第03讲函数的极值与最大（小）值讲义-高二上学期人教版A版选择性

第03讲函数的极值与最大（小）值一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．知识点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点．②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异．二、函数的最值（一）函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如．知识点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．②函数的极值可以有多个，但最值只有一个．【典型例题】1、已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2、已知函数在上无极值，则实数的取值范围为（

）A．B．C． D．3、已知函数，，则的最小值为.4、若函数在内有最小值，则实数的取值范围是.5、已知函数在处的切线平行于轴．(1)求实数的值；(2)求函数的极小值．6、已知函数，求的极值.7、已知函数.(1)求的单调区间；(2)求在区间上的最大值和最小值.(3)若方程有三个根，写出k的取值范围（无需解答过程）.2025年4月2日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知函数，则（

）A．函数的极大值为，无极小值 B．函数的极小值为，无极大值C．函数的极大值为0，无极小值 D．函数的极小值为0，无极大值2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．已知函数的图象与轴相切于点，则的（

）．A．极大值为，极小值为0B．极大值为0，极小值为负的C．极小值为，最大值为0D．极小值为0，极大值为4．已知函数的极小值为，则（

）A． B． C．1 D．25．函数在区间上有最小值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．若函数不存在极值，则的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．8．关于函数，下列结论错误的是（

）A．的解集是 B．是极小值，是极大值C．没有最小值，也没有最大值 D．有最大值，没有最小值二、多选题9．函数的定义域为R，它的导函数的部分图象如图所示，则下面结论正确的是（

）A．在上函数为增函数 B．在上函数为增函数C．在上函数有极大值 D．是函数在区间上的极小值点10．已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于对称C．的最小值为 D．在区间上单调递减三、填空题11．若是函数的一个极值点，则．12．已知将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，若函数在时恒成立，则实数m的最大值是.四、解答题13．给定函数（1）判断函数的单调性，并求出的极值；（2）画出函数的大致图象；（3）求出方程的解的个数《2025年4月2日高中数学作业》参考答案题号12345678910答案AAACAACCACAC1．A【分析】利用导数来求得的极值.【详解】的定义域为，，在递增；在递减，所以的极大值为，没有极小值.故选：A2．A【分析】根据极值点的定义，结合导函数的图象判断即可.【详解】由导函数f′(x)的图象知在x＝－2处f′(－2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝－2是极大值；在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，x＝－1是极小值；在x＝－3处f′(2)＝0，且其两侧导数符号为左正右负，x＝2是极大值；所以f(x)的极小值点的个数为1，故选：A【点睛】本题主要考查极值点的定义以及数形结合思想的应用，属于基础题.3．A【分析】由于的图象与轴相切且切点为，则将代入中得到，又因为相切时函数图象与轴只有一个交点，则，从而可求出的值，确定的解析式，求出导数讨论函数的单调区间，从而可求出极值【详解】由，得，因为的图象与轴相切且切点为，所以，即，，解得，所以，则，令，得或，当或时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故选：A4．C【分析】先求导数，利用极小值可求答案.【详解】因为，所以；当时，，为减函数，没有极值.当时，由得；时，，为增函数；时，，为减函数；时，，为增函数；所以当时，有极小值，，解得.故选：C.5．A【分析】利用导数可求得在上单调递减，在上单调递增，结合已知条件得，从而求出的取值范围．【详解】∵，∴，∴当时，，当时，，可知，在上单调递减，在上单调递增，∴在处取得极小值，又∵在区间上有最小值，∴，解得．故选：A．6．A【分析】由题意函数不存在极值，则在上恒成立，从而可解.【详解】函数，则，因为函数不存在极值，则在上恒成立，则，得.故选：A7．C【分析】构造函数，则存在，使得成立，再利用分离参数法求解即可.【详解】由成立，可得，设，则存在，使得成立，即，又，当且仅当，即时取等号，所以，所以实数a的取值范围是.故选：C.8．C【分析】解不等式判断A；利用导数探讨函数的极值、最值判断BCD.【详解】函数的定义域为R，对于A，，解得，即的解集是，A正确；对于BCD，，当或时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，因此是极小值，是极大值，B正确；显然当时，恒成立，当时，，，而当时，函数的值域为，而，因此有最大值，没有最小值，C错误，D正确.故选：C9．AC【解析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）.【详解】由图象可知在区间和上，递增；在区间上，递减.所以A选项正确，B选项错误.在区间上，有极大值为，C选项正确.在区间上，是的极小值点，D选项错误.故选：AC10．AC【分析】通过可判断A；通过可判断B；通过导数确定函数的单调性，求出最值可判断C，D.【详解】由于，故A正确；由于，即的图象不关于对称，故B错误；，当即时，，函数单调递增；当即时，，函数单调递减；所以的最小值为，故C正确；由以上分析可知，在上单调递增，故D错误.故选：AC.11．【分析】根据极值点的定义直接求值.【详解】由，得，依题意可得，解得，当时．，，令，解得，列表单调递增极大值单调递减单调递减极小值单调递增所以在处取得极小值，故答案为：.12．/0.5【分析】根据平移变换可得，函数在时恒成立，即在时恒成立，利用导数求出函数的最小值，即可得出答案.【详解】解：根据题意，得，由，得，令，，则，因为，则，故，∴恒成立，∴在区间上单调递减，∴，即，∴m的最大值为.故答案为：.13．（1）单调递增区间为；单调递减区间为，极小值,；（2）答案见详解；（3）当时，解为个；当或时，解为个；当时，解为个【分析】（1）求出导函数，再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.（2）由函数的单调性、极值即可作出图象.