常州高考试卷数学题及答案

常州高考试卷数学题及答案一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.若函数f(x)=x^2-4x+m，且f(1)=-2，则m的值为（）A.1B.3C.5D.7答案：B2.已知向量a=(3,-2)，b=(1,2)，则向量a+b的坐标为（）A.(4,0)B.(2,0)C.(2,2)D.(4,2)答案：A3.若复数z满足z^2+z-1=0，则z的值为（）A.1B.-1C.1/2D.-1/2答案：C4.已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0），且双曲线C的一条渐近线方程为y=√2x，则a与b的关系为（）A.a=bB.a=2bC.b=2aD.b=√2a答案：D5.若函数f(x)=x^3-3x，x∈[-2,2]，则f(x)的最大值为（）A.2B.4C.8D.10答案：C6.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=3，S6=9，则S9的值为（）A.12B.15C.18D.21答案：C7.若直线l：x+y+m=0与圆x^2+y^2=4相切，则m的值为（）A.2B.-2C.2√2D.-2√2答案：C8.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，x∈R，若f(x)的最小值为3，则x的取值范围为（）A.[-2,1]B.(-∞,-2]∪[1,+∞)C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.[-2,1]答案：D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）9.已知函数f(x)=2sin(2x+π/4)，若f(x)的最小正周期为π，则f(x)的图像关于点（）对称。答案：(π/8,0)10.已知椭圆E的方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1（a>b>0），离心率为√2/2，且椭圆E的焦点坐标为（±√2,0），则椭圆E的方程为（）。答案：x^2+y^2/2=111.已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，若T3=7，T6=28，则T9的值为（）。答案：6312.已知函数f(x)=x^2-4x+4，若f(x)在区间[2,+∞)上单调递增，则x的取值范围为（）。答案：[2,+∞)三、解答题（本题共4小题，共90分）13.（本题满分12分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的导数f'(x)，并求f(x)在x=1处的切线方程。解：首先求导数f'(x)，f'(x)=3x^2-6x。然后求f'(1)=3-6=-3，f(1)=1-3+2=0。所以f(x)在x=1处的切线方程为y=-3(x-1)，即y=-3x+3。14.（本题满分12分）已知数列{an}的通项公式为an=n^2-n，求数列{an}的前n项和Sn。解：Sn=1^2-1+2^2-2+...+n^2-n=(1^2+2^2+...+n^2)-(1+2+...+n)。利用等差数列和等比数列求和公式，可得Sn=n(n+1)(2n+1)/6-n(n+1)/2=n(n+1)(n-1)/3。15.（本题满分18分）已知双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1（a>0,b>0），且双曲线C的一条渐近线方程为y=√3x。设双曲线C的左右焦点分别为F1(-c,0)和F2(c,0)，点P在双曲线C上，且|PF1|-|PF2|=2a。若点P到渐近线y=√3x的距离为d，求d的最大值。解：首先根据双曲线的渐近线方程y=√3x，可得b/a=√3，即b=√3a。然后根据双曲线的定义，|PF1|-|PF2|=2a，可得|PF1|=|PF2|+2a。设点P的坐标为(x,y)，则根据点到直线的距离公式，可得d=|√3x-y|/2。将|PF1|=|PF2|+2a代入双曲线方程，可得x^2/a^2-y^2/(3a^2)=1。将x^2和y^2表示为a和d的函数，可得d^2=(2a^2+2c^2)/3。由于c^2=a^2+b^2=4a^2，所以d^2=(10a^2)/3。当a=1时，d取得最大值，即d_max=√(10/3)。16.（本题满分18分）已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求证：当x∈[1,+∞)时，f(x)≥x。证明：首先求导数f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，可得x=0或x=2。当x∈[1,2)时，f'(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2,+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增。所以f(x)在x=2处取得最小值，即f(2)=8-12+2=-2。由于f(1)=0，所以当x