高考数学压轴题精选(一)(老师用)

1、.高考数学压轴题精选(一)1（本小题满分12分）设函数在上是增函数。求正实数的取值范围；设，求证：解：（1）对恒成立，对恒成立又为所求。（2）取，一方面，由（1）知在上是增函数，即另一方面，设函数在上是增函数且在处连续，又当时，即综上所述，2已知椭圆C的一个顶点为，焦点在x轴上，右焦点到直线的距离为（1）求椭圆C的方程；（2）过点F（1，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，设，若的取值范围。解：（1）由题意得：1分由题意所以椭圆方程为3分（2）容易验证直线l的斜率不为0。故可设直线l的方程为中，得设则5分有由7分又故8分令，即而，10分3设函数（1）若时函数有三个互不相同的零点，求的范围

2、；（2）若函数在内没有极值点，求的范围；（3）若对任意的，不等式在上恒成立，求实数的取值范围解：（1）当时，因为有三个互不相同的零点，所以，即有三个互不相同的实数根。令，则。因为在和均为减函数，在为增函数，的取值范围（2）由题可知，方程在上没有实数根，因为，所以（3），且，函数的递减区间为，递增区间为和；当时，又，而，又在上恒成立，即，即在恒成立。的最小值为4（本题满分14分）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、以椭圆的短半轴长为半径的圆相切。（）求椭圆的方程；（）设椭圆的左焦点为F1，右焦点为F2，直线过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于点P，线段PF2的垂直平分线交于点M，求点M

3、的轨迹C2的方程；（）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值解：（）相切椭圆C1的方程是3分（）MP=MF2，动点M到定直线的距离等于它到定点F2（2，0）的距离，动点M的轨迹C是以为准线，F2为焦点的抛物线点M的轨迹C2的方程为6分（）当直线AC的斜率存在且不为零时，设直线AC的斜率为k，则直线AC的方程为联立所以9分由于直线BD的斜率为代换上式中的k可得，四边形ABCD的面积为12分由所以时取等号13分易知，当直线AC的斜率不存在或斜率为零时，四边形ABCD的面积5（本小题满分14分）已知椭圆1（ab0）的左右焦点分别为F1F2，离心率e

4、，右准线方程为x2（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆相交于MN两点，且|，求直线l的方程解析：（1）由条件有解得a，c1b1所以，所求椭圆的方程为y21（2）由（1）知F1（1,0）F2（1,0）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x1，将x1代入椭圆方程得y不妨设MN，（4,0）|4，与题设矛盾直线l的斜率存在设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk（x1）设M（x1，y1）N（x2，y2），联立消y得（12k2）x24k2x2k220由根与系数的关系知x1x2，从而y1y2k（x1x22）又（x11，y1），（x21，y2），（x1x22，y1y2）|2（x1x22）

5、2（y1y2）2222化简得40k423k2170，解得k21或k2（舍）k1所求直线l的方程为yx1或yx16.（本小题满分12分）已知，函数，（其中为自然对数的底数）（1）判断函数在区间上的单调性；（2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直? 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由解（1）：，令，得若，则，在区间上单调递增. 若，当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，若，则，函数在区间上单调递减. 6分（2）解：，由（1）可知，当时，此时在区间上的最小值为，即当，曲线在点处的切线与轴垂直等价于方程有实数解而，即方程无实数解故不存在，使曲线在处的切线与轴垂直12分7（本

6、小题满分12分）已知线段，的中点为，动点满足（为正常数）（1）建立适当的直角坐标系，求动点所在的曲线方程；（2）若，动点满足，且，试求面积的最大值和最小值解（1）以为圆心，所在直线为轴建立平面直角坐标系.若，即，动点所在的曲线不存在；若，即，动点所在的曲线方程为；若，即，动点所在的曲线方程为.4分(2)当时，其曲线方程为椭圆.由条件知两点均在椭圆上，且设，的斜率为，则的方程为，的方程为解方程组得，同理可求得，面积=8分令则令所以，即当时，可求得,故，故的最小值为，最大值为1. 12分8.（本小题满分12分）设上的两点，已知向量,若且椭圆的离心率e=,短轴长为，为坐标原点.（）求椭圆的方程；来源

7、:Zxxk.Com（）试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由解：椭圆的方程为 4分(2) 当直线AB斜率不存在时，即,由5分又在椭圆上，所以所以三角形的面积为定值.6分当直线AB斜率存在时：设AB的方程为y=kx+b ，D=(2kb)2-4(k2+4)(b2-4)08分而, 10分 S=|AB|=|b|=1综上三角形的面积为定值1.12分9.已知函数的导数a，b为实数，(1) 若在区间上的最小值、最大值分别为、1，求a、b的值；(2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点P（2，1）处的切线方程；(3) 设函数，试判断函数的极值点个数解：(1) 由已知得， 由，得，

8、 当时，递增；当时， 递减 在区间上的最大值为，又， 由题意得，即，得 故，为所求(2) 由 (1) 得，点在曲线上当切点为时，切线的斜率， 的方程为，即 (3二次函数的判别式为令，得：令，得 ，当时，函数为单调递增，极值点个数为0；当时，此时方程有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数有两个极值点10.已知函数f(x)=(1)当时, 求的最大值;(2) 设, 是图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数，使得恒成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由(2)存在符合条件解: 因为=不妨设任意不同两点，其中则由知: 1+又故故存在符合条件12分解法二:据题意在

