上海华师大二附中2020届高一数学上册 直线预习教案上 沪教版（通用）

1、上海华师大二附中2020届高一数学上册 直线预习教案上 沪教版1.两条直线的相交、平行和重合在同一平面上的两条直线有相交、平行和重合三种位置关系，现在我们通过直线方程来表示这些位置关系。设两条直线的方程分别是， ， 若点是直线的公共点，则点的坐标是二元一次方程组 的解。若是方程组的解，则以为坐标的点是两条直线的公共点。因此直线公共点的个数与方程组的解的个数是相同的。当时，方程组有唯一解，。此时，两条直线有唯一的交点。当，时，两条直线垂直。当时，（1）若，或，则方程组无解，此时，两条直线无公共点，即两条直线平行。（2）若，则方程组有无数组解，此时，两条直线重合。1.判断下列两条直线的位置关系：（

2、1），； ， 直线相交。（2），； ， 直线重合。（3），； ， 直线平行。（4），。 ， 直线垂直。2.根据的不同取值，判断直线和的位置关系。，。，。当时，直线相交。时，直线垂直。当时，直线重合。当时，直线平行。3.已知三条直线相交于一点，求的值。直线与的交点坐标是方程组的解。 ， 。 交点， ，解得 。4.已知直线与直线的交点在第四象限，求的取值范围。 ， 。 交点在第四象限， 。 的取值范是。练习：1.已知直线和，当满足什么关系时，直线具有下列位置关系：（1）与垂直；（2）与平行；（3）与重合。（1）；（2）；（3）。2.已知直线和，求满足下列条件的的值：（1）与垂直；（2）与平行；（3

3、）与重合。（1）；（2）。（3）。两条直线的夹角定义：两条相交直线所成的锐角（或直角）叫做两条相交直线的夹角。补充：两条直线平行或重合时，称它们的夹角为。设，与的夹角为。取的法向量，方向向量；取的法向量，方向向量。设的夹角为。（1）； （2）。 当时，；当时，； ， 即 。设直线的倾斜角分别为，斜率分别为。 ， 当与垂直时，。 ， 当与不垂直时，。1.已知直线，当为何值时，直线与的夹角为。 ， ，解得 ，或。2.求过点，且与直线成角的直线方程。 已知直线的倾斜角是， 所求直线的倾斜角是，或。当时，；当时，。3.在等腰直角三角形中，直角顶点为，斜边所在直线方程为，求两条直角边所在直线的方程。 ，

4、直角边所在直线与斜边所在直线的夹角是， 。 ；。 ，即 ；，即 。 ， ，即 ；，即 。4.直线过点，且与直线和轴围成等腰三角形，求直线的方程。当是等腰的底边时，；当是等腰的底边时，；当是等腰的底边时，若，则；若，则。5.已知，直线是内的平分线，求点的坐标。设点关于直线的对称点是。 点的坐标是。6.已知直线过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为，问满足条件的直线有多少条？设直线方程是。由已知 。，或 。 满足条件的直线有条。7.已知定点和定直线，动点分别在轴和直线上移动，且满足，求的面积取最小值时点的坐标。设。 ， ，即 。，当时，取等号。 点的坐标是，或。设。，。 ， 当时，取最大值，点的坐标

5、是，或。点到直线的距离1.问题提出在坐标平面上，已知点和直线，求点到直线的距离。2.学生研究 要求学生每人独立制定解决问题的方案（至少一个）； 分组交流研究方案，互相评价，提出建设性意见，完善方案。3.师生活动每组推选一名代表进行课堂交流，师生一起评价；教师介绍若干解决问题的方案。解法1：过点作直线的垂线，交直线于点。 ， 。，。 ，。 ，即 。 解法2：当时，过点分别作轴、轴、直线的垂线，交直线于点、点、点。 ， 。 。（*）当，；当，；均适合（*）式。 。 解法3：过点分别作轴、直线的垂线，交直线于点、点。当是锐角时，；当是钝角时，。 。命题：若，则，当且仅当时，取等号。证法1：。证法2：

6、设。 ， 。解法4：设是直线上的点。 ，当且仅当时，取等号， 。解法5：过点作直线的垂线，垂足是点。设是与平行的单位向量。 ， 。 ，或 ， 。解法6：过原点作直线的垂线，垂足是点，。设以轴正向为始边、为终边的角为，叫做法线的幅角，。直线的点法向式方程是，即 。 法线式方程当时，把直线的法线式方程是，设点且与直线平行的直线是。 ， 。当时，。当时，。当时，同理可得 。点到直线、直线的距离分别是。当点与点在直线的异侧时，与同号，；当点与点在直线的同侧时，与异号，。1.已知两条平行直线方程分别是，求两条平行直线之间的距离。设。两条平行直线之间的距离等于点到直线的距离。 ， 。2.已知等腰三角形两腰

7、的方程分别是，点在底边所在的直线上，求底边所在直线的方程。设是顶角平分线上的点。 ， 顶角平分线方程是，。 底边所在直线的斜率分别是和， 底边所在直线的方程是，。3.求直线，使得两点，到它的距离都是。当在直线的同侧时，直线与直线平行，。设，即 。 。当在直线的异侧时，直线过线段的中点。若直线的斜率不存在，则。若直线的斜率存在，则，即 。4.已知直线过点，直线过点，且，与的距离是。（1）求的取值范围；当均与轴垂直时，。当的斜率都存在时，。 ， 。令 ， 变形，得 。当时，；当时，令 ，解得 。 的取值范围是。（2）当取最大值时，求两条直线的方程。 当时， 所求的直线方程是，。直 线 综 合一.醒

