《考研高等数学公式和知识点》

1、仅含高数公式（不含线性代数和概率统计）高等数学公式全导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：诱导公式： 函数角Asincostgctg-sincos-tg-ctg90-cossinctgtg90+cos-sin-ctg-tg180-sin-cos-tg-ctg180+-sin-costgctg270-cos-sinctgtg270+-cossin-ctg-tg360-sincos-tg-ctg360+sincostgctg和差角公式： 和差化积公式：倍角公式：半角公式：正弦定理： 余弦定理： 反三角函数性质：高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）

2、公式：中值定理与导数应用：曲率：定积分的近似计算：定积分应用相关公式：空间解析几何和向量代数：多元函数微分法及应用微分法在几何上的应用：方向导数与梯度：多元函数的极值及其求法：重积分及其应用：柱面坐标和球面坐标：曲线积分：曲面积分：高斯公式：斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：常数项级数：级数审敛法：绝对收敛与条件收敛：幂级数：函数展开成幂级数：一些函数展开成幂级数：欧拉公式：三角级数：傅立叶级数：周期为的周期函数的傅立叶级数：微分方程的相关概念：一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*)式的通解两个不相等实根两个相等实根一对共轭复根二阶常系数非齐

3、次线性微分方程高等数学知识点一.函数的概念1用变上、下限积分表示的函数考研数学知识点-高等数学公式 1xlimsin= 1x0x（1）y = 0xf( )dt ，其中f ( )连续，则dy=f ( ) + 1 nu + 1 ( )dx公 式2 lim1n=n e；lim 1u=u e ；y = 12( )( )（2）fdt ，其中 1( ) ，2( ) 可导，f ( )1( + v)v= elim 1连续，v0则dydx=f2( )2( )f 1( )1( )4用无穷小重要性质和等价无穷小代换5用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和2两个无穷小的比较设 lim f ( ) = 0 ， l

4、im g( ) = 0 ，且 limf ( )数学二）x2xn( )g( )=l当x 0 时，ex= 1 + x + +2!n!0（1） l = 0 ，称 f ( ) 是比 g( ) 高阶的无穷小，记以35( ) ( ) x2n+1+0( )n+1( )f=0g( )，称 g( ) 是比f ( ) 低阶的无穷sin x = x x+x+ +3!5!242n +1 !( ) ( )x2n+0( )n小。（2） l 0 ，称 f ( ) 与 g( ) 是同阶无穷小。cos x1xx=+2!4!232n !nn( )()xx( )+x（3） l = 1 ，称f ( ) 与 g( ) 是等价无穷小，记

5、以f ( ) g( )ln 1+ x= x +233511n+n+0xx( )n+1x21( )+13常见的等价无穷小arctan x = x +351n +21+ 0当 x 0 时( ) x ( ) 1=1+x+( ) 1 ( )1 xn( )sin x x ，tan x x ，arcsin x x ，arctan x x2!x2+!n+0121 cos x x，2(1 + x) 1 xex1 x，ln(1 + x) x，6洛必达法则0lim f ( ) = 0 ，lim g( ) = 0法则 1（0型）设（1）二求极限的方法1利用极限的四则运算和幂指数运算法则2两个准则准则 1单调有界数列

6、极限一定存在（1）若 xn+1 xn（ n 为正整数）又 xn m （ n 为正整数），则 lim xn= A 存在，且 A m（2） x 变化过程中， f ( ) ， g( ) 皆存在f ( )（3） limg( )=A （或 ）f ( )则 limg( )=A （或 ）n（2）若 xn+1 xn（ n 为正整数）又 xn M （ n 为正（注：如果 limf ( )g ( )不存在且不是无穷大量情形，则整数），则limn=xnA 存在，且A M不能得出 limf( )不存在且不是无穷大量情形）准则 2（夹逼定理）设 g( ) f ( ) ( ) x若 lim g( ) = A ， lim

7、h( ) = A ，则 lim f ( ) = Ag ( )lim f ( ) = ，lim g( ) = 法则 2（型）设（1）3两个重要公式1（2） x 变化过程中， f ( ) ， g( ) 皆存在Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月f ( )（3） limg( )=A （或 ）f ( )则 limg( )=A （或 ）7利用导数定义求极限考研数学知识点-高等数学值，如果对于区间 b 上的任一点 x ，总有f ( ) M ，则称 M 为函数 f ( ) 在 b上的最大值。同样可以定义最小值 m 。定理 3（介值定理）如果函数 f ( ) 在闭区间 b上基本公式： limx0

