《数值微积分》PPT课件

1、通知,数值分析上机考试时间改为2010年1月6日(第18周周三)上午10:05-11:05共60分钟在图文信息中心3号机房,引子,定积分计算：用原函数(不定积分)无法找到原函数F(x)怎么办？,第五章数值微积分,5.1数值积分公式5.2数值积分的余项5.3复化求积法与步长的选取5.4数值微分法,5.1数值积分公式,机械求积Newton-Cotes公式代数精度Gauss求积公式,1.机械求积,原理：定积分曲边梯形的面积理论基础：积分中值定理f()=?,矩形公式与梯形公式,左矩形右矩形中矩形梯形,机械求积一般公式,问题适当取求积节点和求积系数A0,An，计算函数值f(x0),f(xn),近似解误差

2、T(f)-Q(f),2.Newton-Cotes公式,插值型求积公式:P(x)是f(x)的一个插值函数(linear,Lagrange,Hermite,spline等)Newton-Cotes公式:采用等距节点Lagrange插值,低阶Newton-Cotes公式,梯形公式(n=1)Simpson公式(n=2)Cotes公式(n=4)数值稳定性:n8时，Cotes系数非负,3代数精度,定义：若机械求积公式对所有幂函数f(x)=1,x,x2xm准确，则称它具有m次代数精度。性质：若具有m次代数精度，则对所有次数不超过m次的多项式准确。代数精度：梯形公式(n=1)1次，Simpson公式(n=2)

3、3次，Cotes公式(n=4)5次。n为奇数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n；n为偶数时，n阶Newton-Cotes公式的代数精度为n+1。,用代数精度构造插值公式,例题求A1,A2及x2，使求积公式代数精度尽量高解：得A1=1/4,A2=3/4，x2=2/3,4Gauss求积公式,考虑将节点也视为待定参数，此时机械求积公式的待定参数达2n+2个，从而可期望代数精度达到2n+1，称此类高精度的求积公式为Gauss公式，而对应节点称为Gauss点。一点Gauss(n=0)(中矩形公式)-1,1上的两点Gauss公式,-1,1上的Gauss点,n次Legendre多项式定理5.

4、1-1,1上n阶Gauss点恰为n次Legendre多项式的根。,一般区间a,b上的积分,变换到-1,1一般区间a,b上的两点Gauss公式,5.2数值积分的余项,引理5.1（积分中值定理）若f(x),g(x)均在a,b上连续且不变号,则存在a,b使左矩形公式余项(证明:用Taylor公式)中矩形公式余项(证明:用Taylor公式),低阶情形,梯形公式余项(证明:用积分中值定理)Simpson公式余项(证明:用积分中值定理+Hermite插值),一般情况,Newton-Cotes系列公式余项Gauss系列公式余项,5.3复化求积法与步长的选取,复化求积原理定步长梯形法,2阶收敛性,定步长Sim

5、pson法P119例5.13(Simpson法精度高),4阶收敛性,变步长梯形法,递推关系逐级计算而在增加新节点时,不浪费原先的计算量,并且可由|T2n(f)Tn(f)|控制计算精度。,xi-1,xi,xi-1/2,Romberg公式,由|R2n(f)Rn(f)|控制计算精度,ji=1,2,由|Tii(f)Ti-1i-1(f)|控制计算精度.,自适应步长法,根据被积函数的陡缓自动选择局部步长考虑某区间ak,bk,记hk=bkak,从a,b开始按=|0.1(S2-S1)|检查精度，若满足精度则以S2为计算结果，否则分成两个小区间各自重复逐步上述过程，每个小区间精度用/2。这样重复下去，直至每个分段部分达到相应精度（步长为h=(b-a)/2k时精度/2k）不同段的步长可能是不一样的，积分结果为每一小段积分的总和。,例5.15,这里共使用了6个区间，调用函数13次，如果用等步长Simpson法达到该精度，需要调用函数17次。主要原因是自适应步长利用了函数的陡缓自动选择局部步长，变化快的地方细