【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】 专题15 导数与极限 真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页【高中数学竞赛真题•强基计划真题考前适应性训练】专题15导数与极限真题专项训练（全国竞赛+强基计划专用）一、单选题1．（2018·全国·高三竞赛）一个人以匀速去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车时，交通灯由红变绿，汽车以的加速度匀加速开走，那么（

）．A．人可在内追上汽车 B．人可在内追上汽车C．人追不上汽车，其间最近距离为 D．人追不上汽车，其间最近距离为7m【答案】D【详解】如图，设汽车在点开始运动，此时人通过点．经过秒后，汽车到达点，有路程；人此时追到点，有路程．依题意两者的距离是．可见，人不能追上汽车，他与汽车最近距离是在汽车开动后的瞬间，两者距离为．2．（2022·全国·高三专题练习）设是离散型随机变量的期望，则下列不等式中不可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据各选项的期望，分别判断、、、在定义域内是否存在下凹区间即可.【详解】A：由且定义域为，则，，即为上凸函数，有，所以；B：由且定义域为，则，，显然上，即在为下凹函数，，所以存在；C：由，则，，显然在，上，即在，为下凹函数，有，所以存在；D：由，则，，显然存在上，即在为下凹函数，有，所以存在.故选：A.【点睛】关键点点睛：利用函数二阶导数的几何意义判断各选项对应函数定义域内是否存在下凹区间即可.二、填空题3．（2021·上海·统考模拟预测）______【答案】【分析】把分子分母都放在根号下，再同时除以即可.【详解】==故答案为:4．（2019·全国·高三竞赛）函数的最大值是______.【答案】.【详解】设.则.由，得.令.解得（舍去负根）.故.故答案为5．（2018·全国·高三竞赛）对，若复数对应的点有个在单位圆上，则______．【答案】1【详解】由点在单位圆上有．作函数．由，知为严格递增函数．又，故方程在内恰有一个实根．因此，．6．（2018·全国·高三竞赛）抛一颗色子三次，所得点数分别为、、.则函数在上为增函数的概率为______.【答案】【详解】注意到，在上为增函数等价于在上恒成立，等价于，即.当时，，有3种；当时，，有10种；当时，，有21种；当时，，有30种；当时，，有35种.故所求概率为.7．（2018·全国·高三竞赛）已知函数，其中，.过点作函数图像的切线，令各切点的横坐标构成数列.则数列的所有项之和的值为______.【答案】【详解】设切点坐标为.则切线方程为.将点的坐标代入切线方程得.令，.则这两个函数的图像均关于点对称，其交点的横坐标也关于对称成对出现，方程的根，即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列的项也关于对称成对出现，在内共构成1006对，每对的和均为.因此，数列的所有项的和.8．（2021·全国·高三竞赛）若数列是首项不为零的等差数列，则___________.【答案】1或3##3或1.【详解】设数列的前项和为，则，若为常数列，则；若不为常数列，则，故答案为：1或3.9．（2022·江苏南京·高三强基计划）设，则函数的最大值为___________.【答案】【详解】，令，所以，，则时，；时，，所以在上增，上减，，故答案为：.10．（2022·浙江·高二竞赛）已知函数在处的切线方程为，则______.【答案】【详解】由函数的解析式可得，则，解得，当时，，即切点坐标为，故，解得，.故答案为：.11．（2019·全国·高三竞赛）已知过点的直线与曲线交于两不同的点、.则曲线在、处切线交点的轨迹为______.【答案】，.【详解】设，，点、处的切线为、，交点坐标为，直线的方程为.由.而，.易知的方程为.同理，.故，.又.故所求交点的轨迹为，.故答案为，.12．（2019·全国·高三竞赛）设．则当与两个函数图像相切时，______．【答案】【详解】因为两个函数互为反函数，且关于直线对称，所以，相切时切点在上．设切点为．则，①．②将式①代入式②得，即．③再将式①代入式③得．故．13．（2019·全国·高三竞赛）设函数的图像关于直线对称.则对满足的任意实数，的最小值为__________．【答案】【详解】由题意，知定义区间的中点为.于是，.则令，得.由对任意的有，及对任意的有知记则

①由，得即.类似地，由式①得.两式相加得.当时，上式等号成立.故.故答案为14．（2019·全国·高三竞赛）满足的整数n=__________．【答案】【详解】注意到，对任意的有则与的导函数分别为，.故在区间上递减，在区间上递增.且对任意的有.从而，对任意的m、n有.因此，满足的整数n必为负数.记，代入题设等式得.故，.故答案为-201515．（2018·全国·高三竞赛）已知函数的导函数连续,且.记曲线与最近的点为.则______.【答案】【详解】记.则.由已知得.则.

