精算师考试知识点大全2024

精算师考试知识点大全2024精算师考试知识点大全2024

1.利息理论

-单利与复利：单利公式$I=P\timesr\timest$，其中$I$为利息，$P$为本金，$r$为利率，$t$为时间；复利公式$A=P(1+r)^n$，$A$为终值，$n$为期数。例如，本金$P=1000$，年利率$r=5\%$，按单利计算3年后利息$I=1000\times0.05\times3=150$，按复利计算3年后终值$A=1000\times(1+0.05)^3=1000\times1.157625=1157.625$。

-名义利率与实际利率：名义利率$i^{(m)}$与实际利率$i$的关系为$1+i=(1+\frac{i^{(m)}}{m})^m$。如名义年利率$i^{(4)}=8\%$，则实际年利率$i=(1+\frac{0.08}{4})^4-1=0.08243216$。

-年金：普通年金终值$S_n=\frac{(1+i)^n-1}{i}$，现值$a_n=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$；先付年金终值$S_{n}^{(1)}=(1+i)S_n$，现值$a_{n}^{(1)}=(1+i)a_n$。若每年年末存入100元，年利率6%，存5年，普通年金终值$S_5=\frac{(1+0.06)^5-1}{0.06}\times100\approx563.71$元，现值$a_5=\frac{1-(1+0.06)^{-5}}{0.06}\times100\approx421.24$元。

2.风险理论

-风险度量：常用的风险度量指标有方差、标准差、在险价值（VaR）、条件尾部期望（CTE）等。对于随机变量$X$，方差$Var(X)=E[(X-E(X))^2]$，标准差$\sigma=\sqrt{Var(X)}$。VaR是指在一定的置信水平下，某一金融资产或投资组合在未来特定的一段时间内的最大可能损失。例如，在95%的置信水平下，某投资组合的1天VaR为100万元，表示有95%的可能性该投资组合在1天内的损失不超过100万元。CTE是在给定损失超过VaR的条件下的期望损失。

-风险模型：常见的风险模型有泊松分布模型用于描述理赔次数，设理赔次数$N$服从参数为$\lambda$的泊松分布，$P(N=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$，$k=0,1,2,\cdots$。例如，$\lambda=3$，则$P(N=2)=\frac{e^{-3}\times3^2}{2!}=\frac{9e^{-3}}{2}\approx0.224$。还有负二项分布模型等，负二项分布的概率质量函数$P(N=k)=\binom{k+r-1}{k}(1-p)^rp^k$，其中$r$为正整数，$0\ltp\lt1$。

-风险分散原理：通过投资多个不同的资产或业务来降低总体风险。根据资产组合理论，资产组合的方差$\sigma_p^2=\sum_{i=1}^{n}w_i^2\sigma_i^2+2\sum_{1\leqi\ltj\leqn}w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$，其中$w_i$为资产$i$的权重，$\sigma_i$为资产$i$的标准差，$\rho_{ij}$为资产$i$和资产$j$的相关系数。当相关系数$\rho_{ij}\lt1$时，通过分散投资可以降低组合的风险。

3.生命表

-生命表基本函数：$l_x$表示$x$岁的生存人数，$d_x$表示$x$岁到$x+1$岁死亡的人数，$q_x=\frac{d_x}{l_x}$表示$x$岁的人在1年内死亡的概率，$p_x=1-q_x$表示$x$岁的人在1年内生存的概率。例如，在某生命表中$l_{60}=9000$，$d_{60}=200$，则$q_{60}=\frac{200}{9000}\approx0.0222$，$p_{60}=1-0.0222=0.9778$。

-选择生命表：考虑到被保险人在投保时的选择因素，选择生命表的死亡率通常低于终极生命表。例如，新投保的人群在健康等方面可能更优，其$q_{[x]}$（选择年龄$x$的死亡率）小于$q_x$（终极年龄$x$的死亡率）。

