01 专项练习实数及其性质1、2教师2015秋季 初二竞赛进度一

1、12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 1 12 教育数学竞赛与自招专题复习 第一轮课内的基础知识已经学完. 接下来的半年时间，我们将一起考察数学知识中一 些重要的方面，有部分内容超出了课内，隶属于自招、竞赛或高中的知识，但只是描述性的 定义和概念，同学们只需要严格根据定义进行分析即可. 每堂课都会从相关的课内的知识 和概念说起，逐步过渡到更深的层次. 到最后，有些题目变得比较困难，或是非常抽象，或 设置了重重关卡，但往往都离不开简单的直觉. 碰到这些题目时，需要学生和老师们共同 探索，尝试不同的可能，可能过程会很艰辛，但收获一定非常丰厚. 讲授这些问题时，不建议老师用灌输的方法，而是请老师一起

2、加入到学生的讨论中，老 师点拨得越少，学生能收获得越多. 也希望同学们能够放弃对老师的依赖，开动脑筋从各 个角度来切入问题. 老师的工作重点应该是打扫战场， 解完题目后说清楚题目与基本概念、 技巧之间的联系，并在基本概念上做广泛的、扎实的探讨. 由于各班程度差异，竞赛难度的题目根据班级具体情况量体裁衣，选择讲或不讲，不讲 的题目由老师选择通过微信或 qq 等方式将答案公布. 第一讲 实数及其性质（2-2.5 课时） 实实数的简单历史数的简单历史（20min） 很多古文化在发展时都产生了正整数的观念、记法和运算. 对正整数性质进行完全研究 的是古希腊的毕达哥拉斯学派 （公元前 6-5 世纪） ，

3、 并且他们坚信世界上的任何自然现象都 可以最终化为整数或整数之比 （即分数） ， 即“万物皆数”. 不久， 学派中的一人 （希帕索斯） 发现了2， 它无法表示为两个正数之比， 第一个无理数诞生. 由于无理数的出现危害到了 毕氏学派的理论根基，希帕斯因此被扔到了爱琴海中，惨遭谋杀. 在接下来长达 2000 年的 岁月中，数学家都一直没有把无理数当成一个数，而仅仅认为它是一个几何量（例如，2 表示了腰长为 1 的等腰直角三角形的斜边长）. 直到 17 世纪第二次数学危机时，才承认和 接受了无理数作为数的存在， 并在接下来的一两百年中建立了完备的实数理论， 推动了微积 分的发展. 0 和负数的应用都

4、主要归功于印度人，而且从历史上来看，它们的正式出现比无理数出 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 2 现得晚很多（公元 5 世纪和 7 世纪）. 就 0 来说，很奇怪的是，即便在古希腊如此发达的 古代文明中都没有产生这个数，也许是那些古代文化搞不清楚 0 和“空无”、“没有”的区别是 什么. 0 的出现使得十进制位数计数法得以可能，大大方便了记录和运算. 负数最早出现 在九章算术中，印度人在公元 7 世纪将其运算法则进行了完善. 西方数学家们直到 17 世纪才完全接受了负数的概念. 在整个数字历史发展的过程中，要搞清楚的事情就是：很多概念像负数和无理数一样， 从其发现时开始将被数学家们抵制几

5、百年甚至上千年. 但没关系，数学的发现往往都不是 现世有用的， 如今看似抽象、 无用的概念和方法在数百年后也许就能应用在生活的方法面面. 正如庄子云：无用之用方为大用. 实数分类实数分类 实数的性质归纳实数的性质归纳（15min） 性质性质 1：两个有理数之间必存在无数个有理数：两个有理数之间必存在无数个有理数. 这个性质称为有理数的稠密性， 它说明有理数是密密麻麻地分布在数轴上， 更确切一些， 一条任意短的线段上都有无穷多个表示有理数的点. 即便如此，数轴上面仍然有无数个 “洞”， 若把“水”倒在数轴上，“水”会漏下去. 即有理数稠密但不连续. 有理数集还不是完 备的数集. 性质性质 2：任

6、何有理数都可以表示为既约分数：任何有理数都可以表示为既约分数 p a q 的形式的形式. 性质性质 3：实数与数轴上的点一一对应：实数与数轴上的点一一对应. 这个性质表明实数的连续而完备的. 性质性质 4：任意两个实数之间必存在无穷多个有理数：任意两个实数之间必存在无穷多个有理数. 性质性质 5：设：设, a b为有理数，为有理数，为无理数，则为无理数，则0ab当且仅当当且仅当0ab. 性质性质 5 推论：设推论：设, , ,x y a b是有理数，是有理数， n m是无理数，则是无理数，则 nn xymabm 当且仅当且仅 当当 xa yb . 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 3 无理

7、数的判定方法无理数的判定方法（15min） 这部分内容是自招、竞赛考试的重点. （0）m（m 不为完全平方数）是无理数不为完全平方数）是无理数. （1）反证法. 假设数 a 为有理数，则 a 可表示为既约分数 p a q 的形式，再根据整数性质去构造矛 盾. （2）利用整系数方程有理根的判定定理）利用整系数方程有理根的判定定理. 设整系数方程：设整系数方程： 1 110 .00 nn nnn a xaxa xaa 有有理数根有有理数根 p q （其中（其中 p、q 为互质的整数） ，则为互质的整数） ，则 0 p a， n q a. 只要将有理根进行代入即可得到该判定定理. 【背景知识背景知识

