华东师大版九年级数学下册教案全册

华东师大版

九年级数学下册全册教案

第26章二次函数

26.1二次函数

教学目标：

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.

2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念.

3.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.

4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.

5.会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解.

6.会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

教学重点：解二次函数的有关概念

教学难点：解二次函数的有关概念的应用

本节知识点

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义.

教学过程

（1）正方形边长为a（cm）,它的面积s（cm2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y

与x的关系式.

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的

经验，给它下个定义.

实践与探索

例1.m取哪些值时，函数y=（加2-加口2+,外大+（加+］）是以X为自变量的二次函数？

分析若函数y=（〃/-加）尤2+〃zx+（m+l）是二次函数，须满足的条件是：1-m千0.

解：若函数y=（〃/-加）/+77zx+（yw+l）是二次函数，贝！I

~m^O.

解得m^O,且机/1.

因此，当根*0,且MWI时，函数y=（机*—加）尤2+加%+（加+1）是二次函数.

回顾与反思形如丁=。召+6x+c的函数只有在aw0的条件下才是二次函数.

探索若函数y=(加2-加)九2+772X+(〃Z+1)是以X为自变量的一次函数，则m取哪些值？

例2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.

(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；

(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；

(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金，若不计利息，求本息和y(元)与所存年数x之间

的函数关系；

(4)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系.

解(1)由题意，得S=6a2(a>0),其中S是a的二次函数；

r2

(2)由题意，得y=—(%>0),其中y是x的二次函数；

4乃

(3)由题意，得y=10000+1.98%x-l00((x20且是正整数)，

其中y是x的一次函数；

(4)由题意，得S=-x(26-x)=--x2+13x(0<x<26),其中S是x的二次函数.

例3.正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用余下的部分做成一

个无盖的盒子.

(1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式；

(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积.

解(1)5=152—4/=225—4X2(0<X<£)；

(2)当x=3cm时，S=225—4x32=189(cm2).

课堂练习

1.下列函数中，哪些是二次函数？

(1)y-x2=0(2)y=(x+2)(x-2)-(x-l)2

(3)y=x2+—(4)y=Jx2+2x-3

x

2.当k为何值时，函数y=(4—D/'+L+I为二次函数？

3.己知正方形的面积为,周长为x(cm).

(1)请写出y与x的函数关系式；

(2)判断y是否为x的二次函数.

课外作业

A组

1.已知函数y=(加—3)x>-7是二次函数，求m的值.

2.已知二次函数y=a%2,当x=3时，y=-5,当x=-5时，求y的值.

3.已知一个圆柱的高为27,底面半径为x,求圆柱的体积y与x的函数关系式.若圆柱的底面半径x为

3,求此时的y.

4.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之间的函数关系式.这

个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围.

B组

5.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是()

A.y=(771—I)2%2B.y=(m+1)2%2C.y=(m2+l)x2D.y=(m2—l)x2

6.下列函数关系中，可以看作二次函数y=aX2+bx+c(awO)模型的是()

A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系

C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)

D.圆的周长与圆的半径之间的关系

课堂小结：

教学反思：

26.2二次函数的图象与性质(1)

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.

2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.

重点：二次函数的图象与性质

难点：二次函数的图象与性质

本节要点

会用描点法画出二次函数y=a£的图象，概括出图象的特点及函数的性质.

教学过程：

3

我们已经知道，一次函数y=2x+l,反比例函数y=—的图象分别是、

X

，那么二次函数y=7的图象是什么呢？

(1)描点法画函数y=炉的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反

数的值时，y的值如何？

(2)观察函数丁二好的图象，你能得出什么结论？

实践与探索

例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

(1)y=2x2(2)y=-2x2

解列表

X・・•-3-2-10123•・・

y=2尤2・・・188202818.・・

y=-2x2・・・-18-8-20-2-8-18・・・

分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26.2.1.

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点.

不同点：y=27的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对

称轴的右边，曲线自左向右上升.

y=-2无2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对

称轴的右边，曲线自左向右下降.

回顾与反思在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要

用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.

例2.已知y=(左+2口/+"4是二次函数，且当％>0时，y随x的增大而增大.

(1)求k的值；

(2)求顶点坐标和对称轴.

上2+左_4=2

解(1)由题意，得<，解得k=2.

4+2〉0

(2)二次函数为y=4/,则顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.

例3.已知正方形周长为Cem,面积为Sen?.

(1)求S和C之间的函数关系式，并画出图象；

(2)根据图象，求出S=lcn?时，正方形的周长；

(3)根据图象，求出C取何值时，S'4cm2.

