2025年高考数学考试易错题专题08直线与圆(学生版+解析)

专题08直线与圆目录题型一：直线方程易错点01忽略斜率公式的应用条件易错点02求直线方程忽略截距为零易错点03判断直线的位置关系考虑不全面题型二：圆的方程、直线与圆的位置关系易错点04忽略圆的一般方程的限制条件易错点05处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论易错点06曲线方程变形不等价易错点07两圆相切忽略内切、外切的区分题型一：直线方程易错点01：忽略斜率公式的应用条件典例4．（24-25高三上·上海·专题训练）经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为．【答案】【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、已知两点求斜率【分析】分和，求出倾斜角的取值范围.【详解】由题意知，当时，，当时，轴，此时倾斜角为，所以．故答案为：【易错剖析】在解题时容易忽略对和的讨论而出错.【避错攻略】1、直线的倾斜角（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．【解读】①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度.②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角.2、直线的斜率（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是eq\f(π,2)的直线没有斜率．（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3.倾斜角与斜率的关系直线情况平行于轴由左向右上升垂直于轴由左向右下降的大小0°的范围0不存在的增减性随增大而增大随增大而增大【解读】斜率和倾斜角的特点①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的；②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同；③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.4.直线斜率与直线方向向量（1）若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则.（2）若直线的斜率为且直线过两点，它的一个方向向量的坐标为，则.易错提醒：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.1．（24-25高二上·山西·阶段练习）若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（

）A．-2 B．1 C．2 D．32．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知点，且直线AB与直线CD垂直，则的值为（

）A．−7或0 B．0或7 C．0 D．73．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）过两不同点的直线的斜率为1，则（

）A．1 B．2 C． D．1．（23-24高一下·重庆·期末）若直线：的倾斜角为，则实数值为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）已知为直线的倾斜角，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·陕西商洛·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（

）A． B．C． D．5．（24-25高三上·河南许昌·期中）过点和点的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．易错点02：求直线方程忽略截距为零典例（24-25高三上·江西·期末）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（

）A．或 B．或或C．或 D．或或【答案】B【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可.【详解】①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为：，即；②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；综上所述，直线方程为：或或.故选：B.【易错剖析】求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解【避错攻略】直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率ky＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）平面直角坐标系内所有直线易错提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．1．（24-25高二上·天津·期中）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或2．（2025高三·全国·专题练习）与圆相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．6条3．（24-25高二上·河北唐山·期中）经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为A．x+2y﹣6=0 B．2x+y﹣6=0 C．x﹣2y+7=0 D．x﹣2y﹣7=01．（23-24高三下·安徽六安·模拟）已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（

）A．B．C．或D．或2．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或3．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或4．（23-24高三下·浙江·开学考试）直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·河南开封·期中）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（

）A．2 B． C． D．6．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为．7．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为.8．（24-25高三·全国·专题训练）设直线l的方程为（），若直线l的斜率为，则；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则.易错点03：判断直线的位置关系考虑不全面典例（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则【答案】2【分析】两直线斜率存在时，由两直线平行，可得斜率相等，进而可求解.【详解】由，可得，所以直线的斜率为，所以的斜率存在，且为由两直线平行，可得，解得或，经检验，，两直线重合，符合题意.故答案为：2.【易错剖析】本题容易忽略对直线是否重合的检验而出错.【避错攻略】1.两条直线平行的判定（1）对于斜率分别为k1，k2的两条不重合直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2.【解读】①l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．②k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．③l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．（2）已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．2.两条直线垂直关系的判定对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示【解读】(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率．易错提醒：1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况.1．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则为（

）A． B．或0 C． D．或02．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知直线，，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为．1．（24-25高三上·吉林·期末）设，则“直线与直线平行”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．（23-24高二上·河南·期末）已知直线与垂直，则（

）A．0 B．0或 C． D．0或3．（24-25高三上·云南·阶段练习）若两平行直线与之间的距离是，则（

）A．或11 B．或16 C．1或11 D．1或164．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线和互相垂直，且，则的最小值为．5．（24-25高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知直线，直线，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·上海·随堂练习）已知是直线：外一点，则方程与的倾斜角（

