2025年河南省豫西名校高考数学模拟试卷（一）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年河南省豫西名校高考数学模拟试卷（一）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2<4}，B={−1,0,1,2,3}，则A∩B=A.{0,1} B.{0,1,2} C.{−1,0,1} D.{−1,0,1,2}2.若z(1+i)=1−2i，则z=(

)A.−12−32i B.−3.已知向量a=(−1,2)，b=(3,1)，c=(k,4)，且(a−A.(2,12) B.(−2,12) C.14 D.104.已知圆锥PO的母线长为2，O为底面的圆心，其侧面积等于23π，则该圆锥的体积为A.3π B.2π C.5.已知角α，β∈(0,π)，且sin(α+β)+cos(α−β)=0，sinαsinβ−3cosαcosβ=0，则tanA.−2 B.−12 C.126.设函数f(x)=2xx≤ax2x>a，若f(x)A.(0,4] B.[2,4] C.[2,+∞) D.[4,+∞)7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,−π4<φ<π4)的零点为x轴上的所有整数，则函数f(x)A.8 B.9 C.10 D.118.定义在R上的函数f(x)满足f(0)=0,f(x)+f(1−x)=1,f(x5)=12f(x)，且当0≤xA.1256 B.1128 C.164二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.李明每天7：00从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时30分钟，样本方差为36；自行车平均用时34分钟，样本方差为4.假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，则(

)A.P(X>32)>P(Y>32)

B.P(X≤36)=P(Y≤36)

C.李明计划7：34前到校，应选择坐公交车

D.李明计划7：40前到校，应选择骑自行车10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0,+∞)时，f(x)=x3−3x−2，则A.f(x)的极大值点为−1

B.函数y=f(x)−10的零点个数为3

C.函数y=f(f(x))的零点个数为7

D.f(f(x))>011.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy中，M(−2,0)，N(2,0)，动点P满足|PM|⋅|PN|=5，其轨迹为一条连续的封闭曲线C，则下列结论正确的是(

)A.曲线C与y轴的交点为(0,1)和(0,−1) B.曲线C关于y轴对称，不关于x轴对称

C.坐标原点O是曲线C的对称中心 D.|OP|的取值范围为[1,3]三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若2bcosC−2a+c=0，则角B=______．13.已知抛物线y2=4x的焦点为F，若以x轴正方向的射线Fx绕焦点F逆时针旋转45°，与抛物线交于点N，过N作NP⊥y轴，交准线于点P，则△PFN的面积为______．14.将两个观赏球体封闭在一个正方体容器内，设正方体棱长为1，则两个球体体积之和的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知f(x)=x+asinx，曲线y=f(x)在点P(π,π)处的切线斜率为2．

(1)求a的值；

(2)求不等式f(x+1)+f(3−2x)>0的解集．16.(本小题15分)

小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张.逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌．

(1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率．

(2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束；若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续.用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列．17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，AB=BC=BB1=1，E，F，G分别是棱AB，BC，BB1上的动点，且AE=BF=B1G.

(1)18.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±32x，过点(4,0)的直线l交双曲线C于M，N两点，且当l⊥x轴时，|MN|=6．

(1)求C的方程；

(2)记双曲线C的左右顶点分别为A1，A2，直线A1M，A2N的斜率分别为k1，19.(本小题17分)

对于∀n∈N∗，若数列{xn}满足xn+1−xn>1，则称这个数列为“K数列”．

(1)已知数列1，2m，m2+1是“K数列”，求实数m的取值范围．

(2)是否存在首项为−2的等差数列{an}为“K数列”，且其前n项和Sn使得Sn<12n2参考答案1.C

2.A

3.C

4.C

5.D

6.B

7.D

8.D

9.BCD

10.ABC

11.ACD

12.π313.8+614.(9−515.解：(1)由已知f(x)=x+asinx，得f′(x)=1+acosx，

又函数y=f(x)在点P(π,π)处的切线斜率为2，

即f′(π)=1+acosπ=1−a=2，解得a=−1；

(2)由(1)得f(x)=x−sinx，f′(x)=1−cosx，

则f′(x)=1−cosx≥0恒成立，即f(x)在R上单调递增，

又f(−x)=−x−sin(−x)=−x+sinx=−f(x)，

即函数f(x)为奇函数，

由f(x+1)+f(3−2x)>0，可知f(x+1)>−f(3−2x)=f(2x−3)，

即x+1>2x−3，解得x<4，即不等式的解集为(−∞,4)16.解：(1)设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”，设事件B表示“第三次抽到红桃牌”，

P(A)=19×89+89×29=827，

P(AB)=29×29×19+19×29×19+69×29×29x12345P1880448128

17.解：(1)证明：因为B1B⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，

所以B1B⊥AB，B1B⊥BC，又∠ABC=90°，

故B 1B，AB，BC两两垂直，

以B为坐标原点，BA，BB1，BC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

因为AB=BC=BB1=1，AE=BF=B1G，

设AE=BF=B1G=m，0≤m≤1，

所以A1(1,1,0)，F(0,0,m)，C1(0,1,1)，G(0,1−m,0)，

则A1F=(−1,−1,m)，C1G=(0,−m,−1)，

则A1F⋅C1G=(−1,−1,m)⋅(0,−m,−1)=m−m=0，

故A 1F⊥C1G；

(2)因为E(1−m,0,0)，则EG=(m−1,1−m,0)，

则A1F⋅EG=(−1,−1,m)⋅(m−1,1−m,0)=1−m+m−1=0，

则A1F⊥EG，又C1G∩EG=G，C18.解：(1)由对称性知，双曲线C过点(4,3)，

则ba=3216a2−9b2=1，解得a=2b=3，

所以双曲线C的方程为x24−y23=1．

(2)由(1)得A(−2,0)，A2(2,0)，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

显然直线MN不垂直于y轴，设直线MN的方程为x=my+4，

联立x=my+43x2−4y2=12，消去x得(3m2−4)y2+24my+36=0，

显然3m2−4≠0，Δ=144(m2+4)>0，

y1+y2=−24m3m2−4,y1y2=363m2−4，所以y1+y2=−2m3y1y2，即my1y2=−32(y1+y2)，

所以k1k2=y1x1+2y2x2−2=y1(x2−2)(x1+2)y19.解：(1)由题意得2m−1>1，且(m2+1)−2m>1，解得m>2，

所以实数m的取值范围是(2,+∞)．

(2)不存在．理由：假设存在等差数列{an}符合要求，设公差为d，则d>1，

由a1=−2得Sn=−2n+n(n−1)2d．

由题意，得−2n+n(n−1)2d<12n2−n对∀n∈N∗均成立，即(n−1)d<n+2．

当n=1时，d∈R；

当n>1时，d<n+2n−1恒成立，

因为n+2n−1=n−1+3n−1=1+3n−1>1，所以d≤1，与d>1矛盾，

所以这样的等差数列{an