8、存在(fx0+ x) ( ) x0x=f ( ) 如果连续，且其最大值和最小值分别为 M 和 m ，则对于介于 m和 M 之间的任何实数 c ，在 b 上至少存在一个 ，使得8利用定积分定义求极限f ( ) = c基本公式lim1nn k f = n 1( )fdx 如果存在推论：如果函数 f ( ) 在闭区间 b上连续，且 f ( )n=k1三函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点0与 f ( ) 异号，则在 ( )b内至少存在一个点 ，使得f ( ) = 0设 x0是函数 y =f ( ) 的间断点。如果 f ( ) 在间断点x0处的左、右极限都存在，则称 x0是 f

9、( ) 的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。这个推论也称为零点定理五导数与微分计算1导数与微分表( )=0d ( ) = 0( )1= x（ 实常数）d ( ) = x1dx（ 实常数）()d sin x = cos xdxsin x =cos x(cos x)= sin xd cos x = sin xdx()sec2四闭区间上连续函数的性质tan x =xtan= sec2dxxdx()= csc2cot= csc2在闭区间 b 上连续的函数 f ( ) ，有以

10、下几个基本cot x()xdxxdx性质。这些性质以后都要用到。sec x =sectanxxsec= sectandxxxdx定理 1（有界定理）如果函数f ( ) 在闭区间 b上()=csc= csccotcsc xcsccotxxdxxxdx连续，则 f ( ) 必在 b 上有界。定理 2（最大值和最小值定理）如果函数 f ( ) 在闭(logax)=1lnxadx(a 0, a 1)(a 0, a 1)区间 b 上连续，则在这个区间上一定存在最大值 M 和log=dax( )x =1lnxad ln x =1dx最小值 m 。其中最大值 M 和最小值 m 的定义如下：定义设 f ( )

11、0= M 是区间 b上某点 x0处的函数2x( )=axln a (a 0, a 1)dax= axln adx (a 0, a 1)xEdited by 杨凯钧 2005 年 10 月( )=exdex= exdx考研数学知识点-高等数学 ( )存在，且 ( ) 0 ，则()=1=1dy ( )( ( ) 0)arcsin x1x21d arcsin x1x21dxdx= ( )二阶导数(arccos x)=1x2d arccos x = 1x2dx2d dy d dy ( ) ( ) ( ) ( )11dy=dx=dx1=(arctan x)=+1x2d arctan x =+1x2dxd

12、x2dxdtdx ( )3(arc cot x)1= +cot1dt(+1x2)=darcx = +1x21dx5反函数求导法则22ln x +xa+22xa设y =f ( ) 的 反 函 数 x = g( ) ， 两 者 皆 可 导 ， 且(+22)=1f ( ) 0d ln x +xa(+22xadx则g ( )1=1( f ( ) 0)22ln x +xa)=122xa=f( )f g ( )1()1( )d( )f 122d ln x +xa=22xadx二阶导数 g ( ) =dgydy=dxdy2四则运算法则dx f ( ) ( )x ( )g ( )=f = f ( )= fg(

13、 )( f ( ) 0) f ( ) ( )x =f ( ) ( ) ( ) ( )g x f ( )f( ) ( ) ( ) ( )g x f ( )3 f g ( )3g( ) =g2( )(g( ) 0)6隐函数运算法则设y = y( ) 是由方程 F ( ) y= 0 所确定，求 y 的方3复合函数运算法则设 y =f ( ) ，u = ( ) ，如果 ( ) 在 x 处可导，f ( )在对应点 u 处可导，则复合函数 y =f ( )在 x 处可导，且有法如下：把 F ( ) y= 0 两边的各项对 x 求导，把 y 看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出 y 的表达式（允

14、dydx=dy dudu dx=f ( ) ( )许出现 y 变量）对应地dy =f ( )du =f ( ) ( )dx7对数求导法则先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导由于公式 dy =f ( )du 不管 u 是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。4由参数方程确定函数的运算法则方法得出导数 y 。对数求导法主要用于：幂指函数求导数多个函数连乘除或开方求导数x = ( )，( )y = y( ) ，其中 ( ) ，y = f ( )g( )常 用 的 一 种 方 法设y = 确定函数3关 于 幂 指 函 数Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月考研数学