）A．相等 B．互余 C．互补 D．不相等7．（2024高三上·山东济南·专题练习）直线，，当时，直线与之间的距离为.8．（24-25高二上·天津·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为.9．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知的三个顶点是，求：(1)边所在的直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程．题型二：圆的方程、直线与圆的位置关系易错点04：忽略圆的一般方程的限制条件典例（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解.【详解】由于点在圆的外部，故，解得，故选：C【易错剖析】本题容易忽略圆的一般方程的限制条件而出错.【避错攻略】1、圆的一般方程一般地，圆的标准方程可以化为在这个方程中，如果令，，，则这个方程就表示成的形式，其中，，都是常数，形如上式的圆的方程称为圆的一般方程，其中为圆心，为半径．2、圆的一般方程的特点（1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；（2）不含项；（3）．3、一般方程与标准方程关系把方程配方得，根据圆的标准方程可知：（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．4.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点，和圆的一般方程（）则位置关系代数关系点在圆A上点在圆A内点在圆A外5、方程表示圆的两种判断方法（1）配方法：对形如的二元二次方程可以配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．（2）定义法：判断是否大于零，确定它是否表示圆．易错提醒：不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：（1）当F＝0时，圆过原点．（2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．（3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．（4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．1．（2024·吉林·三模）已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）若点在圆的外部，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．或1．（24-25高二上·山西·阶段练习）若点在圆：的外部，则的取值范围为（

）A． B．C． D．2．（24-25高三上·广西梧州·阶段练习）已知圆关于直线对称，则圆的半径为（

）A． B．2 C． D．43．（2025·河南·模拟预测）已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．4．（2024高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（

）A．{t|－1＜t＜}B．{t|－＜t＜1}C．{t|－1＜t＜}D．{t|1＜t＜2}5．（23-24高三上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）（多选）已知直线与圆有两个交点，则整数的可能取值有（

）A．0 B． C．1 D．37．（24-25高三上·陕西宝鸡·期中）已知，方程表示圆，则．8．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知点在圆外，则的取值范围是．易错点05：处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论典例（24-25高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称.(1)求的半径；(2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意点在直线上，即可求出，从而得解；（2）首先求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出所对应的直线方程，即可得解.【详解】（1）圆，即，则圆心为，半径，因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上，所以，解得，所以的半径；（2）由（1）可得，圆心为，因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为，即；综上可得直线的方程为或.

【易错剖析】本题容易忽略斜率不存在的情况而造成漏解.【避错攻略】1、直线与圆的位置关系及判断（1）三种位置关系：相交、相切、相离．（2）两种判断方法：①eq\x(代数法)eq\o(→,\s\up9(联立方程得方程组消去x或y),\s\do7(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇔相交,Δ＝0⇔相切,Δ＜0⇔相离))②eq\x(几何法)eq\o(→,\s\up9(圆心到直线的距离为d),\s\do7(半径为r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜r⇔相交,d＝r⇔相切,d＞r⇔相离))2、圆的切线与切线长（1）过圆上一点的圆的切线①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.（2）过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.（3）切线长①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq\f(2ar,d).易错提醒：（1）过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．（2）设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错.1．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（

）A． B．或C． D．或2．（24-25高三上·广东湛江·期中）（多选）已知圆，点，下列说法正确的是（

）A．点A在圆外B．点是的定点C．已知，过点B作圆的最短弦长为D．过点作圆:的切线，则的方程为3．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，且，则直线的方程为．1．（2024·河南新乡·一模）若直线与圆的两个交点为，且，则（

）A．或 B．或 C．或 D．或2．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（）A． B． C． D．3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·宁夏吴忠·期中）已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为．5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）直线被圆截得的弦长为，则.6．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的标准方程；(2)求过点且与曲线相切的直线的方程.7．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知圆，圆经过点，且与圆C相切于点.(1)求圆的标准方程；(2)已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程.易错点06：曲线方程变形不等价典例（24-25高三上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可.【详解】由知直线l过定点，由曲线，两边平方得，则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），当直线过点时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时，解得，当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离，解得，要使直线与曲线恰有两个交点，则直线夹在两条直线之间，因此，即实数k的取值范围为.故选：B.【易错剖析】本题容易将曲线化为误认为曲线C为单位圆而出错.【避错攻略】1.截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值①截距式：求形如的最值转化为动直线斜率的最值问题②斜率式：求形如的最值转化为动直线截距的最值问题③距离式：求形如的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.2.根据直线与圆的位置关系求参数（1）几何法①的最值，设，圆心到直线的距离为由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值②的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值（2）代数法①的最值，设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.②的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.易错提醒：在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成x、y的取值范围的变大或缩小.1．（24-25高三·全国·课后作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．] B． C． D．2．（24-25高三上·北京顺义·期中）已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．或12．（24-25高二上·湖北·期中）已知实数，满足方程，则的最大值为（

