鸡兔同笼-教师版

1、 鸡兔同笼 第一部分：知识介绍鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一大约在年前，孙子算经中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有个头；从下面数，有只脚求笼中各有几只鸡和兔？ 你会解答这个问题吗？你想知道孙子算经中是如何解答这个问题的吗？ 解鸡兔同笼的基本步骤1.砍足法（金鸡独立）：解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样，鸡和兔的脚的总数就由只变成了只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多。因此，

2、脚的总只数与总头数的差，就是兔子的只数，即（只）显然，鸡的只数就是（只）了。 这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。除此之外，还有“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”。2.假设法：假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到。解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数鸡兔总数-实际脚数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数鸡兔总数）（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 鸡数=鸡兔总数-兔数3.鸡兔关系：当头数

3、一样时，脚的关系：兔是鸡的2倍；当脚数一样时，头的关系：鸡是兔的2倍。在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程、行程、方程等专题中也都会接触到假设法。第二部分：例题精讲【例 1】鸡兔同笼，头共，足共，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼【解析】假设只都是兔，一共应有（只）脚，这和已知的只脚相比多了（只）脚，这是因为我们把鸡当成了兔子，如果把只鸡当成只兔，就要比实际多（只）脚，那么只脚是我们把（只）鸡当成了兔子，所以鸡的只数就是，兔的只数是（只）。【答案】鸡28只，兔18只【例 2】动物园里有一群鸵鸟和大象,它们共有只眼睛和只脚，问：鸵鸟和大象各有 多少？【考点】鸡兔

4、同笼【解析】由于每只动物有两只眼睛，由题意知：动物园里鸵鸟和大象总数为：（只），假设鸵鸟和大象一样也有只脚，则应该有（只）脚，多了（只）脚，由假设引起的差值：（只），则鸵鸟数为（只），大象数为（头）。【答案】鸵鸟10只，大象8头【例 3】动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚只，鸵鸟比梅花鹿多只，梅花鹿 和鸵鸟各有多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】假设梅花鹿和鸵鸟的只数相同，则从总脚数中减去鸵鸟多的只的脚数得：(只)。这只脚是梅花鹿的脚数和鸵鸟的脚数(注意此时梅花鹿和鸵鸟的只数相同)脚数的和，一只梅花鹿和一只鸵鸟的脚数和是：(只)，所以梅花鹿的只数是：(只)，从而鸵鸟的只数是：(只) 【答案】鸵鸟

5、48只，梅花鹿28只【例 4】一个养殖园内，鸡比兔多36只，共有脚792只，鸡兔各几只？【考点】鸡兔同笼【解析】已知鸡比兔多36只，如果把多的36只鸡拿走，剩下的鸡兔只数就相等了，拿走的36只鸡有（只）脚，可知现在剩下（只）脚，一只鸡与一只兔有6只脚，那么兔有（只），鸡有（只）【答案】兔120只，鸡156只【例 5】鸡兔同笼，鸡、兔共有只，兔的脚数比鸡的脚数多只，问鸡、兔各多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】不妨假设只都是兔，没有鸡，那么就有兔脚：（只），而鸡的脚数为零。这样兔脚比鸡脚多只，而实际上只多只，这说明假设的兔脚比鸡脚多的数比实际上多：（只）。现在以鸡换兔，每换一只，兔脚减少只，鸡脚增加

6、只，即兔脚与鸡脚的总数差就会减少（只）。鸡的只数：（只），兔的只数：（只）。 【答案】兔45只，鸡62只【例 6】每只完整的螃蟹有2只鳌、8只脚。现有一批螃蟹，共有25只鳌，120只脚。其中 可能有多少缺鳌少脚的，但每只螃蟹至少保留1只鳌、4只脚。这批螃蟹最多有 只，至少有 只。【考点】鸡兔同笼【解析】若要螃蟹尽量多，那么螃蟹的鳌和脚要尽量少，光看鳌的话，鳌最少为1，螃蟹最多为25只，只看脚的话，脚最少为4，螃蟹最多为（只），所以螃蟹最多为25只，同理若要螃蟹尽量少，那么螃蟹的鳌和脚要尽量多，光看鳌的话，鳌最多为2，螃蟹最少为（只），只看脚的话，脚最多为8，螃蟹最少为（只），所以螃蟹最少为13