分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取

值应在取值范围内.

解(1)由题意，得5=—。2(。〉0).

列表:

C2468…

j_9

S=—C214…

1644

描点、连线，图象如图26.2.2.

(2)根据图象得S=1cn?时，正方形的周长是4cm.

(3)根据图象得，当CN8cm时，S》4cm上

回顾与反思

(1)此图象原点处为空心点.

(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y.

(3)在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分.

课堂练习

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

(1)y=312(2)j=-3%2(3)y=—x2

2o

2.(1)函数y=的开口,对称轴是,顶点坐标是；

1

(2)函数y=—-/0的开口_____,对称轴是_________,顶点坐标是_________.

-4

3.已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图.

课外作业

A组

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

(1)y=-4x2(2)y=—x1

-4

2.填空：

(1)抛物线y=—51,当*=时，y有最_____值，是.

(2)当m=时，抛物线y=(加―I)x"'开口向下.

(3)已知函数y=(左2+左)/是二次函数，它的图象开口,当x时，y随x的增大而增

大.

3.己知抛物线y=中，当x〉0时，y随x的增大而增大.

(1)求k的值；(2)作出函数的图象(草图).

4.已知抛物线y=ax2经过点(1,3),求当y=9时，x的值.

B组

5.底面是边长为x的正方形，高为0.5cm的长方体的体积为yen?.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)

画出函数的图象；(3)根据图象，求出y=8cn?时底面边长x的值；(4)根据图象，求出x取何值时，y

>4.5cm3.

6.二次函数y=a%2与直线y=2x-3交于点P(1,b).

(1)求a、b的值；

(2)写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小.

27.一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M(-2,2).

(1)求出这个函数的关系式并画出函数图象；

(2)写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出/MON的面积.

课堂小结：

教学反思：

26.2二次函数的图象与性质(2)

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.

2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.

教学重点：二次函数的图象与性质

教学难点：二次函数的图象与性质

本节知识点

会画出y=a%2+上这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.

教学过程

同学们还记得一次函数y=2%与y=2x+l的图象的关系吗？

，你能由此推测二次函数丁=/与y=/+i的图象之间的关系吗？

,那么y=炉与丁=/—2的图象之间又有何关系？

实践与探索

例1.在同一直角坐标系中，画出函数y=2/与丁=2/+2的图象.

解列表.

・・・・・・

X-3-2-10123

y=2尤2•・・188202818•・・

y=2x2+2・・・20104241020・・・

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.3所示.

回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两

个点之间的位置又有什么关系？

探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此

说出函数y=2尤2与丁=2——2的图象之间的关系吗？

例2.在同一直角坐标系中，画出函数y=—/+1与y=———1的图象，并说明，通过怎样的平移，可

以由抛物线y=——+1得到抛物线y=—1.

解列表.

・・・

X…-3-2-10123

y=-/+1・・・-8-3010-3-8…

y=一--1.・・-10-5-2-1-2-5-10・・・

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26.2.4所示.

可以看出，抛物线y=-必-1是由抛物线y=-必+1向下平移两个单位得到的.

回顾与反思抛物线y=-X2+1和抛物线y=—I分别是由抛物线y=-X2向上、向下平移一个单位

得到的.

探索如果要得到抛物线y=-炉+4,应将抛物线y=-必-1作怎样的平移？

例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与y=相同，顶点纵坐标是一2,且抛物线经过点（1,1）,求这

条抛物线的函数关系式.

解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,-2）,

因此所求函数关系式可看作y=af—2（a>0）,又抛物线经过点（1,1）,

所以，l=a-F—2,解得a=3.

故所求函数关系式为y=3——2.

回顾与反思y=a^+k(a、k是常数，aWO)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下:

开口方向对称轴顶点坐标

y=ax2+ka>0

a<0

课堂练习

1.在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

y--X2,y=—x2+2,y-—x1-2.

'2-2'2

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置.你能说出抛物线

y='./+上的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？

-2

1,

2.抛物线y=———9的开口____,对称轴是________,顶点坐标是__________,它可以看作是由抛物

-4

线y=工/向平移个单位得到的.

-4

3.函数y=—31+3,当x时，函数值y随x的增大而减小.当x时，函数取得最—值,

最____值y=.

课外作业

A组

1.己知函数>>=；/+3,y=^x2-2.

(1)分别画出它们的图象；

(2)说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

(3)试说出函数>=；/+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.

11

2.不画图象，说出函数丁=—-0—+3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数y=—一0—通

-4-4

过怎样的平移得到的.