）A． B． C．0 D．3．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·辽宁大连·期中）下列选项中，p是q的充要条件的是（

）A．p：或，q：两条直线与平行B．p：直线与曲线有两个不同交点，C．在圆外部，D．p：直线与圆相离，5．（24-25高二上·天津北辰·阶段练习）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．6．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个公共点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．或7．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2024·河北衡水·模拟预测）已知点，动点满足，若点的轨迹与直线有两个公共点，则的值可以是（

）A． B． C． D．易错点07：判断函数零点个数时画图出错典例（24-25高三上·四川内江·期中）已知两个圆x2+y2=9，【答案】3或9【分析】根据两圆相内切、相外切的条件，分别求得r的值【详解】由题意知：两圆圆心分别为：C10,0，C20,6，半径分别为：当两圆外切时：C1C2当两圆内切时：C1C2综上：r=3或r=9.故答案为：3或9.【易错剖析】两圆相切分为内切和外切，本题容易因考虑问题不全面而漏解.【避错攻略】1.圆与圆的位置关系（1）几何法：用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：两圆相交；两圆外切；两圆相离两圆内切；两圆内含（时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为，，圆心距为，则两圆的位置关系可用下表来表示：位置关系相离外切相交内切内含几何特征代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解公切线条数43210（2）代数法设:；:联立消去“”得到关于“”的一元二次方程，求出其①与设设相交②与设设相切（内切或外切）③与设设相离（内含或外离）【解读】几何法是利用两圆半径的和或差与圆心距作比较得到两圆的位置关系，代数法则是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，即方程组的解的个数问题，但这种代数判断方法只能判断出相离、相交、相切三种位置关系，而不能像几何判断方法一样，能判断出外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，因此一般情况下，使用几何法判断两圆的位置关系．易错提醒：(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；②计算两圆的圆心距d；③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．（2）由圆的位置关系求参数：求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式,求出参数的值或取值范围,注意相切和相离均包括两种情况。应用几何法判断两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．1．（24-25高三上·青海西宁·阶段练习）圆与圆的位置关系为（

）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离2．（23-24高三上·河北·阶段练习）（多选）若不论取何值时，圆总与圆相切，则圆的方程可为（

）A． B．C． D．3．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知圆，，，若圆上存在点使得，则的取值范围为．1．（24-25高二上·河南洛阳·阶段练习）圆与的位置关系为（

）A．相交 B．相离 C．外切 D．内切2．（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数（

）A．9 B． C．8 D．3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，若圆上存在点满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（）A． B． C．或1 D．5．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（

）A．若和外离，则或B．若和外切，则C．当时，有且仅有一条直线与和均相切D．当时，和内含6．（23-24高三上·湖北武汉·期末）（多选）已知圆和圆，则（

）A．两圆可能无公共点B．若两圆相切，则C．直线可能为两圆的公切线D．当时，若为两圆的公切线，则或7．（24-25高三上·上海·开学考试）已知圆：与圆：外切，则实数．8．（23-24高二上·四川内江·期中）已知两个圆，，若两圆相切，则半径为．专题08直线与圆目录题型一：直线方程易错点01忽略斜率公式的应用条件易错点02求直线方程忽略截距为零易错点03判断直线的位置关系考虑不全面题型二：圆的方程、直线与圆的位置关系易错点04忽略圆的一般方程的限制条件易错点05处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论易错点06曲线方程变形不等价易错点07两圆相切忽略内切、外切的区分题型一：直线方程易错点01：忽略斜率公式的应用条件典例4．（24-25高三上·上海·专题训练）经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为．【答案】【知识点】直线的倾斜角、直线斜率的定义、已知两点求斜率【分析】分和，求出倾斜角的取值范围.【详解】由题意知，当时，，当时，轴，此时倾斜角为，所以．故答案为：【易错剖析】在解题时容易忽略对和的讨论而出错.【避错攻略】1、直线的倾斜角（1）定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.（2）范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)．【解读】①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度.②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角.2、直线的斜率（1）定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是eq\f(π,2)的直线没有斜率．（2）过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3.倾斜角与斜率的关系直线情况平行于轴由左向右上升垂直于轴由左向右下降的大小0°的范围0不存在的增减性随增大而增大随增大而增大【解读】斜率和倾斜角的特点①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的；②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同；③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.4.直线斜率与直线方向向量（1）若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则.（2）若直线的斜率为且直线过两点，它的一个方向向量的坐标为，则.易错提醒：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.1．（24-25高二上·山西·阶段练习）若倾斜角为的直线经过两点，，则的值为（