8、】 （40min） 1. 25的平方根是 . 729 相反数的立方根是 . 2. 17 的六次方根可以用分数指数幂表示为 . 3. 已知21.414，204.472， 200 ，0.002 . 4. 3的小数部分是 . 绝对值小于91的所有整数有 个. 5. 若 2 2 11 2xx xx ，则 x 的取值范围是 . 6. 已知 2 9241643xxx，x 的取值范围是 . 7. 将循环小数化为分数：1.6 ，0.657 . 8. 分数指数幂 m n p 化为根式可以表示为 . 9. 当22 1x 时，代数式 2 24xx的值为 . 10. 找到一个整系数方程，使得其根为23，它是 . 12

9、 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 4 11. 已知, a b都是有理数，且23ab，则ab . 12. 已知方程 2 3 1360 xxa有有理数根，则有理数 a 的值为 . 13. 判断正误，错的举出反例. （1）两无理数之和一定为无理数； （2）有理数和无理数之和一定为无理数； （3）有理数和无理数之积一定为无理数. 【自招部分自招部分】 【150min】 14. 证明：2是无理数. 15. 证明： （1）23是无理数； （2） 3 23是无理数. 16. （复旦附中）证明： （1）若 a，b，ab均是有理数，则a、b均为有理数； （2）若 a，b，c，abc均是有理数，则a、b、c均为有

10、理数. 17. 证明：2730是无理数. 利用前一题的结论. 18. 已知 121ff， 21,1,2,.f nf nf n n ，记 n a表示 f n的 个位数码，求证： 12 0. . n aaa是有理数. 斐波那契数列的尾数每 60 循环一次，即其循环节长度为 60. 19. 证明：任意有理数都能化为有限个分母为完全平方数的单位分数之和. 证明：显然有 2222 111 . ppq qqqqq . 20. 证明或证伪：存在无理数, ，使得 是有理数. 证明：令 2 2t ，若 t 为有理数，则结论成立. 若 t 是无理数，考虑 2 2t，则结 论也成立. 21. 证明：不存在这样的两个

11、既约分数，它们的和与它们的积都是整数. 反证法. 构造一元二次方程或者直接构造矛盾. 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 5 22. 求不定方程 222xy的有理数解. 四组 23. 若, ,a b c为两两不相等的有理数，求证： 222 abbcca 是有理数. 换元 24. 化简下列各式： （1）用分段函数表示： 222 69441025xxxxxx； （2） 33 2525； （3） 33 8181 3333 aaaa aa 25. 设 s 为大于 4 的整数，存在两个实数 u，v 满足uvuvs ，求证：u，v 都是无理 数. 韦达定理加判别式 26. 求 6 23的整数部分. 96

12、9 27. 已知32x ，求 65432 2 22 322xxxxxx的值. 3 28. 设 axb S cxd ，, , ,a b c d是有理数，x 是无理数，求证： （1）当bcad时，s 是有理数； （2）当bcad时，s 是无理数. 29. 设正整数 n 是非完全平方数，a，b 是两个正整数. （1）求证：n必介于 a b 和 anb ab 之间； （2）求 a b 和 anb ab 之中更接近n的数. 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 6 30. 若是有理系数有理系数 12 ,., n a aa（1n）的代数方程 1 110 .0 nn nn a xaxa xa 的 根，那么叫

13、做代数数. 请证明： （1）每一个有理数都是代数数； （2）2，黄金分割比，cot22.5也都是代数数. 证明： （1）0 b x a 表明每一个有理数都是代数数； （2）分别对应方程： 2 20 x ， 2 10 xx ， 2 210 xx . 【竞赛部分竞赛部分】 【60min】 31. 证明：若既约分数 p q （p，q 为正整数）是循环小数，则其循环节位数不超过1q位. 12 教育数学竞赛与自招专题复习 _ 7 考虑既约分数 p q 利用竖式除法化为小数的过程，由题意，在前1q次除法过程 中，余数皆不为 0. 若其中有两次除法的余数相同，则所得小数开始循环，其循环节位 数比1q小，结论

14、成立. 若前1q次除法里的1q个余数皆不相同，但所有可 能非 0 余数已经用尽（即1,2,3,.,1q） ，故第q次除法时，其余数一定与前面某一 次除法的余数相同，此时小数开始循环，其循环节位数为1q. 综合可得结论成立. 32. 证明：2, 3, 6不可能是一个等差数列中的三项. 利用公差相等列式. 33. 如图， 给出平面直角坐标系中的三点： 11 ,A x y、 22 ,B x y、 33 ,C x y. 请给出 ABC S 关于三点坐标的表达式. 请教师在黑板上画出一个三边都不与坐标轴平行的三角形，最后表达出面积. 此题的实际背景为一个行列式，不加绝对值时结果为三角形的有向面积. 11 22 33 1 1 1 2 1 ABC xy Sxy xy 34. 横纵坐标均为整数的点称为格点 （或整点）. 请证明： 在平面上不存在顶角为 45 的格 点等腰三角形. 格点三角形的面积一定是 1 2 的整数倍，而后者一定是无理数. 35. 已知 p q （p,q 都是正整数）小于2. 请你构造一个有理数 m，使得2 p m q . 可取 2 1 414 4 p pp qpq ，答案不唯一. 36. 求 2015 15 2 的个位数字. 记 1515 ,