3.若二次函数y=ad+2的图象经过点(-2,10),求a的值.这个函数有最大还是最小值？是多少？

B组

4.在同一直角坐标系中y=。三+匕与丁=ax+)(a力力0)的图象的大致位置是()

5.已知二次函数y=8%2—（k—1）%+左一7,当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关

系式.

课堂小结:

教学反思:

26.2二次函数的图象与性质（3）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.

2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.

重点：二次函数的图象与性质

难点：二次函数的图象与性质

本节知识点

会画出y=a（尤-//尸这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.

教学过程

我们已经了解到，函数y=af+左的图象，可以由函数丁=。产的图象上下平移所得，那么函数

y=5(x-2y的图象，是否也可以由函数>=万/平移而得呢？画图试一试,你能从中发现什么规律吗？

实践与探索

例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

2

y=；%2,y=g(x+2)2,y=l(X-2),并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线X=-2和直线X=2；顶点坐标分别是

(0,0),(-2,0),(2,0).

1。

回顾与反思对于抛物线y=](x+2)2,当x时，函数值y随x的增大而减小；当x时,

函数值y随x的增大而增大；当x_______时，函数取得最___值，最____值y=_______.

探索抛物线y=g(x+2)2和抛物线y=g(x-2)2分别是由抛物线y=向左、向右平移两个单位得

11,

到的.如果要得到抛物线y=g(x-4)2,应将抛物线y=万/作怎样的平移？

例2.不画出图象，你能说明抛物线y=—3/与y=—3(X+2尸之间的关系吗？

解抛物线y=—3九2的顶点坐标为(0,0)；抛物线y=—3(x+2)2的顶点坐标为(-2,0).

因此,抛物线y=-3/与y=—3(%+2产形状相同，开口方向都向下,对称轴分别是y轴和直线x=-2.抛

物线y=—3(x+2产是由y=—3/向左平移2个单位而得的.

回顾与反思y=a(x-h)2(a、h是常数，aWO)的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：

开口方向对称轴顶点坐标

y=a(x-h)2a>0

6Z<0

课堂练习

1.画图填空：抛物线y=(x-l)2的开口,对称轴是,顶点坐标是,它可以看

作是由抛物线y=d向平移个单位得到的.

2.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

y=-2x2,y=-2(x-3)2,y=-2(x+3)2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

课外作业

A组

1.己知函数>y=_g(x+l)2,y=-g(x-1)2.

(1)在同一直角坐标系中画出它们的图象；

(2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；

(3)分别讨论各个函数的性质.

2.根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y=-得到抛物线y=—g(x+i)2

和y=(x-i)2?

3.函数y=—3(无+1尸，当x时，函数值y随x的增大而减小.当x时，函数取得最—值,

最____值y=.

4.不画出图象，请你说明抛物线y=5九2与y=5(x—4)2之间的关系.

B组

5.将抛物线丁=。三向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为一2,且新抛物线经过点

(1,3),求。的值.

课堂小结:

教学反思:

26.2二次函数的图象与性质(4)

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.

2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.

教学重点：二次函数的图象与性质

教学难点：二次函数的图象与性质

本节知识点

1.掌握把抛物线y=平移至y=a(x—/z)2+k的规律；

2.会画出y=a(x—/z)2+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.

教学过程

由前面的知识，我们知道，函数y=2/的图象，向上平移2个单位，可以得到函数y=2/+2的

图象；函数y=2/的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y=2(x—3产的图象，那么函数y=2无？的

图象，如何平移，才能得到函数y=2(x—3)2+2的图象呢？

实践与探索

例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

y=y=；(x—1尸一2,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

解列表.

・・・・・・

X-3-2-10123

12・・・9]_j_?・・・

丁丁202

2222

29_££

y=1(x-D8202・・・

222

15__3_3

J=-(X-1)29-2.・・60-20•・・

2~2~2

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26.2.6所示.

它们的开口方向都向，对称轴分别为、、,顶点坐标分别

为、、.请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系.

回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y=a(x—/z)2+k中k的值；左右平移，只影

响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平

移的路径.此外，图象的平移与平移的顺序无关.

探索你能说出函数丁=。(%—/1尸+1<6、11、］£是常数，aWO)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？

试填写下表.

开口方向对称轴顶点坐标

a>0

a<0

例2.把抛物线。向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y=%2,求b、c

的值.

分析抛物线y=Y的顶点为(0,0),只要求出抛物线y=/+/>*+。的顶点，根据顶点坐标的改变，

确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值.