9、图象上总可以在找一点使以P为切点的切线平行图象上任意两点的连线,即存在故存在符合条件11ABC是直线上的三点，向量满足：-y+2+ln(x+1)= ；（）求函数y=f(x)的表达式； （）若x0, 证明f(x)；（）当时,x及b都恒成立，求实数m的取值范围。解I）由三点共线知识，,ABC三点共线，.，f(x)=ln(x+1)4分()令g(x)=f(x),由，x0g(x)在 (0,+)上是增函数,故g(x)g(0)=0,即f(x);8分（III）原不等式等价于,令h(x)=由当x-1,1时,h(x)max=0, m2-2bm-30,令Q(b)= m2-2bm-3，则由Q(1)0及Q（-1)0解得

10、m-3或m3. 12分12.已知经过点，且与圆内切.（）求动圆的圆心的轨迹的方程.（）以为方向向量的直线交曲线于不同的两点，在曲线上是否存在点使四边形为平行四边形（为坐标原点）.若存在，求出所有的点的坐标与直线的方程；若不存在，请说明理由.解:（）依题意，动圆与定圆相内切，得|，可知到两个定点、的距离和为常数，并且常数大于，所以点的轨迹为椭圆，可以求得，所以曲线的方程为5分（）假设上存在点，使四边形为平行四边形由（）可知曲线E的方程为.设直线的方程为，.由，得，由得，且，7分则，上的点使四边形为平行四边形的充要条件是，即且，又，所以可得，9分可得，即或当时，直线方程为；当时，直线方程为高考资源

11、12分13.已知函数和的图象关于原点对称，且()求函数的解析式；()解不等式；()若在上是增函数，求实数的取值范围解：()设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则点在函数的图象上()由当时，此时不等式无解。当时，解得。因此，原不等式的解集为。（）14.已知函数（1）若函数在定义域内单调递增，求的取值范围；（2）若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；（3）设各项为正的数列满足：求证：解：（1）依题意在时恒成立，即在恒成立.则在恒成立，即当时，取最小值的取值范围是（2）设则列表：极大值极小值极小值，极大值，又方程在1，4上恰有两个不相等的实数根.则，得（3）设，则在为减

12、函数，且故当时有.假设则，故从而即，15（本小题满分14分）如图，设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.（1）求APB的重心G的轨迹方程.（2）证明PFA=PFB.解：（1）设切点A、B坐标分别为，切线AP的方程为： 切线BP的方程为：解得P点的坐标为：所以APB的重心G的坐标为 ，所以，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为： （2）方法1：因为由于P点在抛物线外，则同理有AFP=PFB.方法2：当所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：即所以P点到直线BF的距离为：所以d1=d2，即得AFP=PFB.当时，

13、直线AF的方程：直线BF的方程：所以P点到直线AF的距离为：，同理可得到P点到直线BF的距离，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB.16.已知（1）求函数的图像在处的切线方程；（2）设实数，求函数在上的最小值；（3）证明对一切，都有成立解：（1）定义域为又函数的在处的切线方程为：，即3分（2）令得当，单调递减，当，单调递增 5分（i）当时，在单调递增，6分（ii）当即时，7分（iii）当即时，在单调递减，8分(3)问题等价于证明，由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得最小值10分设，则，当时，单调递增；当时单调递减。故，当且仅当时取得最大值12分所以且等号不同时成立，即从而对一切，都有成立1

14、3分17（本小题满分14分）已知函数处取得极值（I）求实数的值；（II）若关于x的方程在区间0，2上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；（III）证明：对任意正整数n，不等式都成立解：（I）2分时，取得极值，3分故，解得a=1，经检验a=1符合题意4分（II）由a=1知得令则上恰有两个不同的实数根等价于在0，2上恰有两个不同的实数根5分6分当上单调递增当上单调递减依题意有9分（III）的定义域为10分由（1）知11分令（舍去），单调递增；当x0时，单调递减上的最大值（12分）（当且仅当x=0时，等号成立）13分对任意正整数n，取得， 14分18. (本小题满分12分) 已知椭圆（）的左、

15、右焦点分别为，为椭圆短轴的一个顶点，且是直角三角形，椭圆上任一点到左焦点的距离的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）与两坐标轴都不垂直的直线：交椭圆于两点，且以线段为直径的圆恒过坐标原点，当面积的最大值时，求直线的方程.解：（1）由题意得，2分，则3分所以椭圆的方程为4分（2）设，联立得，5分又以线段为直径的圆恒过坐标原点，所以即，代入得7分=-9分设，则当，即时，面积取得最大值，11分又，所以直线方程为-12分19.(本小题满分12分) 已知函数（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，设函数，若，求证解：（1）1分，即在上恒成立设，时，单调减，单调增，所以时，有最大值3分，所以5分（2）当时，,所以在上是增函数，上是减函数6分因为，所以即同理8分所以又因为当且仅当“”时，取等号10分又，11分所以所以所以：12分20本小题满分12分的内切圆与三边的切点分别为，已知，内切圆圆心，设点的轨迹为