8、脑健脾练习1.若直线的斜率，则其倾斜角的取值范围是 。2.若三点共线，则实数。3.若直线不能化为截距式方程，则的取值范围是 。4.直线通过第一、第二、第三象限的充要条件是。5.若点不在直线上，则过点且与直线平行的直线方程是 。6.点到直线的距离是。7.点关于直线的对称点的坐标是。8.若直线与直线垂直，则实数。9.直线到直线的角是。10.若点在直线运动，则的最小值是。二.铭心刻骨范例1.已知的三个顶点是，其中。根据下列条件确定的值。（1）的重心是； ， 。（2）的垂心是； ， ，解得 。 （3）的外心是； 的垂直平分线方程是，即 ， 用代入上式，得 。 。（4）的内心是。，即 。设点关于直线的对

9、称点为。， 。2.设，求直线，使得两点到它的距离都是。（1）点、点在直线的同侧。 ， 设，即 。 点到直线的距离是， ，解得 。 所求的直线方程是 ，。（2）点、点在直线的异侧。此时直线过线段的中点，即过坐标原点。若直线的斜率不存在，则。当时，合乎要求。若直线的斜率存在，则设直线方程为。 点到直线的距离是， 。 化简，得 （1）当时，。若，则。当时，方程（1）无解。当时，方程（1）有重根，。当，或时，方程（1）有两个不等实根 ，。当时，满足条件的直线有四条: ，；当时，满足条件的直线有四条:；当时，满足条件的直线有三条:；当时，满足条件的直线有两条:。3.已知，动点沿折线从起点出发运动到终点，

10、动点沿线段从起点出发运动到终点，动点同时从起点出发，经过1秒钟同时到达终点。（1）若动点可以相遇，求的值；设。，。令。当时，由 ，得 （舍）。当时，由 得 。（2）若，问何时取最小值？并求出。 ， 当时，当时，。当时，当时，。 当时，。4.已知矩阵满足为单位矩阵。（1）求的值； ， 。（2）设。矩阵变换可以将点变换为点。当点在直线上移动时，求经过矩阵变换后点的轨迹方程。 ，即 ， 。 点在直线上， ，即点的轨迹方程是。（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由。垂直于坐标轴的直线不合要求。设，。 ， 。当时，无解。

11、当时，。解得 ，或 。 所求直线是。三.活血舒筋作业1.若点到轴、轴的距离之比是，且到两点的距离相等，则点的坐标是。2.若点既是为端点的线段的三等分点，又是线段的中点，则的坐标是。3.若过点的直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角的取值范围是。4.过点，且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线的方程是 。5.已知直线与直线的夹角平分线方程是。若直线的方程是 ，则直线的方程是。6.若直线与直线垂直，则的值是。7.若三条直线和交于一点，则。8.已知直线，根据下列条件确定实数的值。（1） 直线在轴上的截距是；令，得 ，解得 。（2）直线的斜率是1。 ， 。9.已知直线。（1）求点关于直线的对称点的坐标

12、；设. ， 。（2）求直线关于点的对称直线的方程。设是直线上的任意点，存在直线上的点，使点与点关于点对称。 ， 。代入直线的方程，得。10.已知直线过坐标原点。若三点到直线的距离的平方和最小，求直线的方程。若直线的斜率不存在，则三点到直线的距离的平方和为。若直线的斜率存在，则设。若，则。若，则由，得 。 当时， 直线的方程是。直线综合试卷一.填空题1.若点在直线上的射影为关于原点的中心对称点，则的点法向式方程。2.直线关于点的对称直线方程是。3.点关于直线的对称点的坐标为。4.若光线沿直线射入，遇到直线立即反射，则反射光线所在的直线的方程是。5.若直线的倾斜角是直线的一半，则的值为。6.若点，

13、直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是。7.过点且和原点距离是的直线方程是。8.若点在直线上，则直线 必过定点。9.若的顶点坐标为，则的平分线所在的直线方程为。10.无论取何值，直线都经过定点。11.若用记号表示函数中的最小值，则函数 的最大值为。12.若集合，且为单元素集合，则的取值范围是。二.选择题13.方程表示的图形是 （ ）（）一条直线； （）两条相交直线； （）两条平行直线； （）圆。14.直线的倾斜角的取值范围是 （ ）（）； （）； （）； （）。15.方程所表示的封闭图形的面积是 （ ） （）； （）； （）； （）。16.若直线与直线是同一个圆的两条切线，则该圆的面积等于 （ ）（）； （）； （）； （）。三解答题17.如图所示，中，是斜边上的点，且，求。设。 ， 。 ， 。 ， 。 。18.已知，在轴上求点和点：（1）使最小；设点关于轴的对称点为。 ， 当三点共线时，取最小值。 ， 令 ，得 。（2）使最大。 ， 当三点共线时，取最大值。 ， 令 ，得 。19.已知点，点和点分别在直线和上，求周长的最小值。关于和的对称点分别为。20.证明：三角形的垂心、重心和外心三点共线。设，为在上的射影，分别是的中点。分别是三角形的垂心、重心和外心。 ， 。令，得 。 的中垂线方程是，的中垂线方程是， 。，。 ， 。 三点共线，且