《概率与数理统计》第07章-参数估计

1、第7章参数估计，简介第1节估计第2节估计标准第3节区间估计第4节正态总体均值和方差的区间估计第5节单边置信区间练习，简介，总体，样本，统计，描述，推断(统计推断)，研究统计的性质和评估统计推断的优点，都依赖于它们的抽样分布，随机抽样，参数估计问题，假设检验问题，点估计，区间估计，统计推断， 参数估计问题是利用从总体抽样中获得的信息来估计总体的一些参数或参数的一些函数。 参数估计、剔除率估计、新生儿体重估计、湖中鱼数量估计、降雨量的估计。在参数估计问题中，假设总体分布形式已知，只有一个或几个参数未知。这种问题称为参数估计。参数估计问题的一般公式，x1，x2，假设高度服从正态分布，现在从总体中采样

2、xn并获得样本。假设五个数字是：1.651.671.681.781.69，估计值是1.68。这是点估计。这是区间估计值。例如，我们想估计一组男孩的平均身高。现在我们从人群中选择一个容量为5的样本。我们的任务是根据所选样本(5个数字)找出总体平均值的估计值。所有的信息都由这五个数字组成。第一节点估计，第一，点估计概念，对100名婴儿进行随机抽样，得到100个体重数据，10，7，6，6.5，5，5.2，所有的信息都由这100个数字组成。为了估计：我们需要构造一个函数t (x1，x2，xn)的适当样本。每当有一个样本时，我们将它代入函数，计算出一个值作为估计值。将样本值代入t (x1，x2，xn)，

3、我们知道，如果根据大数定律，我们很自然地认为样本重量的平均值是人口平均体重的估计值，样本重量的平均值，然后，我们用样本重量的平均值来估计。类似地，我们使用样本权重的方差来估计。其次，我们寻求估计的方法，1。矩估计法。最大似然估计法。最小二乘法，4。贝叶斯方法，我们主要介绍前两种方法。1.基于辛大数定理的矩估计方法，如果总体的数学期望是有限的，那么其中就有一个连续函数。这表明当样本量较大时，样本矩可以用来统计估计总体矩。这一事实导致了矩估计法。理论基础是：大数定律，矩估计方法的具体方法如下：假设总体的分布函数包含k个未知参数，那么它的第一个k阶矩，通常是这k个参数的函数，被记录为：从这些k个方程

4、求解，j=1，2，然后分别用估计量AI代替上述公式中的估计量Ai，得到矩估计量，矩估计量的观测值称为矩估计量。解：例：假设总体x的均值和方差存在，未知。这是来自x的样本，是估计者寻找的矩。答案是，例如，矩估计量是：假设总体x服从a，b上的均匀分布，并且a，b是未知的。它是来自x的一个样本，试图找到a，b的矩估计量。解，即解被获得。因此，a、b的矩估计是参数的样本矩、总体矩、矩估计。课堂练习：假设总体x的概率密度为，其中未知参数x1，x2，xn是来自x的样品，并且获得溶液：矩估计法具有简单易行的优点，不需要事先知道人口的分布情况。缺点是当人口类型已知时，分布提供的信息没有被充分利用。2.最大似然

5、估计法，在已知人口类型的情况下使用的参数估计法。最大似然估计原理：当样本x1，x2，给定xn，似然函数定义为：x1，x2，xn是一个示例ta通过求解方程，可以得到最大似然估计。如果向量是一个向量，上面的方程必须用一组方程来代替。2.使用上述推导方法来获得参数的最大似然估计有时是不可行的。在这种情况下，必须使用最大似然原则。因此，似然函数是：让我们假设x1，x2，xn是从总体XB(1，p)中取得参数p的最大似然估计的样本。解的分布规律是：X是，对数似然函数是：p的导数，并使之为0，=0，这是p的最大似然估计。因此，p的最大似然估计是(4)在最大点的表达式中，参数的最大似然估计是通过替换样本值而获

6、得的。获得最大似然估计的一般步骤是：(1)从总体分布中导出样本的联合分布规律(或联合密度);(2)将样本联合分布律(或联合密度)中自变量作为已知常数，将参数作为自变量，得到似然函数l()；(3)寻找似然函数L()的最大点(这通常被转换为寻找lnL()的最大点)，即最大似然估计；例：假设总体XN()未知。它是来自x的样本值，x是要测试的最大似然估计量。似然函数是解的概率密度，因此，解的最大似然估计量是，例：假设总体x服从(a，b)的均匀分布，a，b未知，x1，x2，xn是一个样本值。试着找出a，b的最大似然估计量。由于ax1,x2，xnb等价于AX (1)，X (n) B。似然函数，解：注X (

