人教版八年级数学下册试题 18.2.3 正方形 同步测试(含详解)

18.2.3正方形同步测试一、单选题1．下列命题正确的是（

）A．正方形的对角线相等且互相平分 B．对角互补的四边形是平行四边形C．矩形的对角线互相垂直 D．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点．若，，则线段的长度为（）

A． B． C．2 D．3．如图，在菱形中，，，顺次连接菱形各边中点、、、，则四边形的周长为（

）

A． B． C． D．4．若顺次连接四边形各边的中点所得的四边形是正方形，则四边形的两条对角线一定是（

）A．互相平分B．互相垂直C．互相平分且相等 D．互相垂直且相等5．如图1，在正方形中，对角线相交于点O，E，F分别为，上的一点，且，连接．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．6．如图，边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，点的坐标是（

）

A． B． C． D．7．如图,P为AB上任意一点,分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF,设,则为（）A．2α B．90°﹣α C．45°+α D．90°﹣α8．如图，在正方形中，对角线、相交于点O．E、F分别为、上一点，且，连接，，．若，则的度数为（

）A．50° B．55° C．65° D．70°9．如图，正方形ABCD边长为1，以AC为边作第2个正方形ACEF，再以CF为边作第3个正方形FCGH，…，按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（）

A．（2）5 B．（2）6 C．（）5 D．（）610．如图，边长为的正方形的对角线与交于点，将正方形沿直线折叠，点落在对角线上的点处，折痕交于点，则（

）A． B． C． D．二、填空题11．如图，矩形的对角线，相交于点O，再添加一个条件，使得四边形是正方形，这个条件可以是（写出一个条件即可）．

12．若直三棱柱的上下底面为正三角形，侧面展开图是边长为的正方形，则该直三棱柱的表面积为．13．如图，四边形是边长为4的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为．

14．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为．

15．如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为．

16．如图，正方形的边长为4，点E在边上，且，F为对角线上一动点，连接，，则的最小值为．

17．如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为°．18．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，BE=CF，连接AE、BF．将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，旋转角为α（0°＜α＜180°），则∠α=三、解答题19．如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，于点E，于点F．求证：．20．如图，在正方形ABCD中，点E，F在AC上，且AF=CE．求证：四边形BEDF是菱形．21．如图，在正方形中，点是上的一点，点是延长线上的一点，且，连结．（1）求证：≌；（2）若，请求出的长．22．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？23．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．

（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．24．（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹），并写出：BE与CD的数量关系；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE与CD，BE与CD有什么数量关系？说明理由；（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°、∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．答案：一、单选题1．A【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．解：A、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；B、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；C、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；D、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．故选：A．2．B【分析】根据条件正方形边长为4，由勾股定理求出线段长，利用中位线得到长即可．解：连接，，

∵点E，F分别是，的中点，∴四边形是矩形，∴M是的中点，在正方形中，，，∴，在中，由勾股定理得，，在中，M是的中点，N是的中点，∴是的中位线，∴．故选：B．3．C【分析】首先利用三角形的中位线定理证得四边形为平行四边形，再求对角线长度，然后利用三角形中位线定理求出此平行四边形边长即可求出周长．解：如图，连接、，相交于点，