解丁=尤2+法+°=/+"+/—/+c=（x+2）2+c—/

4424

AA2

向上平移2个单位，得到y=(x+])2+c—彳+2,

hA2

再向左平移4个单位，得到y=(x+]+4尸+c—彳+2,

AA2

其顶点坐标是(-5-4,C-彳+2),而抛物线y=%2的顶点为(0,0),则

”4=0

2

4+2=0

b=-8

解得

[c=14

探索把抛物线y=-+/TC+C向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线y=/，也就意味

着把抛物线y=d向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得至U抛物线y=/+bx+c.那么，本题还

可以用更简洁的方法来解，请你试一试.

课堂练习

1.将抛物线y=2(x—4>—1如何平移可得到抛物线丁=2/()

A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位

B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位

C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位

D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位

2.把抛物线丁=-一/向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式

2

为.

1,1,

3.抛物线y=l+2x--/可由抛物线一一1向平移个单位，再向平移个单位

22

而得到.

课外作业

A组

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

y=-3%2,y=—3(x+2)2,y=—3(x+2>—1,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

2.将抛物线丁=-7+2工+5先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关

系式.

1,31.

3.将抛物线y=—万一+》+万如何平移，可得到抛物线y=—万，+2%+3?

B组

4.把抛物线丁=%2+/；%+。向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线丁=尤2—31+5,则

有()

A.b=3,c=7B.b=-9,c=-15C.b=3,c=3D.b=-9,c=21

5.抛物线y=—3/+/)龙+。是由抛物线y=—3%2—bx+i向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到

的，求b、c的值.

6.将抛物线丁二^^^^^向左平移忖个单位，再向上平移网个单位，其中h>0,k<0,求所得的抛物

线的函数关系式.

课堂小结：

教学反思:

26.2二次函数的图象与性质（5）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.

2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.

教学重点：二次函数的图象与性质

教学难点：二次函数的图象与性质

本节知识点

1.能通过配方把二次函数y=。召+bx+c化成y=。（尤-/i）2+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和

顶点坐标；

2.会利用对称性画出二次函数的图象.

教学过程

我们已经发现，二次函数y=2（x—3）2+l的图象，可以由函数y=2无2的图象先向_平移_个单

位,再向—平移一个单位得到，因此，可以直接得出：函数y=2（x—3-+1的开口,对称轴

是，顶点坐标是.那么，对于任意一个二次函数，如y=—必+3]—2,你能很容易

地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？

实践与探索

例1.通过配方，确定抛物线y=—2/+4x+6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图.

解y=—2/+4x+6

=-2(x2-2x)+6

=-2(x2-2x+l-l)+6

=-[2(1)2-l]+6

=-2(1)2+8

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线X=l,顶点坐标为(1,8).

由对称性列表：

・・・

X-2-101234

y=-2x2+4%+6・・・-1006860-10

描点、连线，如图26.2.7所示.

回顾与反思(1)列表时选值，应以对称轴x=l为中心，函数值可由对称性得到，.

(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，

最后用平滑曲线顺次连结各点.

探索对于二次函数y=ad+bx+c,你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对

称轴，顶点坐标.

例2.已知抛物线y=(a+2)九+9的顶点在坐标轴上，求。的值.

分析顶点在坐标轴上有两种可能：(1)顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；(2)顶点在y轴上，则

顶点的横坐标等于0.

解y=，_(a+2)x+9=(x_^^)2+9—9[2)2,

则抛物线的顶点坐标是£±Z,9」a+2)2.

24

当顶点在x轴上时，有-"2=0,

2

解得a=-2.

(a+2r

当顶点在y轴上时，有9-=0,

4

解得。=4或a=-8.

所以，当抛物线y=J—(a+2)x+9的顶点在坐标轴上时，。有三个值，分别是-2,4,8.

课堂练习

1.(1)二次函数y=———2x的对称轴是.

(2)二次函数y=2九2—2x—1的图象的顶点是,当x时，y随x的增大而减小.

(3)抛物线y=—4x—6的顶点横坐标是-2,则。=.

,1

2.抛物线y=+2x+c的顶点是(§,—1),则a、c的值是多少？

课外作业

A组

1,5

1.已知抛物线丁=5/一3%+,，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象.

2.利用配方法，把下列函数写成y=a(x-»2+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点

坐标.

(1)y=—x~+6x+1(2)y=2x~-3x+4

(3)y=—x2+nx(4)y=x2+px+q

3.己知y=(左+2)x*\2J＞是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大.

(1)求k的值；(2)求开口方向、顶点坐标和对称轴.

B组

4.当。＜0时，求抛物线y=炉+2。*+1+2］的顶点所在的象限.