①记.而故.对式①两边取极限得16．（2022·江苏南京·高三强基计划）已知直线与三次曲线有三个不同交点，则a的取值范围为___________.【答案】【详解】依题意得：,即有三个不同解,考虑与相切于,则,结合图象可知：.故答案为：.17．（2021·浙江·高三竞赛）若，，，，则______.【答案】【详解】解析:由题意知设,问题转化为:若,求,即与的图象的两个公共点的横坐标设为求的范围;如图所示，易知,所以,所以.故答案为：3.三、解答题18．（2021·全国·高三竞赛）已知三次函数，满足对任意都有，求的所有可能值.【答案】.【详解】由题意得：由得：即所以.将代入①，②，③，④得：下面证明符合题意，由，令或，所以在单调递减；在单调递增，且，所以符合题意，的所有可能值为.19．（2023·全国·高三专题练习）求下列极限：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)0(3)1【分析】（1）先将题给代数式转化为型分式，再利用洛必达法则即可求得其值；（2）先将题给代数式转化为型分式，再利用洛必达法则即可求得其值；（3）利用已知重要极限和洛必达法则即可求得其值.【详解】（1）令，则由洛必达法则可得，则（2）令，则由洛必达法则可得，.继续用洛必达法则可得，.则=0（3）又时，，则由洛必达法则可得，．则20．（2019·全国·高三竞赛）已知,.求最大的正整数,使得对任意的正数,存在实数满足,且.【答案】3【详解】对于正整数,显然,在区间(1,+∞)上为减函数.于是,对任意的正数,.当时,不等式

①令,则.令,则.故在时为增函数.又,因此,存在唯一的正实数吨,有.

②于是,,且.故当时,,为减函数；当时,,为增函数.因此,当时,结合式②有的最小值为.结合式①有正整数,.

③下面证明：当时,对,有.

④当时,.令,其中,.则.故为减函数.于是,.因此,式④成立.注意到,的值域为(0,+∞),的值域也为(0,+∞),的值域为R.结合函数的图像,知对任意的正数,存在实数满足,且.综上,正整数的最大值为3.21．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）已知函数.若是区间上的单调增函数，求实数的取值范围.【答案】【详解】由,则，又在区间上是单调递增,所以,即在区间上恒成立.如图所示，考虑过定点的直线和抛物线在上的两个临界位置：当直线与抛物线相切于点时,有（舍去负值）.当与拋物线相交于点时,有综上可得，实数的取值范围是.22．（2019·全国·高三竞赛）在锐角△ABC中，证明:.【答案】见解析【详解】不妨设A≥B≥C.由，知式①等价于.记.则.故.从而，.类似地，.将这三式相加，便证明了原不等式.23．（2018·全国·高三竞赛）已知实数、满足.试求的取值范围.【答案】【详解】令，.则已知条件化为.配方得.①观察满足式①的在直角坐标系中的图像，易知.又注意到，.故.记.则当时，于是，在上单调递增，易得当时，.综上，的取值范围为.24．（2019·全国·高三竞赛）已知函数，的图像有两条公切线，且由这四个切点组成的四边形的周长为6,求实数a的值.【答案】【详解】设函数f(x)与g(x)的一条公切线分别过切点.则公切线方程为.故，且.注意到，.两于是，是方程的两实根.由f(x)与g(x)有两条公切线，知f(x)与g(x)不相交.因此，.由.设四个切点坐标为.则，.同理，.故四边形MNPQ为平行四边形，且.解得即为所求.25．（2023·全国·高三专题练习）实数和正数使得有三个实数根．且满足：（1）；（2），求的最大值.【答案】【分析】解法一：设，，，利用韦达定理可化简所求式子为，结合基本不等式可求得最大值，验证取等条件即可确定结果；解法二：由可令，，由此可化简所求式子为，令，，利用导数可求得，即为所求式子的最大值.【详解】解法一：由题意可设：，，，可令，由韦达定理得：，则，，则要取得最大值，则，（当且仅当，即时取等号），又满足，取，，则，此时，，，，，时，，的最大值为.解法二：，又，，令，，，；令，则，令，则，令，解得：，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，；当，时，即，，，，，时，，的最大值为.26．（2023·全国·高三专题练习）设函数，(1)若，（为常数），求的解析式；(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据，求解；（2）由（1）知时，，此时，，将问题转化为对恒成立求解．【详解】（1）解：因为，，所以，，解得，所以；（2）由（1）可知，时，，此时，；故时，成立时，成立，对恒成立，即对恒成立；记，则，记，则，记，则，∴当0时，，在上单调递增；，所以在上单调递增；；∴时，0，即在上单调递增；记，，当时，，符合洛必达法则条件，∴，∴时，，∴．【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，往往通过求解或转化为或求解.27．（2019·江苏·高三校联考竞赛）证明：对任意x∈(－∞，0)∪(0，+∞)，，且等号成立的充要条件是.【答案】证明见解析【详解】设，令，则.因此，对任意x∈(－∞，0)∪(0，+∞)，有：

①当0<y<1时，，.令，得.由函数的单调性，得

②由①②知，对任意x∈(－∞，0)∪(0，+∞)及任意，有：.

③在③式中，令，化简得：.此时，当时，则.从而，等号成立的充要条件是.28．（2018·全国·高三竞赛）已知正实数、满足，．求的取值范围．【答案】【详解】由．由．又．故．考虑函数在区间上的单调性，知．于是，．当，时，上式等号成立．由．考虑函数在区间上的单调性，知．于是，．当时，上式等号成立．综上，的取值范围为．29．（2018·全国·高三竞赛）已知函数．记函数的值域为，且实数、、．证明：．【答案】见解析【详解】注意到，当时，均有．于是，在上单调递增．故当时，．当时，单调递减，．因此，当时，．故．构造一次函数．根据一次函数的单调性，只需证明和即可．而．因为、，所以，．从而，．又