15、知识点-高等数学y = eg( ) ln f ( )这样就可以直接用复合函数运算法则进行。8可微与可导的关系f ( ) 在 x0处可微 f ( ) 在 x0处可导。9求 n 阶导数（ n 2 ，正整数）（1）在闭区间 b 上连续；（2）在开区间 ( )b内可导；则存在 ( )b，使得f ( ) ( ) a先求出y, y , , 总结出规律性，然后写出 y( )，最后ba=f( )用归纳法证明。或写成 f ( ) ( )( )(b a)(b)有一些常用的初等函数的 n 阶导数公式a=f a 0,a 1)( )ax( ) an(有 时 也 写 成f (x 1)0+ x) ( )x0(=f x0+x

16、) x（2） y = axa（3） y = sin xy=y( )= sin + xn 0这里 x0相当 a 或 b 都可以， x 可正可负。2推论 1若 f ( ) 在( )b内可导，且 f ( ) 0 ，则 f ( )（4） y = cos x (5)y = ln xyy( )= cos + xn 2( )=( ) ( 1n1)!x n在 ( )b内为常数。推 论2 若f ( ) ， g( ) 在 ( )b内 皆 可 导 ， 且两个函数乘积的 n 阶导数有莱布尼兹公式( )g ( )nu( ) ( )( )= k=0kCnu( )( )v(nk) ( )f ，则在 ( )b内 f ( )

17、= g( ) + c ，其中 c 为一个常数。三柯西中值定理（数学四不要）其 中Ckn=(n!)，u( )( ) ( ) x，设函数 f ( ) 和 g ( ) 满足：v( )( ) ( ) xk! nk（1）在闭区间a,b 上皆连续；（2）在开区间 ( )b内皆可导；且 g( ) 0假设u( )和 v( ) 都是 n 阶可导。微分中值定理则存在 ( )b使得一罗尔定理设函数 f ( ) 满足f( ) ( )a=f( )(a b)g( ) ( )ag ( )（1）在闭区间 b上连续；（2）在开区间( )b内可导；（3） f ( ) =f ( )则存在 ( )b，使得 f ( ) = 0二拉格朗

18、日中值定理设函数 f ( ) 满足（注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形 g( ) = x 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。）四泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二）定理 1（皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式）设 f ( ) 在 x0处有 n 阶导数，则有公式f ( ) =f ( )+f( )(0x x0) +f( )(0x x0)2+ +f( )( )(0x x0)n+ R( )01!2!nn4Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月(x x0)考研数学知识点-高等数学的一个极小值，称 x0为函数f ( ) 的一个极小值点。其中 Rn( ) = 0(x x0)n(x

19、0)函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值余项。x 称为皮亚诺点统称极值点。lim(Rn( )n= 0 2必要条件（可导情形）xx0xx0设函数f ( ) 在 x0处可导，且 x0为f ( ) 的一个极值前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同 情 形 取 适 当 的n， 所 以 对 常 用 的 初 等 函 数 如(x)1 + x) （ 为实常数）等的 nex,sin x,cos x,ln 1 +和 (阶泰勒公式都要熟记。定理 2（拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式）设 f ( ) 在包含 x0的区间 ( )b内有 n +1 阶导数，在 b上有 n 阶连续导数，则对 x b ，有公

20、式点，则f ( )= 0 。我们称 x 满足 f ( ) = 0 的 x0为 f ( ) 的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。 3第一充分条件( ) ( )f( )( ) ( )( )+0x00xxfxxx+f( )( )( )x x0n+R ( )设 f ( ) 在 x0处连续，在 0 x x0 0 ，而在 (x0, x0+ ) 内的任一点 x 处，有f ( ) 0 ，则 f ( )0为极大值， x0为极大值点；2如果在 (0)x0 , x内的任一点 x 处，有n数，这在后面无穷级数中再讨论。导数的应用：一基本知识f (

