《抛物线的简单几何性质》

1、.,2.3.2抛物线的简单几何性质,.,教学目标,知识与技能目标 使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质 从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力 过程与方法目标 复习与引入过程 1抛物线的定义是什么？ 请一同学回答应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线” 2抛物线的标准方程是什么？ 再请一同学回答应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p0)，y2=-2px(p0)，x2=2py(p0)和x2=-2py(p0) 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p0)出发来

2、研究它的几何性质板书抛物线的几何性质,.,.,一、复习回顾：,抛物线标准方程,1、抛物线的定义：,平面内与一个定点F和一条定直线l (l不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。,定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。,.,2、抛物线的标准方程：,.,例,求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 (1)y2=6x （2） （3）2x2+5y=0,则焦点坐标是F（0，- ）, 准线方程是y=,(2)焦点坐标是 准线方程是,.,求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2）x2= y （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0,（5，0）,x= -5,（

3、0，-2）,y=2,练习：,.,抛物线的方程为x=ay2（a0)求它的焦点坐标和准线方程？,思考,.,y,复习,.,结合抛物线y2=2px(p0)的标准方程和图形,探索其的几何性质: (1)范围 (2)对称性 (3)顶点,类比探索,x0,yR,关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴,抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.,二、讲授新课：,(4)离心率,抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示，由抛物线的定义可知，e=1,只有一个顶点,.,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,关于x轴对称

4、,关于x轴对称,关于y轴对称,关于y轴对称,（0,0）,e=1,.,补充（1）通径：,通过焦点且垂直对称轴的直线， 与抛物线相交于两点，连接这 两点的线段叫做抛物线的通径。,|PF|=x0+p/2,F,P,通径的长度：2P,P越大,开口越开阔,（2）焦半径：,连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。,焦半径公式：,（标准方程中2p的几何意义）,利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。,.,基本点：顶点，焦点,基本线：准线，对称轴,基本量：P（决定抛物线开口大小）,抛物线的基本元素 y2=2px,.,特点,1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸

5、,但它没有渐近线;,2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;,3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;,4.抛物线的离心率是确定的,为1;,5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.,P越大,开口越开阔,.,y2 = 2px （p0）,y2 = -2px （p0）,x2 = 2py （p0）,x2 = -2py （p0）,x0 yR,x0 yR,y0 xR,y 0 xR,(0,0),x轴,y轴,1,.,变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点 M(2, )的抛物线有几条,求它的标准方程.,典型例题：,例1.已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,并且过点M(2, ),求它的标准方

6、程.,当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m 0)(x2=2my (m0),可避免讨论,.,.,解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1,.,解法二:由题意可知,.,分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷,变式： 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m， 交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切,.,证明：如图,所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切,设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，,则AFAD，BFBC,AB AFBF

7、 ADBC =2EH,.,练习: 1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是_. 2.过抛物线 的焦点,作倾斜角为 的直线,则被抛物线截得的弦长为_ 3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=4 ,求直线AB的方程.,y2 = 8x,X=3,.,例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.,x,O,y,F,A,B,D,.,例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛

8、物线的对称轴。,x,y,O,F,A,B,D,.,小结:,1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径; 2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;,.,.,关于x 轴 对称，无 对称中心,关于x 轴 对称，无 对称中心,关于y 轴 对称，无 对称中心,关于y 轴 对称，无 对称中心,e=1,e=1,e=1,e=1,.,分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴； 另一种是直线与抛物线相切,.,判断直线与抛物线位置关系的操作程序,把直线方程代入抛物线方程,得到一元一次方程,得到一元二次方程,直线与抛物线的 对称轴平行,

9、相交（一个交点）,计 算 判 别 式,.,.,分析: 直线与抛物线有两个公共点时0,分析: 直线与抛物线没有公共点时0,.,注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论 作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情形,观察直线绕点P转动的情形,.,变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的最大值是多少?,分析:本题与例1类型相似,方法一样,通过联立方程组求得. (1)b=1 (2)b1,当直线与抛物线有公共点时,b的最大值当直线与抛物线相切时取得.其值为1,.,变式二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数 的最值,变式三:点(x,y)在抛物线y2=4x