7、只。【答案】螃蟹最多有25只，至少有13只 【例 7】在一个停车场上，现有车辆辆，其中汽车有个轮子，摩托车有个轮子，这些 车共有个轮子，那么三轮摩托车有多少辆？【考点】鸡兔同笼【解析】假设都是三轮摩托车，应有(个)轮子，少了(个)轮子。每把一辆汽车假设为三轮摩托车，会减少(个)轮子汽车有(辆)；从而求出三轮摩托车有(辆)，或者假设都是汽车，应有(个)轮子，多了(个)轮子；所以摩托车有(辆)【答案】摩托车有37辆。【例 8】（10年上外口试题）一张数学试卷，只有道选择题做对一题得分，做错一题 倒扣分；如不做，不得分也不扣分。若小明得了分，那么他做对 题，做 错 题，没做 题。【考点】鸡兔同笼【解

8、析】这道题不是普通的鸡兔同笼问题，需要寻找一些特殊的线索。小明得了分，而且只有做对了题目才能得分。，所以可以知道小明至少做对道题目，否则一定低于(分)；再假设他做对题，发现即使另外四题都错，小明仍然有(分)，超过了分，所以小明至多做对道题目；综上，可以断定小明做对了道题。至此本题转化为简单鸡兔同笼问题。假设剩下题全部没做，那么小明应得(分)。但是只得了分，说明又倒扣了分，说明错了道题，道题没做。所以小明做对了道题，做错了道题，没做道题。【答案】小明做对了道题，做错了道题，没做道题。【例 9】大、小猴共只，它们一起去采摘水蜜桃。猴王不在时，一只大猴一个小时可采 摘千克，一只小猴子一小时可摘千克；

9、猴王在场监督的时候，每只猴子不论 大小每小时都可以多采摘千克。一天，采摘了小时，其中第一小时和最后一小 时猴王在监督，结果共采摘了千克水蜜桃。在猴群中，共有小猴子多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】其实大猴子和小猴子就相当于鸡兔问题中的鸡和兔。但是却有猴王来捣乱，所以我们先让猴王消失。一天中，猴王监视了小时，假设猴王一直都不在，同猴王在时相比，每只猴子每小时都会少采千克，那样猴群只能采摘(千克)；这是一天也就是小时的工作量，据此可以求出这群猴每小时采(千克)；假设都是大猴子，应该每小时采摘(千克)，比实际多采了(千克)。而每只小猴子被假设成大猴子，会多采(千克)。因此可以求出小猴子有：(只)。【答

10、案】小猴子有20只【例 10】箱子里红、白两种玻璃球，红球数是白球数的倍多只，每次从箱子里取出只 白球、只红球如果经过若干次以后，箱子里剩下只白球、只红球那么 箱子里原有红球多少只？ 【考点】鸡兔同笼【解析】假设每次一起取只白球和只红球，由于每次拿得红球都是白球的倍，所以最后剩下的红球数应该刚好是白球数的倍多。由于每次取的白球和原定的一样多，所以最后剩下的白球应该不变，仍然是个。按照我们的假设，剩下的红球应该是白球的倍多，即(只)。但是实际上最后剩了只红球，比假设多剩只，因为每一次实际取得与假设相比少只，所以可以知道一共取了(次)。所以可以知道原来有红球(只)。【答案】红球有158只【例 11

11、】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对(蜘蛛8条腿；蜻 蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题。观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿。因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数。我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为(条)，所差(条)，必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的。所以，应有(只)蜘蛛。这样剩下的(只)便是蜻蜓和蝉的只数。再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数(对)，比实际数少 (对)，这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求(只)。【答案】蜻蜓有

12、7只【例 12】从甲地至乙地全长45千米,有上坡路、平路、下坡路。李强上坡速度是每小 时3千米,平路上速度是每小时5千米,下坡速度是每小时6千米.从甲地到 乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到 乙地,各种路段分别是多少千米？【考点】鸡兔同笼【解析】把来回路程452=90(千米)算作全程。去时上坡,回来是下坡；去时下坡回来时上坡。把上坡和下坡合并成一种路程,平均速度是每小时4千米。现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题。因此平路所用时间是 (90-421)(5-4)=6(小时)。单程平路行走时间是62=3(小时)。从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7(小时)行走