7、1)=min (X1，X2，Xn)，X (n)=最大值(X1，X2，Xn)。因此，对于满足条件AX (1)，Bx (n)的任何a，b，X的概率密度是，即，L(a，b)在a=x(1)，当b=x(n)时，获得最大值(x(n)-x(1)-1。因此，a和b的最大似然估计是，a和b的最大似然估计是，其中0，解似然函数是，对数似然函数是，课堂练习：(1)假设x1，x2，xn是取自总体x的样本，获得最大似然估计，获得导数并使其为0，=0，由此获得最大似然估计。对数似然函数是，(2)设x1，x2，xn是取自总体x的样本，其中0是最大似然估计和矩估计。对数似然函数是，I=1，2，(a)最大似然估计。似然函数为，

8、0(2)，由(1)获得，=0(1)，分别计算的偏导数为0。对数似然函数是，所以最大值是，是的，当取其他值时，是递增函数，最大似然估计最后是，(b)矩估计。根据密度函数，它是一个具有平均值的指数分布，也就是说，它是已知的，因此，可以得到第2节中估计量的选择标准和样本平均值是否是好的估计量？(2)如何决定一个估计量是否比另一个“更好”?样本方差是一个好的估计量吗？(1)我们希望一个“好的”估计器具有什么特征？(3)如何得到合理的估计？关于估计量的评价标准，我们必须强调：要评价一个估计量的质量，不能只依靠一个检验的结果，而必须用许多检验的结果来衡量。这是因为估计量是样本的函数，并且是随机变量。因此，

9、可以从不同的观测结果中获得不同的参数估计。因此，一个好的评估应该在许多测试中显示出它的优点。常用的标准是：1。无偏性，2。有效性，3。一致性。在这里，我们集中讨论前两个标准。估计量是一个随机变量，不同的样本值可以得到不同的估计量。我们希望估计器围绕未知参数的真值摆动，并且它的期望值等于未知参数的真值。这导致了无偏性的标准。第一，无偏性被称为无偏性估计。无偏性实际上意味着没有系统误差。例1假设总体x服从指数分布，其概率密度未知。x1，x2，xn是取自人群的样本。试和是参数的无偏估计量。证书：所以它是参数的无偏估计量。然而，由于它具有概率密度，所以它也是参数的无偏估计量。因此，方差越小，无偏估计越

10、好，这引入了有效性的概念。因为，ii，有效性，它更有效。例2(续例1)证明当n1时无偏估计量更有效。因此，当n1，3时，证明存在，因此存在。一致性，根据辛钦定理，如果总体数学期望是有限的，那么除了其他函数之外，还有一个连续函数。因此，如果它是一个连续函数，在第3节，区间估计，引言中，我们已经讨论了参数点估计。它使用从样本计算的值来估计未知参数。然而，点估计只是未知参数的近似值。它没有给出近似值的误差范围，也不容易使用。区间估计正好弥补了点估计的这一缺陷。我们希望确定一个区间，以便我们可以相信它包含相对高可靠性的真实参数值。这里的“可靠性”是通过概率来衡量的，称为置信度或置信水平。置信度是根据实

11、际需要选择的。首先，置信区间的定义，目标：在寻找置信区间时，查表找出分位数。其次，寻找置信区间的方法，即标准正态分布的上分位数、N(0，1)，并弄清楚问题要寻找什么参数置信区间？信心水平是多少？解，找到待估计的参数和统计量的函数，并要求知道其分布。利用这种分布，可以得到在任何区间取值的概率。从解中，对于给定的置信水平，查找正态分布表以获得、建立、或简单地记住，因此，如果a=0.05，即1-a=0.95，并且如果s=1，n=16，则查找表并得到za/2=z0.025=1.96。然后得到置信水平为0.95的置信区间。此外，如果样本平均值的观测值 x=5.20是根据观测值计算的，则得到一个区间(5.200.49)，即(4.71，5.69)。最终得到的区间(4.71，5.69)不再是随机区间。然而，我们仍然称之为置信区间，置信水平为0.95。其含义是，如果：个样本重复采样多次，每个样本值(n=1