21、) 0 ，则 f ( )为极小值， x0为极小值点；1定义设函数 f ( ) 在 ( )b内有定义， x0是 ( )b内的某一3如果在 (0)x0 , x内与 (x0, x0+ ) 内的任一点点，则如果点 x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x(x x0) ，总有 f ( ) f ( )0，则称 f ( )0为函数f ( )5x 处， f ( ) 的符号相同，那么f ( )0不是极值， x0不是极值点。 4第二充分条件设函数f ( ) 在 x0处有二阶导数，且f ( )0= 0 ，f ( ) 0 ，则当 f ( ) 0 时， f ( )为极小值， x0为极小值点。Edited by 杨凯钧

22、 2005 年 10 月二函数的最大值和最小值考研数学知识点-高等数学y =f ( ) 在 ( )b内是凸的。 1求函数 f ( ) 在 b 上的最大值和最小值的方法首 先 ， 求 出f ( ) 在( )b内 所 有 驻 点 和 不 可 导 点x1, , xk，其次计算 f ( ), , f ( ) ( ) ( )kfb。最后，比较 f ( ) , , f ( ) ( ) ( )kfb，其中最大者就是 f ( ) 在 b上的最大值 M ；其中最小者就是 f ( ) 在 b上的最小值 m 。2最大（小）值的应用问题求曲线 y =f ( ) 的拐点的方法步骤是：第一步：求出二阶导数f ( ) ；第

23、二步：求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点 x1、 x2、 xk；第三步：对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；第四步：求出拐点的纵坐标。四渐近线的求法 1垂直渐近线首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大（小）值。若xalim+f ( ) = 或xalimf( ) = 三凹凸性与拐点 1凹凸的定义则 x = a 为曲线 y =f ( ) 的一条垂直渐近线。2水平渐近线设 f ( ) 在区间 I 上连续，若对任意不同的两点x1, x2，若 limf ( ) = b ，或 limf ( ) = b恒有 x1+

24、x1 x1+ x1x+则 y = b 是曲线3斜渐近线( )xy =f ( ) 的一条水平渐近线。f 2 f ( ) ( )1fx2f 2 0 ，则曲线y =f ( ) 在( )b内是凹的；的曲率半径，在 M 点的法线上，凹向这一边取一点 D ，使 MD = R ，则称 D 为曲率中心，以 D 为圆心， R 为半径的圆周称为曲率圆。不定积分一基本积分公式x+1如果在( )b内的每一点 x ，恒有 f ( ) 0, a 1)（1） f (+)=(+) (+)ln a exdx = ex+ C 4 =+(a 0)axb dx1a)faxbaxb() ()cos xdxsin xC（2） f (+n

25、1=1+n+ 5 = +axnb xdx(a 0, n 0)nafaxnbaxbsin xdxcos xC1dxf ( ) ( ) ln x 6 sec2xdx = cos2dx = tanx+xC（3） f ( ) xx= 7csc2xdx=1dx= +cot xC1 dx= 11sin2x（4） ffd 8 tansecxxdx= sec+xC x x2 x x cotcsc= csc+（5） f( )dx=2 f ( ) ( )x 9 10xxdx tan xdx = ln cosxC+xC（6） f ( )xx=1( ) ( )x 11 cot xdx = ln sin+xC(a 0,

26、 a 1)adxln af( )( ) ( ) 12 13sec cscxdxxdx=+ln sec xtanln csc xcot+xC+xCfexdx =f)（7） f (sin xcos xdx= f(sinx) (sinx) 14 dx22= arcsinxa+ C(a 0)（8） f ()cos x sinxdx= f(cosx) (cosx)ax（9） f ()= () ()dx 15 +22ax=1 arctanaxa+C(a 0)tan x sec2（10） f ()xdxf= tan(xtan) (x)dx=1+ax+(a 0)cot xcsc2xdxfcotxcotx 16

27、 22ax2alnaxC)（11） f (sec x sectanxxdx= f(secx) (secx)dx= ln2+(a 0)（12） f ()csc xcsccotxxdx= f(cscx) (cscx) 1722xax +x2 aC（13） f (arcsin x)1 x2dx = f (arcsin x) (arcsin x)二换元积分法和分部积分法 1第一换元积分法（凑微分法）设 f ( )du = F ( ) + C ，又 ( ) 可导，则u( ) f ( )du令= （14） （15） f (arccos x)1 x2f (arctan x)1 + x2dx = f (arc