13、路程是45-53=30(千米)。又是一个鸡兔同笼问题。从甲地至乙地,上坡行走的时间是(67-30)(6-3)=4(小时)。行走路程是34=12(千米)。下坡行走的时间是7-4=3(小时)。行走路程是63=18(千米)。【答案】上坡12千米，平路15千米，下坡18千米第三部分：课堂检测【检测 1】体育老师买了运动服上衣和裤子共件，共用了元，其中上衣每件元、 裤子每件元，问老师买上衣和裤子各多少件？【考点】鸡兔同笼【解析】假设买的都是上衣，那么裤子的件数为：（件），上衣：（件）。【答案】上衣8件，裤子13件【检测 2】某学校有30间宿舍，大宿舍每间住6人，小宿舍每间住4人已知这些宿舍中 共住了16

14、8人，那么其中有多少间大宿舍？【考点】鸡兔同笼【解析】如果30间都是小宿舍，那么只能住（人），而实际上住了168人。大宿舍比小宿舍每间多住（人），所以大宿舍有（间）。【答案】大宿舍有24间【检测 3】春风小学3名同学参加数学竞赛，共10道题，答对一道题得10分，答错一道题 扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华 得了9分，他们三人一共答对了_ 道题。【考点】鸡兔同笼【解析】三人共得(分)，比满分(分)少(分) 因此三个人共做错：(道)题，一共答对了(道)题。【答案】一共答对了20道题。 【检测 4】某场足球赛赛前售出甲、乙、丙三类门票共400张，甲类票50元张

15、，乙类票 40元/张，丙类票30元/张，共收入15500元，其中乙类、丙类门票张数相同 则甲类、乙类、丙类门票分别售出多少张?【考点】鸡兔同笼【解析】乙类、丙类门票张数相同，则可以看成价格为35元张的同一类门票。 容易得到甲类门票售出（张）， 乙类、丙类各售出(400 -100)2=150（张）。【答案】甲类售出100张，乙类售出150张，丙类售出150张第四部分：家庭作业【作业 1】鸡兔共有只，关在同一个笼子中，笼中共有条腿。试计算，笼中有鸡多少 只？兔子多少只？【考点】鸡兔同笼【解析】若假设所有的只动物都是兔子，那么一共应该有(条)腿，比实际多算(条)腿。而每将一只鸡算做一只兔子会多算两条

16、腿，所以有(只)鸡被当作了兔子，所以共有只鸡，有(只)兔子。【答案】鸡40只，兔子18只【作业 2】100名学生参加社会实践，高年级学生两人一组，低年级学生三人一组，共有41 组。问：高、低年级学生各多少人?【考点】鸡兔同笼【解析】如全为高年级学生，则只需41282（人），实际100人，1008218（人），所以有18组低年级学生，411823（组）高年级学生，高年级学生为23246（人），低年级学生为18354（人）。【答案】高年级46人，低年级54人【作业 3】某次数学竞赛，共有道题，每道题做对得分，没做或做错都要扣分，小聪 得了分，他做对了多少道题？【考点】鸡兔同笼【解析】做错 (道)，

17、因此，做对的 (道)【答案】做对了17道【作业 4】个和尚个馍，大和尚人分个馍，小和尚人分个馍问：大、小和 尚各有多少人？【考点】鸡兔同笼【解析】如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设人全是大和尚，那么共需馍个，比实际多(个)。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少(个)，因为，故小和尚70人，大和尚 (人)。【答案】大和尚30人，小和尚70人【作业 5】现有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比 小桶共多装油20千克，问大小桶各多少个?【考点】鸡兔同笼【解析】假设50个油桶都是大桶，则共装油千

18、克，而这小桶所装油则为0。这样大桶比小桶多装200千克，比条件所给的差数多了（千克），若在50个大桶中把一部分大桶换成小桶，则每拿一个大桶换成小桶，大桶装的油就减少4千克，而小桶共装的油就增加2千克，那么大桶比小桶多装的数量就减少（千克），所以小桶有：(个)，大桶有：(个)。【答案】大桶有20个，小桶有30个 【作业 6】一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成,现在甲单独打若 干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7小时.甲打字用了多少小时？【考点】鸡兔同笼【解析】我们把这份稿件平均分成30份(30是6和10的最小公倍数),甲每小时打306=5(份),乙每小时打3010=3(份)。现在把甲打字的时间看成兔头数,乙打字的时间看成鸡头数,总头数是7。兔的脚数是5,鸡的脚数是3,总脚数是30,就把问题转化成鸡兔同笼问题了。根据前面的公式兔数=(30-37)(5-3) =4.5, 鸡数=7-4.5 =2.5, 也就是甲打字用了4.5小时,乙打字用了