第三章 连续型随机变量 2

1、第三章连续型随机变量,一.概率密度函数与分布函数,定义3.1若随机变量X的取值范围是某个实数区间,存在非负函数,使得对于任意区间,有,则称X为连续型随机变量;,第一节连续型随机变量,函数称为连续型随机变量X的概率密度函数(简称概率密度)或概率分布密度(简称分布密度).,直观地看,连续型随机变量,X在区间内取值的概率等于区间之上,概率密度曲线之下曲边梯形的面积.,概率密度具有下列性质,(1)由定义知,概率密度是非负函数,即,(2)因为随机变量X取得任意实数值,是必然事件,所以由等,式(3.2)可知,概率为0的件并不一定是不可能事件.,例1.下面两个函数是否连续型随机变量的分布密度函数,为什么?,

2、解:(1)由于在区间上,不是.,不是.,例2.已知是否连续型随机变量X的分布函数.,因此,f(x)不是连续型随机变量X的分布函数.,例3.设连续型随机变量X的密度函数为求(1)系数A.(2)X在区间取值的概率.,解:根据概率密度函数的性质,所以,因此X的密度函数为,例4.设随机变量X的概率密度为,解:由于X为连续型随机变量,因此有,从而有,且有,看课本101页例3.1,例5.设X是连续型随机变量,其概率密度函数为,且已知,解:由概率密度函数的性质,有,由(1),(2)式得,例6.如果函数为某随机变量的概率密度,则A=?,解:由概率密度函数的性质,有,分布函数,根据分布函数的定义,若X是连续型随

3、机变量,并有概率密度,则X的分布函数为,注意,例1.设连续型随机变量X的概率密度函数为,求分布函数.,解:,当时,连续型随机变量分布函数与离散型随机变量分布函数具有相同性质.,特别地,这里的“1).,(2)由于,3.正态分布(一),概率论与数理统计中最常用最重要的概率分布就是正态分布,这是因为:,看课本105页至106页,定义3.4设随机变量X的概率密度为,则称随机变量X服从正态分布,记作,其中及是分布的参数,正态分布也称为高斯(Gauss)分布.(如图),正态分布,的概率密度f(x)的图形,由正态分布的定义知,它有以下特点:,(1)正态分布的密度函数f(x)在直角坐标系内的呈钟形,并且以x轴

4、为其渐近线.,(2)正态分布的密度函数f(x)在处达到极大,极大值为,并且f(x)关,于对称,(3)正态分布的随机变量落入相等长度区间的概率越靠近就越大.,(4)正态分布的参数决定其密度函数f(x)图形的中心位置,因此有时也称为正态分布的位置参数.,(5)正态分布的参数决定其密度函数f(x)图形的形状,因此有时也称为正态分布的形状参数,如图.,我们可以看到,越小,f(x)在,的两侧越陡峭,表示,相应的随机变量取值越集中于附近;,的两侧越平坦,表示相,应的随机变量取值越分散.,正态分布的分布函数是,特别地,当=0,=1时,正态分布N(0,1)称为标准正态分布,其概率密度记作,标准正态分布的分布函

5、数,记作,与的示意图(课本107页图3.3),为了计算正态的随机变量X落在(a,b)内的概率,我们有必要揭示一般正态分布与标准正态分布之间的关系.,性质1如果XN(0,1),且它们,的密度函数分别为,分布函数分别为,证:(1),设则,由此可见,一般正态分布的随机变量落在某区间内的概率可以利用标准正态分布来计算.,编制了标准正态分布的分布函数表可以供查用,由以上的性质有了标准正态的分布函数表以后,一般正态分布的计算就迎刃而解了.,概括起来有,性质2如果,(3).,证:只证(1),同理可证(2)和(3).,看课本108页例3.6,例1设求,例2设试求,所以C=3.,或者根据正态分布密度函数的对称性,在,x=两边概率应相同.,例3某科统考成绩近似服从正态分布在参加统考的人中,及格者100人(及格分数为60分),计算(1)不及格人数;(2)估计第10名的成绩.,解:设考