正方形的判定

1、.,18.2.3正方形的判定,18.2.3 正方形 第2课时,.,你觉得什么样的四边形是正方形呢?( 判断一个四边形是正方形有哪些方法？）,.,平行四边形,矩形,菱形,正 方 形,正方形、菱形、矩形、平行四边形四者之间有什么关系？,.,正方形的判定方法：,(可从平行四边形、矩形、菱形为基础）,对角线相等,对角线互相垂直,.,5种判 定方法,三个角是直角,四条边相等,一个角是直角,或对角线相等,一组邻边相等,或对角线垂直,一组邻边相等,或对角线垂直,一个角是直角,或对角线相等,一个角是直角且一组邻边相等,平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结,.,正方形的判定方法1：,定义:一组邻边相等且有一

2、个角是直角的平行四边形是正方形,求证:四边形ABCD是正方形.,证明:,四边形ABCD是平行四边形,A=900,又AB=BC,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是平行四边形,A=900.AB=BC,四边形ABCD是矩形.,.,正方形的判定方法2：,有一个组邻边相等的矩形是正方形,求证:四边形ABCD是正方形.,证明:,四边形ABCD是矩形,又AB=BC,AB=BC=CD=AD,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是矩形,AB=BC.,A=B=C=D=90，AD=BC,AB=CD.,.,正方形的判定方法3,有一个角是直角的菱形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,分析

3、:要证明四边形ABCD是正方形,可转化为证明有一组邻边相等的矩形即可.,证明:,AB=BC,C=A=900,B=1800-A=900.,A=B=C=900.,四边形ABCD是矩形.,四边形ABCD是菱形,A=900,AB=BC,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是菱形,A=900.,.,对角线互相垂直的矩形是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,证明:,ABC=900,四边形ABCD是平行四边形.,ACBD,四边形ABCD是菱形.,ABC=900.,四边形ABCD是矩形,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是矩形,且ACBD.,正方形的判定方法4,.,对角线相等的菱形

4、是正方形.,求证:四边形ABCD是正方形.,证明:,AB=BC,四边形ABCD是平行四边形.,AC=BD,四边形ABCD是矩形.,AB=BC,四边形ABCD是菱形,四边形ABCD是正方形.,已知:四边形ABCD是菱形,且对角线AC=BD.,正方形的判定方法5,.,归纳：,正方形的5种判定方法,2、有一个组邻边相等的矩形是正方形,3、有一个角是直角的菱形是正方形.,4、对角线互相垂直的矩形是正方形.,5、对角线相等的菱形是正方形.,1、定义:一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形,.,(1)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（ ） (2)如果一个菱形的对角线相等，那么它一定 是正方形

5、 （ ） (3)如果一个矩形的对角线互相垂直，那么它 一定是正方形 （ ） (4)四条边相等，且有一个角是直角的四边形 是正方形（ ） (5)四个角都相等的四边形是正方形 ( ) (6)四条边都相等的四边形是正方形 ( ),练习1,判断题:,.,1、下列命题正确的是（ ） A、四个角都相等的四边形是正方形 B、四条边都相等的四边形是正方形 C、对角线相等的平行四边形是正方形 D、对角线互相垂直的矩形是正方形,D,例1:,.,练习2四个内角都相等的四边形一定是（ ） A、正方形 B、菱形 C、矩形 D、平行四边形,练习 3在四边形ABCD中，O是对角线的交点 能判定这个四边形是正 方形的是：（

6、） AAOBOCODO，ACBD BADBC AC CAOCO BODO ABBC DACBD,C,A,.,练习4 四个内角都相等，四条边也都相等 的四边形一定是：（ ） A正方形 B菱形 C矩形 D平行四边形,A,.,练习5、已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O。,若AB=BC，则四边形ABCD是（ ） 若AC=BD，则四边形ABCD是（ ） 若BCD=900，则四边形ABCD是（ ） 若OA=OB，则四边形ABCD是（ ） 若AB=BC，且AC=BD，则四边形ABCD是 （ ）,菱形,矩形,矩形,矩形,正方形,.,例2、直角三角形ABC中，CD平分ACB交AB于D，D

7、EAC，DFAB。求证：四边形CEDF是正方形。,四边形ABCD是正方形（ ), DE=DF( ),DEAC， DFBC, CD平分ACB, 四边形ABCD为矩形( ),而ACB=90, DEC=90， DFC=90,证明： DEAC，DFAB,有三个角是直角的四边形是矩形,角平分线的定理,有一组邻边相等的矩形是正方形,.,已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别是AB 、BC 、CD 、DA的中点,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?,达标检测5,.,达标检测6：已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形E

8、FGH是正方形吗?为什么?,.,例4：已知:正方形ABCD中,点E、F、G 、H分别在AB 、BC 、CD 、DA上,且AE=BF=CG=DH,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?,证明： 四边形ABCD是正方形 A= B= C=D=90，AB=AD=DC=BC 又 AE=BF=CG=DH AB-AE=AD-DH=DC-CG=BC-BF 即BE=AH=DG=CF AEHBFE CGF DHG EH=EF=GF=HG 1=3 又 3+2=90 1+2=90 EFH=90 四边形EFGH是正方形 (有一个角是直角的菱形是正方形）,.,在一块正方形的花坛上，欲修建两条直的小路使得两条直的小路将花

9、坛平均分成面积相等的四部分(不考虑道路的宽度).你有几种方法？,设计花坛,.,例2、已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CEAF于E，交AD于M，求证：MFD45,证明：,DM=DF,RtADFRtCDM (ASA),又ADCD，ADFMDC=90,12,又CMDAME （对顶角）,ADCAEM90,CEAF 四边形ABCD是正方形,MFD45,.,例3：如图，已知RtABC中，C=900，A、B的角平分线相交于点D，DEBC于点E，DFAC于点F， 求证：四边形AEDF是正方形。,D,A,B,C,E,F,M,.,1、在正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一点，P

10、EAC于点E，PFBD于点F，求PE+PF的值。,O,.,思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.,探究2:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系.,探究1:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？,探究3:若正方形ABCD的边长为1，则阴影部分面积BMON为多少？,.,例5、如图，点M是矩形ABCD边AD的中点，2ABAD， 点P是边BC上一动点，PEMC，PFMB，垂足分别为 E、F，求点P运动到什么位置时，四边形PEMF为正方形？,.,2、已知，如图在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN垂足为点E，,求证：四边形ADCE是矩形。,当ABC满足什么条件时，四边形 ADCE是正方形，说明理由。,.,3、如图B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与CEFG是正方形，连接BG、DE,（1）观察、猜想BG与DE之间的大小关系，并说明理由。,（2）正方形CEFG在绕点C旋转过程中，BG与DE之间的关系是否仍然成立。,.,4、如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MNDM，且交CBE的平分线于点N。,（1）求证：MD=MN