点分别是边的中点，，，，同理，四边形是平行四边形，四边形是菱形，，，对角线互相垂直，，，，，是等边三角形，，在中，，，，，，，四边形的周长为．故选：C．4．D【分析】由题意作出图形，然后根据正方形的判定定理可进行排除选项．解：如图所示，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AD、DC、BC、AB的中点，∴，∴四边形EFGH是平行四边形，对于A选项：对角线互相平分，四边形EFGH仍是平行四边形，故不符合题意；对于B选项：对角线互相垂直，则有，可推出四边形EFGH是矩形，故不符合题意；对于C选项：对角线互相平分且相等，则有，可推出四边形EFGH是菱形，故不符合题意；对于D选项：对角线互相垂直且相等，则有，，可推出四边形EFGH是正方形，故符合题意；故选D．5．C【分析】首先根据正方形的性质得到，，然后结合得到，然后证明出，最后利用三角形内角和定理求解即可．解：∵四边形是正方形∴，∵∴，∴∴又∵，∴∴∴∴故选：C．6．C【分析】根据正方形的性质，结合坐标的意义即可求解．解：∵边长为的正方形两边与坐标轴正半轴重合，∴∴,故选：C．7．B8．C【分析】根据正方形的性质证明△AOF≌△BOE（SAS），得到∠OBE=∠OAF，利用OE=OF，∠EOF=90°，求出∠OEF=∠OFE=45°，由此得到∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，进而得到∠CBE的度数．解：在正方形中，AO=BO，∠AOD=∠AOB=90°，∠CBO=45°，∵，∴△AOF≌△BOE（SAS），∴∠OBE=∠OAF，∵OE=OF，∠EOF=90°，∴∠OEF=∠OFE=45°，∵，∴∠OAF=∠OEF-∠AFE=20°，∴∠CBE=∠CBO+∠OBE=45°+20°=65°，故选：C．9．C【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的，第1个正方形的边长为1，其对角线长为；第2个正方形的边长为，其对角线长为；第3个正方形的边长为，其对角线长为；•••；第n个正方形的边长为．所以，第6个正方形的边长．解：由题知，第1个正方形的边长，根据勾股定理得，第2个正方形的边长，根据勾股定理得，第3个正方形的边长，根据勾股定理得，第4个正方形的边长，根据勾股定理得，第5个正方形的边长，根据勾股定理得，第6个正方形的边长．故选：C．10．D【分析】根据正方形的性质得到AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，求得BD=AB=2，得到OD=BO=OC=1，根据折叠的性质得到DE=DC=，DF⊥CE，求得OE=-1，根据全等三角形的性质即可得到结论．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD=，∠DCB=∠COD=∠BOC=90°，OD=OC，∴BD=AB=2，∴OD=BO=OC=1，∵将正方形ABCD沿直线DF折叠，点C落在对角线BD上的点E处，∴DE=DC=，DF⊥CE，∴OE=-1，∠EDF+∠FED=∠ECO+∠OEC=90°，∴∠ODM=∠ECO，在△OEC与△OMD中，，△OEC≌△OMD（ASA），∴OM=OE=-1，故选：D．二、填空题11．（答案不唯一）【分析】根据正方形的判定定理即可得到结论．解：这个条件可以是（答案不唯一），理由：四边形是矩形，，四边形是正方形，故答案为：（答案不唯一）．12．【分析】根据题意得出正三角形的边长为，进而根据表面积等于两个底面积加上侧面正方形的面积即可求解．解：∵侧面展开图是边长为的正方形，∴底面周长为，∵底面为正三角形，∴正三角形的边长为作，是等边三角形，，，在直角中，，；

∴该直三棱柱的表面积为，故答案为：．13．【分析】作于点，于点，首先求出正方形的面积，然后根据等边三角形和正方形的性质求出和，从而求出和的面积，最后作差求解即可．解：如图所示，作于点，于点，

∵四边形是边长为4的正方形，∴，，，∵是等边三角形，∴，，，∴，∴，∵，，∴，∴在中，，∴，∵，∴，故答案为：．14．【分析】根据正方形的性质，以及七巧板的特点，求得的长，即可求解．解：如图所示，

依题意，，∴图中阴影部分的面积为故答案为：．15．【分析】过点作于，证明四边形四边形是正方形，即可求解．解：如图所示，过点作于，

∵点是正方形的对角线上的一点，于点∴四边形是矩形，∴是等腰直角三角形，∴∴四边形是正方形，∴，即点到直线的距离为故答案为：．16．【分析】连接交于一点F，连接，根据正方形的对称性得到此时最小，利用勾股定理求出即可．解：如图，连接交于一点F，连接，∵四边形是正方形，∴点A与点C关于对称，∴，∴，此时最小，∵正方形的边长为4，∴，∵点E在上，且，∴，即的最小值为故答案为：．

17．135【分析】由正方形的性质可得∠ACB＝∠BAC＝45°，可得∠2＋∠BCP＝45°＝∠1＋∠BCP，由三角形内角和定理可求解．解：∵四边形ABCD是正方形∴∠ACB＝∠BAC＝45°∴∠2+∠BCP＝45°∵∠1＝∠2∴∠1+∠BCP＝45°∵∠BPC＝180°﹣∠1﹣∠BCP∴∠BPC＝135°故答案为：135．18．90°解：：∵四边形ABCD是正方形．∴将△ABE绕正方形的中心按逆时针方向旋转到△BCF，∠α=90°，故答案是：90°．三、解答题19．解：证明：四边形是正方形，，，，，，，在和中，，，，，．20．解：证明：连接BD交AC于O，∵四边形ABCD是正方形，∴BO=DO，AO=CO，AC⊥BD，∵AF=CE，∴EO=FO，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴平行四边形DEBF是菱形．21．解：（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，在和中，，∴≌（）；（2）解：∵≌，∴，，∵，∴，即，∴．22．解：（1）在正方形ABCD中，BC=CD，∠B=∠CDF=90°，∵，∴△CBE△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）GE=BE+GD成立．理由：∵由（1）得：△CBE△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°，CE＝CF．∵∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECG△FCG（SAS）．∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．23．解：证明：（1）∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=45°∴PM=MD，∴四边形MPND是正方形．24．解：（1）根据题意，画出图形，如图所示：BE=CD，理由如下：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD和△EAB中，∵，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴BE=CD；