第12讲正态分布（春季讲义）（人教A版2019选择性）（原卷版）

第12讲正态分布【人教A版2019】模块一模块一二项分布1．连续型随机变量随机变量的取值充满某个区间甚至整个数轴，但取一点的概率为0，称这类随机变量为连续型随机变量.2．正态分布(1)正态曲线

函数f(x)=，x∈R.其中μ∈R，σ>0为参数.我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线.

(2)正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为.特别地，当μ=0，σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

若，则E(X)=μ，D(X)=σ2.3．正态曲线的特点(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

(2)曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；

(3)曲线在x=μ处达到峰值；

(4)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴；

(5)对任意的σ>0，曲线与x轴围成的面积总为1；

(6)在参数σ取固定值时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

(7)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，当σ较小时，峰值高，曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；当σ较大时，峰值低，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图乙所示.4．3σ原则(1)正态总体在三个特殊区间内取值的概率

P(μσ≤X≤μ+σ)≈0.6827；

P(μ2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545；

P(μ3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.

(2)3σ原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ3σ，μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.5．正态分布问题的解题策略解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x=μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.【注】若X服从正态分布，即X～N(μ,)，要充分利用正态曲线关于直线x=μ对称和曲线与x轴之间的面积为1解题.【题型1正态密度函数】【例1.1】（2425高二下·江苏·课后作业）已知正态分布密度函数fx=18πe−A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和2【例1.2】（2025高二·全国·课后作业）给出下列函数：①f(x)=12πσe−(x+μ)22σ2；②f(x)=1A．1 B．2 C．3 D．4【变式1.1】（2223高二下·江苏·课后作业）函数f(x)=12πσeA．

B．

C．

D．

【变式1.2】（2324高二上·全国·课后作业）设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为f(x)=16πA．μ=2,σ=3 B．μ=3,σ=2C．μ=2,σ=3 D．【题型2正态曲线的特点及性质】【例2.1】（2324高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数φi(x)=12πσieA．μ1=μ3>μ2C．μ1=μ3>μ2【例2.2】（2324高二下·浙江温州·期中）设X~Nμ1,σ1A．μ1>μC．PY≥μ2【变式2.1】（2425高二·全国·课后作业）甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布Nμ1,σ1（注：正态曲线的函数解析式为f(x)=12π⋅σA．甲类水果的平均质量μB．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ【变式2.2】（2025高三·江苏·专题练习）已知三个正态分布密度函数ϕi(x)=1A．σ1=σ2>C．μ1=μ【题型3利用正态曲线的对称性求概率】【例3.1】（2324高二下·吉林松原·期末）已知X∼Nμ,σ2,PX≥−1+PX≥3A．0.6 B．0.4 C．0.8 D．0.2【例3.2】（2324高二下·广东东莞·期末）已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且P(X<3)P(X<1)=4A．35 B．23 C．310【变式3.1】（2324高二下·江苏南通·期末）已知随机变量X~N2,σ2，且P(X<1.8)=0.47，则P(2<X≤2.2)=A．0.02 B．0.03 C．0.07 D．0.08【变式3.2】（2324高二下·云南昆明·期中）已知随机变量X服从正态分布N2,σ2，且P(2<X<3)=0.37，则P(X<3)=A．0.13 B．0.37 C．0.63 D．0.87【题型4利用正态曲线的对称性求参数】【例4.1】（2324高二下·陕西咸阳·阶段练习）某生产线正常生产状态下生产的产品A的一项质量指标X近似服从正态分布N8,σ2，若PX≤2a=PA．8 B．15 C．8 D．15【例4.2】（2425高二下·河北张家口·阶段练习）已知随机变量X服从正态分布N4,σ2，若PX≤1+2a+PA．−1 B．0 C．2 D．6【变式4.1】（2324高二下·江苏南京·期末）已知随机变量X服从正态分布N4,σ2σ>0，则“m=3”是“A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【变式4.2】（2324高二下·福建三明·期中）红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差.用一款红外体温计测量一位体温为36.8°C的人时，显示体温X服从正态分布N36.8,0.06n，若X的值在36.6,37.0内的概率约为0.9545，则（参考数据：若X~Nμ,σ2A．3 B．4 C．5 D．6【题型5利用3σ原则求概率】【例5.1】（2425高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩X∼N80,625，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（

（提示：若X~Nμ,σ2，则Pμ−σ<X<μ+σ=0.6827A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135【例5.2】（2324高二下·广东江门·期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布N95,82，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D（附：Pμ−σ<X<μ+σ≈0.68，Pμ−2σ<X<μ+2σA．A B．B C．C D．D【变式5.1】（2425高二下·河北·阶段练习）某质检员从某生产线生产的零件中随机抽取了一部分零件进行质量检测，根据检测结果发现这批零件的某一质量指数X服从正态分布N50,9，且X落在47,56内的零件个数为81860，则可估计所抽取的零件中质量指数小于44的个数为（

（附：若随机变量Z服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ≤Z≤μ+σ≈0.6827A．270 B．2275 C．2410 D．4550【变式5.2】（2024·河南·三模）已知Pμ−σ≤X≤μ+σ=0.6827,Pμ−2σ≤X≤μ+2σ=0.9545,Pμ−3σ≤X≤μ+3σ=0.9973.某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量A．286 B．293 C．252 D．246【题型6正态分布的实际应用】【例6.1】（2324高三下·上海松江·阶段练习）王先生每天8点上班，他通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行.私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N38,72，从停车场步行到单位要6分钟；王先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线较长，所需时间（单位：分钟）服从正态分布N①若7：00出门，则王先生开私家车上班不会迟到②若7：02出门，则王先生开私家车上班不迟到的可能性更大③若7：06出门，则王先生乘坐地铁上班不迟到的可能性更大④若7：12出门，则王先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到参考数据：若Z~Nμ,σ2，则PZ−μA．1 B．2 C．3 D．4【例6.2】（2324高三上·全国·开学考试）某校高三数学摸底考试成绩X（单位：分）近似服从正态分布N110,σ2，且PA．估计该校高三学生人数为1200B．估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70．C．估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425．D．估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多．【变式6.1】（2024·陕西商洛·模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：脐橙数量/盒[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]购物群数量/个1218m3218(1)求实数m的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；(2)假设所有购物群销售脐橙的数量X~Nμ,σ2，其中μ为（1）中的平均数，σ2=14400.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在[256,616)（单位：盒）内的群为“A级群”，销售数量小于256盒的购物群为“B附：若X~Nμ,σ2，则P(μ−σ≤X<μ+σ)≈0.683，P(μ−2σ≤X<μ+2σ)≈0.954【变式6.2】（2024·四川泸州·二模）统计学中有如下结论：若X∼Nμ,σ2，从X的取值中随机抽取kk∈N∗(1)假设老板的说法是真实的，随机购买25份披萨，记这25份披萨的平均值为Y，利用上述结论求PY≤490(2)希尔伯特每天都会将买来的披萨称重并记录，25天后，得到的数据都落在475,525上，并经计算得到25份披萨质量的平均值为488.72g附：①随机变量η服从正态分布Nμ,σ2，则Pμ−σ≤η≤μ+σ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生．【题型7正态分布与其他知识综合】【例7.1】（2324高二下·内蒙古通辽·阶段练习）全面建设社会主义现代化国家，最艰巨最繁重的任务仍然在农村，强国必先强农，农强方能国强.某市为了解当地农村经济情况，随机抽取该地2000户农户家庭年收入X（单位：万元）进行调查，并绘制得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求这2000户农户家庭年收入的样本平均数x和样本方差s2(2)由直方图可认为农户家庭年收入X近似服从正态分布Nμ,σ2，其中μ近似为样本平均数x①估计这2000户农户家庭年收入超过9.06万元的户数？（结果保留整数）②如果用该地区农户家庭年收入的情况来估计全市农户家庭年收入的情况，现从全市农户家庭中随机抽取4户，记年收入不超过9.06万元的农户家庭数为ξ，求P(ξ≤3).（结果精确到0.001）附：①2.14≈1.46；②若X∼Nμ,σ2【例7.2】（2324高二下·青海海东·阶段练习）某公司采购了一批零件，为了检测这批零件是否合格，从中随机抽测了120个零件的长度（单位：分米），按数据分成1.2,1.3，1.3,1.4，1.4,1.5，1.5,1.6，1.6,1.7，1.7,1.8这6组，得到如下的频数分布表：分组1.2,1.31.3,1.41.4,1.51.5,1.61.6,1.71.7,1.8频数5154040155以这120个零件的长度在各组的频率作为整批零件的长度在各组的概率．(1)若从这批零件中随机抽取3个，记X为抽取的零件的长度在1.4,1.6中的个数，求X的分布列和数学期望；(2)若变量S满足Pμ−σ<S≤μ+σ−0.6827≤0.05，且Pμ−2σ<S≤μ+2σ−0.9545≤0.05，则称变量S满足近似于正态分布【变式7.1】（2024·河南·模拟预测）某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，已知各关通过与否相互独立.(1)若小李在第一关､第二关及第三关通过测试的概率分别为56,4(2)统计得10000名竞聘者的得分X∼N420.5,附：若随机变量X∼Nμ,σ【变式7.2】（2324高二下·吉林长春·期末）目前，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一.当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分，笔试通过后才能进入面试环节.已知某市2024年共有10000名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，笔试成绩ξ~N60,(1)利用正态分布的知识，估计该市报考中小学教师资格的10000名笔试考生中，进入面试的人数（结果只保留整数）；(2)现有甲、乙、丙3名考生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为34,23,参考数据：若X~Nμ，σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ一、单选题1．（2425高二下·天津·阶段练习）如果随机变量X∼N1,σ2，且P−1≤X≤1=0.3A．0.3 B．0.2 C．0.8 D．0.72．（2425高二下·全国·课后作业）如图是正态分布Nμ,σ12，Nμ,σ22，Nμ,σ32（σ1

A．σ1>σ2>σ3 B．3．（2025高三·全国·专题练习）某校高三年级有1000名学生，在一次检测考试中，数学成绩X～N105,（参考数据：Pμ−σ<X≤μ+σ=0.68，A．0.6810 B．0.9510 C．0.895104．（2425高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布Nμ1,σ1，NA．μ1=μC．μ1>μ5．（2425高三上·山东济南·期末）已知随机变量ξ∼N2,σ2，且Pξ≤a−3b=Pξ≥b，则当A．1+24 B．3+224 C．6．（2425高三下·上海·阶段练习）已知随机变量X服从正态分布Nμ,σ2A．PB．PC．PD．P7．（2425高三上·浙江·阶段练习）若随机变量X∼N12,9，则下列选项错误的是（

A．PX>12=0.5 C．E3X−1=35 8．（2324高二下·福建福州·阶段练习）已知X∼Nμ,σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σ≈0.6827,Pμ−2σ≤X≤μ+2σ≈0.9545,Pμ−3σ≤X≤μ+3σ≈0.9973.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布N5.40,0.052，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间(5.35,5.55).若A．51 B．52 C．53 D．54二、多选题9．（2425高二下·河北沧州·阶段练习）下列命题中正确的是（

）A．已知ξ服从正态分布N(0,σ2)，且B．已知ξ服从正态分布N(2,9)，且P(ξ>c)=P(ξ<c−2)，则常数c的值为3C．已知ξ服从正态分布N(2,σ2)，若在(−D．已知ξ∼B(4,p)其中0<p<1，则D10．（2425高三下·浙江杭州·阶段练习）体育教育既能培养学生自觉锻炼身体的习惯，又能培养学生开拓进取、不畏艰难的坚强性格.杭州学军中学西溪校区高三学生参加体育测试，其中理科班女生的成绩X与文科班女生的成绩Y均服从正态分布，且X~N160,900，Y~NA．EX=160 C．P(X<120)+PX≤200=1 11．（2425高三下·河北沧州·阶段练习）已知某学校的数学考试成绩X服从正态分布N90, 5参考数据：若X~Nμ, σ2，则Pμ−σ≤X≤μ+σA．若PX≥2m+1=PB．PC．PD．P三、填空题12．（2324高二下·西藏拉萨·期末）已知随机变量X服从正态分布N5,σ2，若P5<X≤6=0.27，则13．（2025·河南·一模）统计学中通常认为服从正态分布Nμ,σ2的随机变量X只取μ−3σ,μ+3σ中的值，简称为3σ原则.假设某厂生产的包装盒的厚度（单位：mm）X∼N10,σ2，某天检测员随机抽取了一个包装盒，测得其厚度不小于16mm，他立即判断生产出现了异常，由此可知14．（2025高三·全国·专题练习）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口．为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1，样本方差s2=0.01．已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N1.8,0.12，假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布Nx,s2，则（若随机变量①PX>2>0.2；②PX>2<0.5四、解答题15．（2425高二下·全国·课后作业）设X~N3,(1)P(−1≤X≤7)；(2)P(7<X≤11)；(3)P(X>11)．16．（2425高二下·全国·单元测试）在某次数学考试中，考生的成绩X服从正态分布X~N(95,225).(1)试求考试成绩X位于区间[65,125(2)若这次考试共有3000名考生，试估计考试成绩位于区间[80,110（参考数据：P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545）17．（2425高二上·江苏·假期作业）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的5%(1)为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为23(2)经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为μ，标准差记为σ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布N(μ,σ2)．已知μ=74附：若随机变量ξ~N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.954518．（2024·河北保定·二模）单位面积穗数