-生命表的编制：通常采用经验数据来编制生命表，包括收集大量的人口死亡数据，对数据进行分组、整理和分析，运用适当的统计方法来估计死亡率等参数。

4.寿险精算

-趸缴纯保费：对于定期寿险，设保险金额为$b$，$x$岁的人投保$n$年期定期寿险，趸缴纯保费$P=bA_{x:\overline{n}|}^1=b\sum_{k=0}^{n-1}v^{k+1}{}_{k}p_xq_{x+k}$，其中$v=\frac{1}{1+i}$为贴现因子。对于终身寿险，趸缴纯保费$A_x=\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}{}_{k}p_xq_{x+k}$。

-年缴纯保费：设年缴纯保费为$P$，对于$n$年期定期寿险，采用均衡保费原理，$P\ddot{a}_{x:\overline{n}|}=bA_{x:\overline{n}|}^1$，则$P=\frac{bA_{x:\overline{n}|}^1}{\ddot{a}_{x:\overline{n}|}}$，其中$\ddot{a}_{x:\overline{n}|}$为$x$岁的人$n$年期先付年金现值。

-责任准备金：过去法责任准备金$V_{past}=P\ddot{s}_{x:\overline{t}|}-A_{x:\overline{t}|}^1$，未来法责任准备金$V_{future}=bA_{x+t:\overline{n-t}|}^1-P\ddot{a}_{x+t:\overline{n-t}|}$，其中$t$为保单年度，$P$为年缴纯保费。

5.非寿险精算

-费率厘定：纯保费法下，纯保费$P=E(S)$，其中$S$为理赔总额，$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$，$N$为理赔次数，$X_i$为第$i$次理赔额。毛保费$G=\frac{P}{1-\theta}$，$\theta$为安全附加系数。例如，已知某险种的纯保费$P=200$元，安全附加系数$\theta=0.2$，则毛保费$G=\frac{200}{1-0.2}=250$元。

-损失分布：常见的损失分布有指数分布，其概率密度函数$f(x)=\lambdae^{-\lambdax}$，$x\gt0$，分布函数$F(x)=1-e^{-\lambdax}$；伽马分布，概率密度函数$f(x)=\frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\betax}}{\Gamma(\alpha)}$，$x\gt0$，其中$\alpha\gt0$，$\beta\gt0$，$\Gamma(\alpha)$为伽马函数。

-再保险：成数再保险是指原保险人将每一危险单位的保险金额，按照约定的比率分给再保险人，例如成数再保险比例为30%，原保险金额为100万元，则再保险人承担30万元的责任。溢额再保险是由原保险人与再保险人签订合同，对每一个危险单位确定一个由原保险人承担的自留额，超过自留额的部分称为溢额，由再保险人承担。

6.金融数学

-期权定价：布莱克-斯科尔斯期权定价模型，对于欧式看涨期权，$C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$，其中$d_1=\frac{\ln(\frac{S_0}{K})+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}$，$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}$，$S_0$为标的资产当前价格，$K$为执行价格，$r$为无风险利率，$T$为到期时间，$\sigma$为标的资产收益率的标准差，$N(x)$为标准正态分布的累积分布函数。

-投资组合理论：马科维茨的均值-方差模型，投资者在给定预期收益率下追求最小方差，或者在给定方差下追求最大预期收益率。有效前沿是满足上述条件的投资组合的集合。例如，有两种资产$A$和$B$，预期收益率分别为$E(R_A)$和$E(R_B)$，方差分别为$\sigma_A^2$和$\sigma_B^2$，相关系数为$\rho_{AB}$，投资组合的预期收益率$E(R_p)=w_AE(R_A)+w_BE(R_B)$，方差$\sigma_p^2=w_A^2\sigma_A^2+w_B^2\sigma_B^2+2w_Aw_B\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B$，其中$w_A+w_B=1$。

-利率期限结构：常见的理论有预期理论、市场分割理论和流动性偏好理论。预期理论认为长期利率等于预期的短期利率的平均值。例如，1年期即期利率为$r_1$，预期1年后的1年期利率为$f_{1,2}$，则2年期即期利率$r_2$满足$(1+r_2)^2=(1+r_1)(1+f_{1,2})$。

7.精算模型

-线性模型：在精算中可用于分析保险费率与风险因素之间的关系。例如，设保险费率$y$与风险因素$x_1,x_2,\cdots,x_n$之间的关系为$y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_nx_n+\epsilon$，其中$\beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_n$为回归系数，$\epsilon$为随机误差项。通过最小二乘法可以估计回归系数。

