湖南省五市十校教研教改共同体2020学年高一数学上学期12月联考试题（含解析）（通用）

1、湖南省五市十校教研教改共同体2020学年高一数学上学期12月联考试题（含解析）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对集合A,B取交集即可得到答案.【详解】，,则 ，故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算.2.下列函数与函数的图像相同的是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系相同，这两个函数是同一函数，进行判断即可【详解】对于A，=|x|与y=x（xR）的对应关系不同，不是同一函数；对于B，y=x（x0）与y=x（x

2、R）的定义域不同，不是同一函数；对于C,=x（x0）与y=x（xR）的定义域不同，不是同一函数对于D，y=lnex=x（xR），与y=x（xR）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；故选：D【点睛】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，解题时应判断它们的定义域是否相同，对应关系是否也相同，是基础题3.下列结论正确的是A. 相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等C. 水平放置的三角形的直观图是三角形 D. 水平放置的菱形的直观图是菱形【答案】C【解析】【分析】根据直观图的几何特征，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案【详解】对于A，相等的角在直观图中不一定相等，

3、如一个等腰直角三角形，画出直观图后不是等腰直角三角形，故错误；对于B，相等的线段在直观图中不一定相等，如正方形在直观图中是平行四边形，邻边不相等，故错误；对于C，三角形的直观图仍然是三角形，正确对于D，菱形的直观图不一定是菱形，也可能是矩形，故错误综上，正确的命题是C,故选：C【点睛】本题主要考查斜二测画法，要求熟练掌握斜二测画法的规则：平行性质不变，和x轴平行的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半4.已知函数，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由分段函数，可得f（-1）=，再求f（），计算即可得到所求值.【详解】由函数得f（-1）= ， f（f（-1）=f（）= - =故

4、选：A【点睛】本题考查分段函数的运用：求函数值，注意找准对应的函数关系式，考查运算能力，属于基础题5.函数的值域是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将指数x2+2x看作整体，求出指数范围，再结合指数函数性质解决【详解】令t= =，则t-1，则, t-1 函数为减函数，故当t-1, 00时可知函数g(x)单调递增，由，可得，故选：A.【点睛】本题考查构造函数问题，考查利用函数的单调性比较大小.8.点从点出发，按逆时针方向沿周长为的平面图形运动一周，两点连线的距离与点走过的路程的函数关系如图所示，则点所走的图形可能是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】认真观察函数图像

5、，根据运动特点，采用排除法解决.【详解】由函数关系式可知当点P运动到图形周长一半时O,P两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B正方形的图像关于对角线对称，所以距离与点走过的路程的函数图像应该关于对称，由图可知不满足题意故排除选项B，故选：C【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点考查学生分析问题的能力9.将一个长方体截去一个棱锥后的三视图如图所示，则棱锥的体积与剩下的几何体的体积比为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】还原三视图后，由棱锥体积公式及长方体体积公式进行计算，即可求出截去三棱锥体积与剩下的几何体体积，

6、进而得到答案【详解】如图，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，即SAa，SBb，SCc由长方体，得SA，SB，SC两两垂直， 所以VASBCSASSBCabcabc，于是VSABCVASBCabc故剩下几何体的体积Vabcabcabc，因此，VSABC：V1：5故选：C【点睛】本题考查棱柱的体积公式及棱锥的体积公式和三视图的还原问题.10.是我们熟悉的无理数，在用二分法求的近似值的过程中，可以构造函数，我们知道，所以，要使的近似值满足精确度为0.1，则对区间至少二等分的次数为A. 3 B. 4 C. 5 D. 6【答案】B【解析】【分析】根据计算精确度与区间长度和计算次数的关系满足0.1，即

7、可得出结论【详解】设对区间（1，2）至少二等分n次，此时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，则第n次二等分后区间长为，依题意得0.1，即2n10n4，即n=4为所求故选：B【点睛】本题考查了二分法求方程的近似解，精确度与区间长度和计算次数之间存在紧密的联系，可以根据其中两个量求得另一个11.如图，在边长为2的正方形中，分别为，的中点，为的中点，沿，将正方形折起，使，重合于点，在构成的三棱锥中，下列结论错误的是A. 平面B. 三棱锥的体积为C. 直线与平面所成角的正切值为D. 异面直线与所成角的余弦值为【答案】D【解析】【分析】利用翻折前后长度和角

8、度的变化，对逐个选项进行检验，即可得到答案.【详解】对选项A，翻折前，ABBE，ADDF，故翻折后，OAOE，OAOF，又OEOFO，OA平面EOF故正确；对选项B, 因为OA平面EOF，,故正确对选项C,连接OH，AH，则OHA为AH与平面EOF所成的角，OEOF1，H是EF的中点，OEOF，OHEF,又OA2，tanOHA2，故正确；对选项D,取AF的中点P，连接OP，HP，则PHAE，OHP为异面直线OH和求AE所成角，OEOF1，OA2，OPAF，PHAE，OHEF，cosOHP，故错误故选：D【点睛】本题考查立体图形的翻折问题，要注意翻折前后哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化，同时

9、考查了线面垂直的判定定理，线面角，线线角的求法等.12.中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，九章算术注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之，各以其广乘之，并，以高乘之，皆六而一”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘，将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为A. B. C. 39 D. 【答案】D【解析】【分析】根据定义列“刍童”的体积函数关系式，再根据

