湖北省部分高中2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题（原卷版+解析版）

2025年湖北省部分高中春季高二年级期中联考数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A. B. C. D.2.5名同学分别报名参加书法、绘画、摄影、编程四个社团，每个社团至少1人，不同的报名方法有（）A.种 B.种 C.种 D.种3.曲线在处的切线方程为（）A. B. C. D.4.若，则（）A. B. C. D.05.设，若为函数的极小值点，则（）A. B. C. D.6.已知函数，则的图象大致为（）A. B.C. D.7.已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（）A. B.C. D.8.已知函数有3个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.若，则B.若，则C若，则D.若，则10.下列说法正确是（）A.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，则共有96种排法B.2名男生和5名女生站成一排，则2名男生相邻的排法共有1280种C.2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有4800种D.2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有3120种11.已知定义在上的函数满足，且当时，.若在上恒成立，则k的可能取值为（）A.1 B.0 C. D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数在点处的切线方程为，则_____.13.已知，的二项式系数的最大值分别为a，b，若，则正整数______.14.已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.从装有3个红球、2个白球、1个黑球的袋中任取3个球，求：（1）恰好取到2个红球的概率；（2）至少取到1个红球概率.16.已知函数，且.（1）求的解析式；（2）求函数的单调区间.17.在的展开式中，（1）求有理项的个数；（2）系数最大的项是第几项?18.已知函数.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）若对，都有恒成立，求的取值范围；（3）已知，若存在，使得，求证：.19已知函数，其中.（1）若偶函数，求；（2）当时，讨论函数在上的零点个数；（3）若对，求的取值范围.（注：记，可用含的表达式表示）

2025年湖北省部分高中春季高二年级期中联考数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.祝考试顺利注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知函数，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据导数的定义和导数的运算公式求解.【详解】由，则，.故选：C.2.5名同学分别报名参加书法、绘画、摄影、编程四个社团，每个社团至少1人，不同的报名方法有（）A.种 B.种 C.种 D.种【答案】B【解析】【分析】根据题意，将5人分成四组，再分配得解.【详解】由题，先将5人分成四组有种，再将四组分配给4个社团有种，所以不同的报名方法有种.故选：B.3.曲线在处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据导数的四则运算与复合运算求得导函数，从而可得切线斜率，确定切点纵坐标，结合直线方程即可得所求；【详解】，则斜率，又，所以函数在处的切线方程为，即.故选：A.4.若，则（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】利用赋值法求解即可.【详解】令，可得，令，可得，所以，故选：A5.设，若为函数的极小值点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】对函数求导，令，解得或，然后分和，结合的正负讨论判断函数的极值点即可.【详解】∵，∴.令，解得或.若，即时，当时，令，解得或；令，解得，∴函数在，上单调递增，在上单调递减，此时是函数的极大值点，不符合题意；当时，令，解得；令，解得或，∴函数在上单调递增，在，上单调递减，此时是函数的极小值点，满足题意，此时由，可得；若，即时，当时，令，解得或；令，解得，∴函数在，上单调递增，在上单调递减，此时是函数的极小值点，满足题意，此时由，可得；当时，令，解得；令，解得或，∴函数在上单调递增，在，上单调递减，此时是函数的极大值点，不符合题意，综上，一定成立.故选：D.6.已知函数，则的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】结合函数的定义域和的单调性判断即可.【详解】由题意可得，解得且，即定义域为，可排除D，设，则，所以当时，；当时，，即，所以当时，，可排除A；当，，可排除A，综上，C为正确选项.故选：C7.已知函数..为定义在上的偶函数，当时，，则下列正确的为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，构造函数，探讨函数的奇偶性、单调性，再逐项判断作答.【详解】令函数，而函数是偶函数，则，即函数是奇函数，当时，求导得，即函数在上递增，则在上递增，因为，所以，即，所以，虽然，但不能确定与的大小，故ABC错误，D正确.故选：D8.已知函数有3个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】确定函数的定义域，求导，根据函数有3个零点，可得在有两个变号零点，结合二次函数根的分布列不等式即可得实数的取值范围.【详解】函数的定义域满足：，解得，则函数的定义域为：，，要使得函数有3个零点，则在有两个变号零点，令整理得，所以，解得，故实数的取值范围为.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列结论正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，则D若，则【答案】ACD【解析】【分析】利用基本初等函数的求导公式及导数的运算法则逐个分析判断即可.【详解】对于A，若，则，故选项A正确；对于B，若，则，故选项B错误；对于C，若，则，故选项C正确；对于D，若，则，故选项D正确.故选：ACD.10.下列说法正确的是（）A.