-广义线性模型：是线性模型的扩展，适用于响应变量具有非正态分布的情况，如泊松分布、伽马分布等。其由随机部分、系统部分和连接函数三部分组成。例如，对于理赔次数$N$服从泊松分布的情况，可建立广义线性模型来分析影响理赔次数的因素。

-时间序列模型：用于分析随时间变化的数据，如保险理赔数据的时间序列分析。常见的时间序列模型有自回归（AR）模型$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\cdots+\phi_pX_{t-p}+\epsilon_t$，移动平均（MA）模型$X_t=\epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}+\theta_2\epsilon_{t-2}+\cdots+\theta_q\epsilon_{t-q}$，自回归移动平均（ARMA）模型和自回归积分移动平均（ARIMA）模型等。

8.精算管理

-精算师的职业角色：精算师在保险、金融等行业中担任风险评估、产品定价、准备金评估、风险管理等重要角色。例如，在保险公司新产品开发中，精算师需要根据市场需求和风险状况进行产品定价和利润测试。

-精算项目管理：包括项目启动、规划、执行、监控和收尾等阶段。在项目规划阶段，需要确定项目目标、范围、时间计划、资源需求等。例如，一个精算项目的目标是对公司的投资组合进行风险评估，规划阶段要确定评估的方法、所需的数据、人员安排和时间进度。

-精算职业道德：精算师应遵守诚实守信、客观公正、保守秘密、专业胜任等职业道德准则。例如，精算师在为客户提供服务时，要保证所提供的信息真实准确，不泄露客户的机密信息。

9.统计基础

-概率分布：除了前面提到的泊松分布、指数分布、伽马分布外，还有正态分布，其概率密度函数$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中$\mu$为均值，$\sigma$为标准差。二项分布$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$，$k=0,1,\cdots,n$，用于描述$n$次独立重复试验中成功$k$次的概率。

-参数估计：点估计常用的方法有矩估计和极大似然估计。例如，对于正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，用样本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$估计$\mu$，用样本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$估计$\sigma^2$。区间估计是在一定的置信水平下给出参数的取值范围，如正态总体均值$\mu$的置信区间，当总体方差$\sigma^2$已知时，$\overline{X}\pmz_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

-假设检验：步骤包括提出原假设$H_0$和备择假设$H_1$，选择检验统计量，确定显著性水平$\alpha$，计算检验统计量的值，根据临界值或$p$-值做出决策。例如，检验总体均值是否等于某一特定值$\mu_0$，当总体方差$\sigma^2$已知时，检验统计量$Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，服从标准正态分布。

10.财务会计基础

-会计要素：资产、负债、所有者权益、收入、费用和利润。资产是企业过去的交易或者事项形成的、由企业拥有或者控制的、预期会给企业带来经济利益的资源，如固定资产、存货等。负债是企业过去的交易或者事项形成的、预期会导致经济利益流出企业的现时义务，如短期借款、应付账款等。

-会计等式：资产=负债+所有者权益，收入-费用=利润。这两个等式是会计核算的基础，反映了企业财务状况和经营成果之间的关系。

-财务报表分析：主要包括资产负债表分析、利润表分析和现金流量表分析。资产负债表分析可以了解企业的资产结构、偿债能力等；利润表分析可以评估企业的盈利能力；现金流量表分析可以考察企业的现金生成和使用情况。例如，通过计算流动比率（流动资产/流动负债）来评估企业的短期偿债能力。