28、cos x) (arccos x)dx = f (arctan x) (arctan x) f ( ) ( )dx = f ( )d ( )(cot)farcxdx = () (cot)( )= F+C = F( )+ C（16）1 + x2farc cot xarcx这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就7Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月1 考研数学知识点-高等数学( )(0)2 f arctanAl2xx然后再作下列三种三角替换之一：x = 1 （17）dxfarctan1d arctan（1 + x218x x ）根式的形式所作替换三角形示意图（求反函数用）(

29、+22)( (ln()+fln xxa= +22+2222dxfln xxadxxaa2 x2x = a sin t（+xa(a 0) (+)19(d(ln()）)a2+ x2x = a tan t22f ln xxa= +2222+22xa(a 0)f ( )dxf ln xxaxxax2 a2x = a sec t（20） f ( )dx = ln f ( ) + C( f ( ) 0)3分部积分法 2第二换元积分法设 u( )， v( ) 均有连续的导数，则设x = ( )可导，且 ( ) 0，若 u( ) ( ) ( ) ( )v xv( ) ( ) f ( ) ( )dt = G(

30、) + C ，或 u( ) ( )=( ) ( ) u( ) ( )则dxudx( )x =( ) ( ) ( )( )G 1 ( )+ C使 用 分 部 积 分 法 时 被 积 函 数 中 谁 看 作 u( ) 谁 看 作 fdx令 f( )其中t = 1为=dtGx = ( )的反函数。+ C =v( ) 有一定规律。（1） Pn( )eax， Pn( )sin ax ， Pn( )cos ax 情形，第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类：+Pn( ) 为 n 次多项式， a 为常数，要进行 n 次分部积分法，第一类：被积函数是 x 与n

31、ax + b 或 x 与 naxb+cxd或每次均取 eax， sin ax ， cos ax 为 v( ) ；多项式部分为u( ) 。由 ex构成的代数式的根式，例如aex+ b 等。（2） Pn( )ln x ， Pn( )arcsin x ， Pn( )arctan x 情只要令根式 ng( ) = t ，解出 x = ( )已经不再有根式，那么就作这种变量替换 x = ( )即可。形 ， Pn( ) 为 n 次 多 项 式 取 Pn( ) 为 v( ) ， 而 ln x ，arcsin x ， arctan x 为 u( ) ，用分部积分法一次，被积函2+( 0)第二类：被积函数含有A

32、xBxCA，数的形式发生变化，再考虑其它方法。如果仍令Ax2+ Bx + C = t 解出 x = ( ) 仍是根号，那eaxsin bx ，eaxcos bx 情形，进行二次分部积分（3）么这样变量替换不行，要作特殊处理，将 A 0 时先化为A(x x0)2 l2，A 0时，先化为8法后要移项，合并。（4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微Edited by 杨凯钧 2005 年 10 月分法，使尽量多的因子和 dx 凑成一定积分的概念与性质1定积分的性质（1） af ( )dx = ab( )bfdx考研数学知识点-高等数学x b 称为变上限积分的函数定理：（1）若 f ( ) 在

33、 b 上可积，则 F ( )在 b 上连续= axf( )dt（2） af ( )dx = 0（2）若 f ( ) 在 b上连续，则 F ( ) = axf( )dt 在（ba( )( )3b( )b( )） b 上可导，且 F ( ) = f ( )kf+ kf=+1122dxk1f1dxk2fdx( )a（4）bf ( )c( )ab( )a2推广形式：设 F ( ) = 1( )( )2fdt ，1( ) ( ) x可导，a之外）dx = afdx +cfdx（ c 也可以在 bf ( ) 连续，（5）设 a b ， f ( ) ( ) x(a x b)，则则 F ( )=f2( )2( )f 1( )1 ( )b( )( )afdx bgdxa2牛顿一莱布尼兹公式（6）设 a b ， m f ( ) M(a x b)，则() bf ( )dx M (b a)m baa设 f ( ) 在 b 上可积，F ( ) 为 f ( ) 在 b 上任意一个原函数，则有 bf ( )dx = F ( )b= F( ) F( )b( )( )（7）设 a b ，则 afdx bfdxaaa（8）定积分中值定理设 f ( ) 在 b上连续，则存在 b，使bf( )dx = f (