10、二次函数性质求最值.【详解】设下底面的长宽分别为，有则“刍童”的体积为,当时，“刍童”的体积取最大值，选D.【点睛】研究二次函数最值问题,一般通过对称轴与定义区间位置关系,确定单调性,进而确定最值取法.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若幂函数的图像过点，则的解析式为_【答案】【解析】【分析】设幂函数y=f（x）的解析式，将点代入解析式即可求得结果.【详解】设幂函数y=f（x）=x（R），其图象过点，解得=f（x）的解析式是y=故答案为：【点睛】本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题，是基础题14.表面积为24的正方体的外接球的体积为_【答案】【解析】【分析

11、】由表面积求出正方体的棱长、体对角线的长度，即得到正方体外接球的直径，求出半径即可得外接球的体积【详解】正方体的表面积为24，正方体的棱长为2，体对角线的长度为2，外接球的直径为2，半径为所以外接球的体积为，故答案为：【点睛】本题考查球的正方体的外接球问题，解答的关键是利用球的直径就是正方体的对角线15.已知，是两个不同的平面，m，n分别是平面与平面之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.(用序号表示)【答案】或【解析】【分析】m，n，由面面垂直的性质定理得mn；mn，m，n，由面面垂直的判定定理得【详解】m，

12、n，mn，由面面垂直的性质定理得mn正确；mn，m，n，由面面垂直的判定定理得正确；，n，mnm，这里m与相交、平行或m，故m不正确；mn，mn，这里n与相交、平行或n，故n不正确故答案为：m，n，mn或mn，m，n即(或).【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题16.设函数，则满足的的取值范围是_【答案】【解析】【分析】对, 两种情况分别进行求解，再取并集，可求出不等式的解集【详解】函数，要满足，只需或，即e-2x或，解得，则的解集为，故答案为:

13、【点睛】本题考查了分段函数、不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，关键是根据分段函数所划分的区间，进行分类讨论，求解不等式.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（1）求值：；（2） 若，用，表示.【答案】（1）0 （2）【解析】【分析】（1）利用指数和对数的运算法则即可得出（2）利用指对互化公式和对数的运算法则即可得出【详解】（1）原式（2）， 【点睛】本题考查指数和对数运算法则、指对互化公式的应用，属于基础题18.如图，在圆锥中，是其底面圆的直径，点在底面圆周上运动（不与，重合），为的中点.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面.【答案

14、】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）证明ODBC，利用线面平行的判定定理即可得到证明（2）证明ACOD，ACPO，推出AC平面POD，利用面面垂直的判定定理即可得到证明【详解】证明：（1）为的中点，圆心为的中点，平面，平面，平面.（2），是的中点，.底面，底面，平面，平面，平面，平面平面.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理以及面面垂直判定定理的应用，考查空间想象能力19.已知函数，其中且.（1）求函数的定义域；（2）若函数的最大值是2，求的值；（3）求使成立的的取值范围.【答案】（1） （2） （3）时满足题意的的取值范围是;时满足题意的的取值范围是【解析】【分析】（1）根

15、据对数函数的性质，真数大于0，可得函数定义域；（2）利用对数的运算法则将进行化简，转为复合函数求最值问题；（3）不等式f（x）g（x），即loga（x+2）loga（4x），利用对数的性质及运算，对底数a进行讨论，可得答案【详解】（1）要使的表达式有意义，则有：函数的定义域是（2）令，则 设，则，函数的最大值是2.即，的最大值是2.且，（3）由即：若，则,：若，则有：,时满足题意的的取值范围是时满足题意的的取值范围是.【点睛】本题考查对数函数图象和性质的应用，属于基础题20.如图，四棱锥中，平面，.（1）证明：；（2）若四面体的体积为，求四棱锥的侧面积.【答案】（1）见解析 （2） 【解析】【

16、分析】（1）由已知平面可得由，由勾股定理可得，从而得到线面垂直，由线面垂直的性质定理可得线线垂直； （2）利用体积求出AB2，然后求解EB,利用三角形和梯形面积公式即可求得四棱锥EABCD的侧面积【详解】（1）证明：在中，即：平面，平面，平面，平面，（2）解由（1）知平面 ，平面，平面，又平面，又在直角梯形中，在直角三角形中， 四棱锥的侧面积为 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查锥体的体积以及侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力21.小萌大学毕业后，家里给了她10万元，她想办一个“萌萌”加工厂，根据市场调研，她得出了一组毛利润（单位：万元）与投入成本（单位：万

17、元）的数据如下：投入成本0.5123456毛利润1.061.2523.2557.259.98为了预测不同投入成本情况下的利润，她想在两个模型，中选一个进行预测.（1）根据投入成本2万元和4万元的两组数据分别求出两个模型的函数解析式，请你根据给定数据选出一个较好的函数模型进行预测（不必说明理由），并预测她投入8万元时的毛利润；（2）若小萌准备最少投入2万元开办加工厂，请预测加工厂毛利润率的最大值，并说明理由.（）【答案】（1）17万元 （2）【解析】【分析】(1)利用给出的数据把给出的两个模型进行计算分别验证，即可找出一个比较适合的模型；(2)根据题意写出毛利润率的表达式，利用函数的单调性即可求得函数的最值.【详解】（1）先求第一个模型的解析式，由已知数据可得，解得，同理可求得选择作为较好的模型，当万元时，万元.（2）由已知，设，则， ，在上是增函数，当万元时，.【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，并会利用所建的函数单调性求函数的最值.22.已知函数在区间上的值域为.（1）求的值；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围；（3）若函数有3个零点，求实数的值.【答案】（1）1 （2） （3）-1【解析】【分析】（1）由二次函数图像性质可得的最大值必是在区间端点处取得，将端点值代入计算a值检验即可；（2）令，将y=转为关于t的函数h(t)，