题目

1.已知本金$P=2000$元，年利率$r=4\%$，按单利计算5年后的利息是多少？

2.若名义年利率$i^{(12)}=6\%$，求实际年利率$i$。

3.每年年末存入200元，年利率5%，存8年，求普通年金终值和现值。

4.某投资组合在99%的置信水平下，1天VaR为150万元，如何理解这个结果？

5.设理赔次数$N$服从参数为$\lambda=4$的泊松分布，求$P(N=3)$。

6.已知$l_{55}=8500$，$d_{55}=150$，求$q_{55}$和$p_{55}$。

7.对于30岁的人投保20年期定期寿险，保险金额为50万元，已知$A_{30:\overline{20}|}^1=0.1$，求趸缴纯保费。

8.若上述定期寿险采用年缴纯保费，$\ddot{a}_{30:\overline{20}|}=15$，求年缴纯保费。

9.在第8题中，第5年末按过去法和未来法计算责任准备金（假设相关数据已知）。

10.某险种的纯保费$P=300$元，安全附加系数$\theta=0.25$，求毛保费。

11.已知某损失服从指数分布，$\lambda=0.05$，求损失小于20的概率。

12.成数再保险比例为40%，原保险金额为200万元，再保险人承担的责任是多少？

13.标的资产当前价格$S_0=100$元，执行价格$K=105$元，无风险利率$r=5\%$，到期时间$T=1$年，标的资产收益率的标准差$\sigma=0.2$，用布莱克-斯科尔斯模型求欧式看涨期权的价格。

14.有两种资产$A$和$B$，$E(R_A)=0.1$，$E(R_B)=0.15$，$\sigma_A^2=0.04$，$\sigma_B^2=0.09$，$\rho_{AB}=0.5$，投资比例$w_A=0.6$，$w_B=0.4$，求投资组合的预期收益率和方差。

15.1年期即期利率$r_1=3\%$，预期1年后的1年期利率$f_{1,2}=4\%$，求2年期即期利率$r_2$。

16.建立一个简单线性回归模型$y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon$，已知样本数据$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$，用最小二乘法求$\beta_0$和$\beta_1$的估计值。

17.对于理赔次数$N$服从泊松分布的情况，建立广义线性模型分析影响理赔次数的因素（简要说明步骤）。

18.已知时间序列$X_t$满足$X_t=0.5X_{t-1}+\epsilon_t$，判断这是哪种时间序列模型。

19.精算师在保险公司新产品开发中承担哪些具体工作？

20.简述精算项目管理的主要阶段。

21.精算师应遵守哪些职业道德准则？

22.已知随机变量$X$服从正态分布$N(2,4)$，求$P(0\ltX\lt4)$。

23.对于二项分布$X\simB(10,0.3)$，求$P(X=2)$。

24.用矩估计法估计正态分布$N(\mu,\sigma^2)$的参数$\mu$和$\sigma^2$。

25.已知样本数据$x_1,x_2,\cdots,x_n$，总体服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$，$\sigma^2$已知，检验$H_0:\mu=\mu_0$，$H_1:\mu\neq\mu_0$，写出检验统计量和决策规则。

26.企业的流动资产为500万元，流动负债为300万元，计算流动比率并分析企业的短期偿债能力。

27.某企业的资产总额为1000万元，负债总额为400万元，求所有者权益。

28.已知$l_{40}=9200$，$l_{41}=9100$，计算$q_{40}$。

29.每年年初存入300元，年利率6%，存6年，求先付年金终值和现值。

30.某投资组合在90%的置信水平下，1天VaR为80万元，若置信水平提高到95%，VaR会如何变化，为什么？

31.设理赔次数$N$服从负二项分布，$r=2$，$p=0.3$，求$P(N=3)$。

32.对于45岁的人投保终身寿险，保险金额为80万元，已知$A_{45}=0.2$，求趸缴纯保费。

33.若上述终身寿险采用年缴纯保费，$\ddot{a}_{45}=12$，求年缴纯保费。

34.某险种的纯保费$P=400$元，安全附加系数$\theta=0.3$，求毛保费，并分析安全附加系数对毛保费的影响。

35.已知某损失服从伽马分布，$\alpha=2$，$\beta=0.1$，求概率密度函数。

36.溢额再保险中，原保险人自留额为50万元，某危险单位保险金额为200万元，求再保险人承担的责任。

37.标的资产当前价格$S_0=120$元，执行价格$K=115$元，无风险利率$r=4\%$，到期时间$T=0.5$年，标的资产收益率的标准差$\sigma=0.15$，用布莱克-斯科尔斯模型求欧式看涨期权的价格。

38.有两种资产$C$和$D$，$E(R_C)=0.08$，$E(R_D)=0.12$，$\sigma_C^2=0.03$，$\sigma_D^2=0.06$，$\rho_{CD}=0.3$，求投资组合在预期收益率最大时的投资比例（