1.7.1定积分的简单应用(李用)

1、,1.7.1定积分的简单应用,定积分在几何中的应用,1.平面图形的面积:,其中F(x)=f(x),2.微积分基本定理:,一、复习,因为f(x)在a,b内连续是f(x)的一个原函数.又F(x)是f(x)的原函数，F(x)=+C.在上式中令x=a,则由得到C=F(a)移项得令即得,证明：,x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积。,=-S,=s,3.定积分的几何意义:,类型一.求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(ab)及x轴所围成平面图形的面积S,练习.求抛物线y=x2-1，直线x=2，y=0所围成的图形的面积。,解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,

2、0).所求面积如图阴影所示：,所以：,类型一：由一条曲线和直线所围成平面图形的面积的求解,类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(ab)所围成平面图形的面积S,注：,解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:,即两曲线的交点为(0,0),(1,1),两曲线围成的平面图形的面积的计算,求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:,(1)作出示意图;(弄清相对位置关系),(2)求交点坐标;(确定积分的上限,下限),(3)确定积分变量及被积函数;,(4)列式求解.,解:,两曲线的交点,直线与x轴交点为(4,0),S1,S2,X型求解法,Y型求解法,解:,两曲线的交点,练习,解:

3、,两曲线的交点,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,练习,练习3,解,所围成的图形如图所示：,平面图形的面积。,则,y,o,x,2,-2,练习4计算：由曲线,曲边梯形的面积,直线,和,轴所围成的,=,-,解:,练习5如图所示由,和,所围图形的,面积是多少？,y,o,x,2,-2,-4,解:,B,D,C,A,-,-,定积分在物理中的应用,设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)0，则此物体在时间区间a,b内运动的距离s为,一、变速直线运动的路程,解：由速度时间曲线可知：,例题,法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即,二、变力沿直线所作的功,1

4、、恒力作功,2、变力所做的功,问题：物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=b点，则变力F(x)所做的功为:,例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置l米处，求克服弹力所作的功,解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比,即：F(x)=kx,所以据变力作功公式有,例题,练一练,1.设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要使弹簧伸长0.1米，需作多少功？,解,如图：建立直角坐标系。,因为弹力的大小与弹簧的伸长（或压缩）成正比，即,比例系数,已知,代入上式得,从而变力为,所求的功,练一练4

5、一点在直线上从时刻t=0(s)开始以速度v=t2-4t+3(m/s)运动,求:(1)在t=4s的位移;(2)在t=4s运动的路程.,t=4s时刻该点距出发点4/3m(2)t=4s时刻运动的路程为4,设物体运动的速度v=v(t)(v(t)0)，则此物体在时间区间a,b内运动的路程s为,1、变速直线运动的路程,2、变力沿直线所作的功,物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x=b点，则变力F(x)所做的功为:,小结,通一类,1一点在直线上从时刻t0(单位：s)开始以速度vt24t3(单位：m/s)运动，求：(1)在t4s时的位置；(2)在t4s时运动的

6、路程,1、一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作用下,沿着与力F相同的方向,从x=0处运动到x=4处(单位:m),求F(x)所作的功.,练一练,40J,2.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的单位为m/s)的速度运动,求该物体在35s间行进的路程.,练习：A、B两站相距7.2km,一辆电车从A站开往B站,电车开出ts后到达途中C点,这一段的速度为1.2t(m/s),到C点的速度为24m/s,从C点到B点前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经ts后,速度为(24-1.2t)m/s,在B点恰好停车,试求:（1）A、C间的距离;（2）B、D间的距离;（3）电车从A站到B站所需的时间。

7、,略解:(1)设A到C的时间为t1则1.2t=24,t1=20(s),则AC,(2)设D到B的时间为t2则24-1.2t2=0,t2=20(s),则DB,例2：一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点处，形成一个电场，已知该电场中，距离坐标原点为r处的单位电荷受到的电场力由公式：确定，在该电场中，一个单位正电荷在电场力作用下，沿着r轴方向从r=a到r=b（a4时，P点向x轴负方向运动故t6时，点P移动的路程,悟一法,例2设有一长25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长30cm，又已知弹簧伸长所需要的拉力与弹簧的伸长量成正比，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功,通一类,2在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀，把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推到点b处，计算在移动过程中，气体压力所做的功,做变速直线运动的物体的速度为v(t)4t2，求t0到t3时经过的路程,设物体运动的速度v=v(t)(