4 绝对值与绝对值方程预初进阶进度一寒假教师

1、绝对值与绝对值方程【概念引入】观察上图，小明、小丽家离学校多远？在数轴上点A、点B所表示的数分别是3，-5，它们与原点的距离分别是3和5，我们把3叫做3的绝对值；5叫做-5的绝对值.一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值.的绝对值记作.【绝对值的意义】 代数意义从数值上看： 几何意义从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点之间的距离。如果，则例1. 求5.3，-18，0，的绝对值.解：【绝对值的性质】可以概括为：一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数；互为相反数的两个数绝对值相等.练习1.，求x的值.解：x-3=5或x-3=-5，解得

2、x=8或x=-2练习2. 如果有理数a，b满足a=5,b=4且ab，求a和b的值.解：a=-5，b=4巩固题1. 已知a、b、c在数轴上位置如图所示，化简.解：| a | + | a+b | +|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a2. 已知：，且，化简.解：由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：所以3.（非负性）已知|ab2|与|a1|互为相反数，试求下式的值分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab2|=|a1|=0，解得：a=1,b=24.已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数

3、轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？解：设甲数为x，乙数为y。由题意得：，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x0，y0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即 x0，y0，y0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12【含绝对值的方程】 绝对值符号内含有未知数的方程，称之为含有绝对值的方程。 解含有绝对值的方程，关键是根据绝对值的定义去掉绝对值符号，化成不含绝对值的方程，从而求出方程的解。为了去掉绝对值符号，有时要对字母

4、取值进行分段讨论（即零点分段）。1. 解下列方程（1）; （2）;（3）; 解：（1）由 得：。所以。（2）原方程可化为：，由绝对值的定义得：或，分别求得： 或 。（3）由于任何数的绝对值是非负数，所以不论取什么数，都有，故原方程无解。2. 解下列方程：（1）； （2）； （3） （4） .解：（1）由题意知： 或 分别解得：（2）由题意知，解得 （3）由题意知 ： 即由绝对值的意义知，原方程化为 或 ，分别解得： 或 又由于 ，不合题意，舍去。所以原方程的解为： 。提示：强调验根。（4）由原方程得：，且 解 ，得；解 ，得； 由于时，；时，所以原方程的解为： 或 3. 若与互为相反数，试求代

5、数式的值。解：因为与互为相反数，所以，故有，解之得， 所以:。4. 若，化简。解：，因此 5. 设，且 试化简.6. 若，则满足条件的整数的值有多少个，并求出它们的和。则a的值有7个，它们的和为21。7. 已知关于的方程的解满足，求的值。8. 已知，求的值。解：若，则原方程可化为：，解得，舍去；若，则原方程可化为：，解得，符合。所以。9. 求的最小值。解：法一：利用绝对值的几何意义求解：数轴上的点到1，-1这两点的距离之和只有两种情况，一是y=2,二是y2，所以y最小值为2法二：10. 满足的整数共有多少个？解：利用绝对值的几何意义求解：当为整数时，必为整数。由图可知，数轴上到这两点距离之和为

6、6的整数点为：，其中，只有当和时有整数，分别解得和，即满足条件的整数共有2个。11. 化简。分析 零点分段法。化简本题的关键在于去掉两个绝对值符号，只去掉一个绝对值符号很容易，如，只考虑的正负，可以分为与两种情况来讨论。这里是使的的值。我们称它为一个零点，同理，对于，也有一个零点。为了同时去掉两个绝对值符号，我们将零点都标在同一数轴上。这两点将数轴分为三个部分（如图所示），即。我们就分这三种情况进行讨论。解 当时， 原式当时， 原式当时， 原式即 原式=12. 解方程分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”，即令，分别得到。用将数轴分为3段：，然后在每一段上去掉绝对值符号再求解。解： （1）当时，原方程化为 解得 。在所给范围之内，所以是原方程的解。 （2）当时，原方程化为 解得 。它不在的范围之内，所以不是原方程的解，舍去。 （3）当时，原方程化为 解得 。在所给范围之内，所以是原方程的解。 综上，原方程的解为或。当时， 原式即 原式=13. 解方程分析 解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”，即令，分别得到。用将数轴分为3段：，然后在每一段上去掉绝对值符号再求解。解： （1）当时，原方程化为 解得 。在所给范围之内，所以是原方程的解。 （2）当时，原方程化为 解得 。它不在的