn xxx 2 1 ax 1 1a 数列满足，设，为的前项和，求证： n y 1 1 n n x y 1 1 n n x x P n S n yn 1 nn PaS 证：证：由已知得) 1( 1 nnn xxx 1 11 ) 1( 11 1 nnnnn xxxxx 即 1 11 1 1 nnn xxx 1 11 1 1 nnn n xxx y ) 11 () 11 () 11 ()( 13221 21 nn nn xxxxxx ayyyaaS 11111 1) 11 ( nnn x a x a x a xx

6、 a 又 11 1 nn n x a x x P1)1 ( 11 nn nn x a x a PaS 5. 为等差数列， n a2 1 a12 321 aaa （1）求的通项 n a （2）令（）求的前项和 n nn xabRx n bn 解：解： （1） 2 1233 1 1 a da 2 2 1 d a nnan2) 1(22 （2） n nxxxxS2642 32 xS 132 2) 12(42 nn nxxnxx 两式相减： 132 22222)1 ( nn nxxxxxSx 当时，1x 2 21 )1 ( 2)22(2 x nxxnx S nn 当时，1x) 1(242nnnS 【模

7、拟试题模拟试题】 （答题时间：20 分钟） 1. 求和 n n nS3) 12(2759331 2. 已知数列满足， n a1 1 a12 1 nn aa （1）求证：是等比数列1 n a （2）求的表达式和的表达式 n a n S 3. 数列的通项公式，若，则等于多少？ n a 1 1 nn an9 n Sn 4. 已知数列的前项和为，求和 n annnSn2 2 113221 1111 nnnn aaaaaaaa 试题答案试题答案 1. 解： n n nS3) 12(353331 32 132 3) 12(3)32(33313 nn n nnS 两式相减： 132 3) 12(32323232 nn n nS 1 3) 1(3 n n nS 2. 解： （1）易知 =201 n a 1 22 1 1 1 n n n n a a a a 是等比数列1 n a （2）由（1）知是以为首项，2 为公比的等比数列1 n a2 1 a nn n a2221 1 12 n n a nS nn n )222() 12() 12() 12( 2121 n n 22 1 3. 解： nnan1 nnSn134231211n 1011n99n 4. 解： 31212 11 Sa 时，2h12)1(2) 1(2 22 1 nnnnnSSa nnn 满足上式 （） 1 a12 nan * Nn