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，则共有96种排法B.2名男生和5名女生站成一排，则2名男生相邻的排法共有1280种C.2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有4800种D.2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有3120种【答案】AD【解析】【分析】先排特殊元素（位置）再排其他元素，可判断A正误；利用捆绑法，可判断B的正误；利用插空法，可判断C的正误，利用插空法和特殊元素（位置）法，可判断D的正误，即可得答案.【详解】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余4个位置，有种排法，则共有种排法，故A正确；对于B：2名男生相邻，有种排法，和剩余5名女生排列，相当于6人作排列，有种排法，所以共有种排法，故B错误；对于C：先排5名女生，共有种排法，且形成6个空位，再排2名男生，共有种排法，所以共有种排法，故C错误；对于D：由C选项可得2名男生和5名女生站成一排，则2名男生互不相邻的排法共有种排法，若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，所以2名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有种，故D正确.故选：AD11.已知定义在上的函数满足，且当时，.若在上恒成立，则k的可能取值为（）A.1 B.0 C. D.【答案】CD【解析】【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，得到，参变分离后结合余弦函数的性质即可得k的取值范围，从而得所求．【详解】定义在上的函数满足，则为奇函数，所以，所以，则当时，，则恒成立，所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，所以在上递增，不等式转化为：，所以，即，因为，所以，则，故故选：CD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数在点处的切线方程为，则_____.【答案】3【解析】【分析】根据题意，利用导数几何意义，列出方程组，求得和的值，即可求解.【详解】∵，∴，.∵函数在点处的切线方程为，∴，，解得，，∴.故答案：.13.已知，的二项式系数的最大值分别为a，b，若，则正整数______.【答案】5【解析】【分析】根据题意可得，结合组合数公式运算求解.【详解】因为为偶数，为奇数，结合二项式系数的最值可得，又因为，即，可得，整理可得，解得，故答案为：5.14.已知，若对于，不等式恒成立，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】先利用同构法将题设不等式转化为，再构造函数，利用导数与函数单调性的关系得到，从而将问题转化为对恒成立，，再次构造函数求得最值即可得解.【详解】不等式，可化为，，令，则，所以在上单调递增，因为，，所以，，则，所以不等式，即为，，即对恒成立，令，则，当时，，即单调递增，当时，，即单调递减，，则，即的取值范围为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.从装有3个红球、2个白球、1个黑球的袋中任取3个球，求：（1）恰好取到2个红球的概率；（2）至少取到1个红球的概率.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据古典概型的概率公式求解；（2）根据对立事件的概率关系结合古典概型的概率公式求解.【小问1详解】设“恰好取到2个红球”为事件A，则；【小问2详解】设“至少取到1个红球”为事件B，则.16.已知函数，且.（1）求的解析式；（2）求函数的单调区间.【答案】（1）（2）的单调增区间为，单调减区间.【解析】【分析】（1）求出导数，由，代入求得，得解；（2）根据导数，判断导数正负得解.【小问1详解】由题意知，，所以，又，所以，故函数解析式为.【小问2详解】由（1）知，，令，得，（舍），当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减.17.在的展开式中，（1）求有理项的个数；（2）系数最大的项是第几项?【答案】（1）4个（2）第8项【解析】【分析】（1）根据二项展开式的通项公式求解即可；（2）设第项的系数最大，列出不等式组求解即可.【小问1详解】由二项式定理知，要为有理项则，因为，且，所以，故有理项有4个；【小问2详解】设第项的系数最大，则解得，又，故.所以系数最大的项为第8项18已知函数.（1）当时，求在点处切线方程；（2）若对，都有恒成立，求的取值范围；（3）已知，若存在，使得，求证：.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导确定斜率及切点纵坐标，即可得切线方程；（2）法一：将不等式转化为对恒成立，，构造函数，求导确定其单调性及最小值即可求得的取值范围；法二：将问题转化为当时，，求导，讨论单调性确定的最大值，即可得的取值范围；（3）确定函数的单调性可得，要证，只需证明，令，求导确定单调性即可得结论.【小问1详解】当时，所以，所以又，故所求切线方程为，即【小问2详解】方法一：原命题等价于对恒成立，令，则，∵，令∴∴在单调递增，在单调递减又，，又，所以故的取值范围为.方法二：由题意知，当时，，又，①当时，恒成立，即在上单调递减，所以恒成立，所以，②当时，由，得到，由，得到，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，当，即时，在区间上单调递增，，所以，（舍去），当即时，在上单调递减，，所以当即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，得到，所以，综上，的取值范围为.【小问3详解】∵，令，得则在单调递减，在单调递增又且，所以要证，只需证明，因为，，且函数在区间上单调递增，所以只需证明，又因为，即证，令，即，注意到，因为，则在上单调递减，所以在恒成立，所以.19.已知函数，其中.（1）若是偶函数，求；（2）当时，讨论函数在上的零点个数；（3）若对，求的取值范围.（注：记，可用含的表达式表示）【答案】（1）（2）2个（3）【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义，并结合两角和差的正弦公式化简即可；（2）通过导函数研究的单调性，最后结合零点存在性定理即可判断；（3）先用必要性探路缩小的范围，再通