2015年高考第一轮复习数学：3.4--等差数列与等比数列的综合问题

1、3.4 等差数列与等比数列的综合问题知识梳理1.等差数列an的性质（1）am=ak+（mk）d，d=.（2）若数列an是公差为d的等差数列，则数列an+b（、b为常数）是公差为d的等差数列；若bn也是公差为d的等差数列，则1an+2bn（1、2为常数）也是等差数列且公差为1d+2d.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等差数列，公差为md.（4）若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，则am+an=ak+al，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，则A、B

2、、C成等差数列.（6）若数列an的项数为2n（nN*），则S偶S奇=nd，=，S2n=n（an+an+1）（an、an+1为中间两项）；若数列an的项数为2n1（nN*），则S奇S偶=an，=，S2n1=（2n1）an（an为中间项）.2.等比数列an的性质（1）am=akqmk.（2）若数列an是等比数列，则数列1an（1为常数）是公比为q的等比数列；若bn也是公比为q2的等比数列，则1an2bn（1、2为常数）也是等比数列，公比为qq2.（3）下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，组成的数列仍为等比数列，公比为qm.（4）若m、n、l、kN*，且m+n=k+l，则aman

3、=akal，反之不成立.（5）设A=a1+a2+a3+an，B=an+1+an+2+an+3+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+a3n，则A、B、C成等比数列，设M=a1a2an，N=an+1an+2a2n，P=a2n+1a2n+2a3n，则M、N、P也成等比数列.二、典例剖析【例1】 （2005年春季北京，17）已知an是等比数列，a1=2，a3=18；bn是等差数列，b1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a320.（1）求数列bn的通项公式；（2）求数列bn的前n项和Sn的公式；（3）设Pn=b1+b4+b7+b3n2，Qn=b10+b12+b14+b2n+8，其中n

4、=1，2，试比较Pn与Qn的大小，并证明你的结论.剖析：将已知转化成基本量，求出首项和公比后，再进行其他运算.解:（1）设an的公比为q，由a3=a1q2得q2=9，q=3.当q=3时，a1+a2+a3=26+18=1420，这与a1+a2+a320矛盾，故舍去.当q=3时，a1+a2+a3=2+6+18=2620，故符合题意.设数列bn的公差为d，由b1+b2+b3+b4=26得4b1+d=26.又b1=2，解得d=3，所以bn=3n1.（2）Sn=n2+n.（3）b1，b4，b7，b3n2组成以3d为公差的等差数列，所以Pn=nb1+3d=n2n；b10，b12，b14，b2n+8组成以2

5、d为公差的等差数列，b10=29，所以Qn=nb10+2d=3n2+26n.PnQn=（n2n）（3n2+26n）=n（n19）.所以，对于正整数n，当n20时，PnQn；当n=19时，Pn=Qn；当n18时，PnQn.评述：本题主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【例2】 （2005年北京东城区模拟题）已知等差数列an的首项a1=1，公差d0，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二项、第三项、第四项.（1）求数列an与bn的通项公式；（2）设数列cn对任意正整数n均有+=（n+1）an+1成立，其中m为不等于零的常数，求数列cn的前n

6、项和Sn.剖析：（1）依已知可先求首项和公差，进而求出通项an和bn；（2）由题先求出an的通项公式后再求Sn.解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2，整理得2a1d=d2.a1=1，解得d=2（d=0不合题意舍去），an=2n1（n=1，2，3，）.由b2=a2=3，b3=a5=9，易求得bn=3n1（n=1，2，3，）.（2）当n=1时，c1=6；当n2时，=（n+1）an+1nan=4n+1，cn=（4n+1）mn1bn=（4n+1）（3m）= 当3m=1，即m=时，Sn=6+9+13+（4n+1）=6+=6+（n1）（2n+5）=2n2+3n+1.当

7、3m1，即m时，Sn=c1+c2+cn，即Sn=6+9（3m）+13（3m）2+（4n3）（3m）n2+（4n+1）（3m）n1. 3mSn=63m+9（3m）2+13（3m）3+（4n3）（3m）n1+（4n+1）（3m）n. 得（13m）Sn=6+33m+4（3m）2+4（3m）3+4（3m）n1（4n+1）（3m）n=6+9m+4（3m）2+（3m）3+（3m）n1（4n+1）（3m）n=6+9m+（4n+1）（3m）n.Sn=+.Sn= 评述：本题主要考查了数列的基本知识和解决数列问题的基本方法.如“基本量法”“错位相减求和法”等.【例3】 （2005年北京海淀区模拟题）在等比数列an

8、（nN*）中，a11，公比q0.设bn=log2an，且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0.（1）求证：数列bn是等差数列；（2）求bn的前n项和Sn及an的通项an；（3）试比较an与Sn的大小.剖析：（1）定义法即可解决.（2）先求首项和公差及公比.（3）分情况讨论.（1）证明：bn=log2an，bn+1bn=log2=log2q为常数.数列bn为等差数列且公差d=log2q.（2）解：b1+b3+b5=6，b3=2.a11，b1=log2a10.b1b3b5=0，b5=0.解得Sn=4n+（1）=.an=25n（nN*）.（3）解：显然an=25n0，当n9时，Sn=0.n9时，anSn.a1=16，a2=8，a3=4，a4=2，a5=1，a6=，a7=，a8=，S1=4，S2=7，S3=9，S4=10，S5=10，S6=9，S7=7，S8=4，当n=3，4，5，6，7，8时，anSn；当n=1，2或n9时，anSn.评述：本题主要考查了数列的基本