5.已知抛物线y=/—4x+/i的顶点A在直线y=-4x—1上，求抛物线的顶点坐标.

课堂小结：

教学反思:

26.2二次函数的图象与性质（6）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.

2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.

教学重点：二次函数的图象与性质

教学难点：二次函数的图象与性质

本节知识点

1.会通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c（a。0）的最大或最小值；

2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或

最小值.

教学过程

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如

问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件.该店想通过降低

售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约

10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数

y=-lOx2+1001+2000.那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?

实践与探索

例1.求下列函数的最大值或最小值.

（1）y=212—3尤一5；（2）y=—x2—3x+4.

分析由于函数y=2——3x—5和y=—3x+4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定

它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.

解（1）二次函数y=2——3%-5中的二次项系数2>0,

因此抛物线y=2——3x—5有最低点，即函数有最小值.

349

因为y=2129_3x_5=2（%—工）92_§,

349

所以当x=1时，函数y=2d—3x—5有最小值是--

48

（2）二次函数y=-必-3x+4中的二次项系数-1<0,

因此抛物线y=—f—3x+4有最高点，即函数有最大值.

325

因为y=-x2—3x+4=—（x+—）*+,

325

所以当x=—1时，函数y=———3x+4有最大值是」.

24

回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a>0有最小值，a<0有最大值；第二步配方

求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.

探索试一试，当2.5WxW3.5时，求二次函数y=f—2x—3的最大值或最小值.

例2.某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系

如下表：

X（元）130150165

y（件）705035

若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销

售利润是多少？

分析日销售利润=日销售量X每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量.

解由表可知x+y=200,

因此，所求的一次函数的关系式为y=—x+200.

设每日销售利润为s元，则有

s=y（x—12Q）=—（%—160）2+160。

因为—x+20020,x—12020,所以120<x<200.

所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元.

回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出

结果.

例3.如图26.2.8,在Rt/ABC中，ZC=90°,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上，分另ij作DEJ_AC,

DF±BC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y.

（1）用含y的代数式表示AE；

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

（3）设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值.

解（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此

AE=AC-DF=8-y.

(2)由。E〃BC,得匹=任，即2=

BCAC48

所以，y=8-2x,x的取值范围是0<x<4.

(3)S=xy=x(S-2x)=-2%2+8x=-2(x-2)2+8,

所以，当x=2时，S有最大值8.

课堂练习

1.对于二次函数y=X?-2%+加，当x=时，y有最小值.

2.已知二次函数y=a（x-l）2+b有最小值-1,则a与b之间的大小关系是（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.不能确定

3.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少

库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多

售出2件.

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

课外作业

A组

1.求下列函数的最大值或最小值.

（1）y=—x?—2x；（2）y=2x2—2x+1.

2.已知二次函数y=尤2-6%+加的最小值为1,求m的值.，

3.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：

y=—0」/+2.6l+43（0<兀<30）.y值越大，表示接受能力越强.

（l）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

（2）第10分时，学生的接受能力是多少？

（3）第几分时，学生的接受能力最强？

B组

4.不论自变量x取什么数，二次函数y=2x?-6x+力的函数值总是正值，求m的取值范围.

5.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）,围成中间隔有一道篱笆的长方

形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为Sm?.

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？

（3）能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出

最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由.

6.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,线段EF在对角线AC上，EG±AD,FHXBC,垂足分别是G、

H,且EG+FH=EF.

（1）求线段EF的长；

（2）设EG=x,/AGE与/CFH的面积和为S,

写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围,

并求出S的最小值.

课堂小结：

教学反思：

26.2二次函数的图象与性质（7）

教学目标：

1、会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.

2、会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.

教学重点：二次函数的图象与性质

教学难点：二次函数的图象与性质

本节知识点

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式.

教学过程

一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式.例

如：我们在确定一次函数,=日+次左。0）的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数

丁=人（%w0）的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的关系式,

x

又需要几个条件呢？

实践与探索

例1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图26.2.9所示，现测得水面宽1.6m,涵洞顶点O到水面的距

离为2.4m,在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系.这时，涵

洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是y=（a<0）.此

时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式.

解由题意，得点B的坐标为（0.8,-2.4）,

又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入丁=。月（。<0）,得

—2.4=Qx0.82

所以«=.

4

15

因此，函数关系式是y=—-x29.

-4

例2.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

(1)已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2)；

(2)已知抛物线的顶点为(1,-3),且与y轴交于点(0,1)；

(3)已知抛物线与x轴交于点M(-3,0)、(5,0),且与y轴交于点(0,-