）A．-2 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】分别用两点式及倾斜角求斜率相等即可计算求参.【详解】经过，的直线的斜率，又直线的倾斜角为，所以，解得.故选：D.2．（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知点，且直线AB与直线CD垂直，则的值为（

）A．−7或0 B．0或7 C．0 D．7【答案】B【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解．【详解】当时，直线AB的斜率不存在，直线CD的斜率为此时直线AB的方程为x=0，直线CD的方程为，故;当时，则解得，综上，或.故选：B.3．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）过两不同点的直线的斜率为1，则（

）A．1 B．2 C． D．【答案】C【分析】利用两点的斜率公式，建立方程求解，通过验根，可得答案.【详解】根据题意可得，解得或．当时，点重合，不符合题意，舍去．当时，经验证，符合题意．故选：C.1．（23-24高一下·重庆·期末）若直线：的倾斜角为，则实数值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由直线方程可得斜率，利用斜率与倾斜角的关系，可得答案.【详解】由直线，则该直线的斜率，由题意可得，解得.故选：C.2．（24-25高二上·上海·课后作业）直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的倾斜角【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解.【详解】设的倾斜角为，由题意可知：直线的斜率，即，且，所以.故选：C.3．（24-25高三上·四川达州·阶段练习）已知为直线的倾斜角，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得，利用二倍角公式及齐次式可得结果.【详解】∵为直线的倾斜角，∴直线斜率，∴.故选：A.4．（24-25高三上·陕西商洛·阶段练习）已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据条件得到，又，从而得，再利用正切函数的性质，即可求解.【详解】因为直线的方程为，所以，即直线的斜率，又，所以，又直线的倾斜角的取值范围为，由正切函数的性质可得，直线的倾斜角范围为，故选：B.5．（24-25高三上·河南许昌·期中）过点和点的直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两点先求出直线斜率，然后根据斜率与倾斜角关系求得倾斜角.【详解】由已知直线AB的斜率，设直线倾斜角为，则，所以.故选：B.6．（24-25高二上·河南濮阳·阶段练习）已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】由题设，，如下图示，所以．故选：D易错点02：求直线方程忽略截距为零典例（24-25高三上·江西·期末）经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（

）A．或 B．或或C．或 D．或或【答案】B【分析】根据直线在两坐标轴上的截距相等进行分类讨论，设直线方程，求出每一种情况的直线方程即可.【详解】①当直线经过原点时，斜率，所以直线方程为：，即；②当直线在两坐标轴上的截距相等时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；③当直线在两坐标轴上的截距互为相反数时，设直线方程为，将点代入，的，解得，所以直线方程为：，即；综上所述，直线方程为：或或.故选：B.【易错剖析】求截距相等时，往往会忽略横纵截距为0的情况从而漏解【避错攻略】直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率ky＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）平面直角坐标系内所有直线易错提醒：“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正、可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．1．（24-25高二上·天津·期中）直线经过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】分直线过原点、不过原点两种情况讨论，设出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，求出参数值，即可得出直线的方程.【详解】若直线过原点，设直线的方程为，则，此时直线的方程为，即；若直线不过原点，设直线的方程为，则，解得，此时直线的方程为.综上所述，直线的方程为或.故选：D.2．（2025高三·全国·专题练习）与圆相切，且在坐标轴上截距相等的直线共有（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．6条【答案】A【分析】过原点的直线不满足题意，当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为，根据圆心到直线的距离等于半径可得有两解，综合可得结果.【详解】圆的圆心为，半径为1，由于原点在圆上，显然过原点的直线不满足题意；当直线不经过原点且与圆相切时，依题意可设方程为，圆心到直线的距离，解得，此时满足条件的直线有两条，综上可得：满足条件的直线有两条，故选：A.3．（24-25高二上·河北唐山·期中）经过点P（1，4）的直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为A．x+2y﹣6=0 B．2x+y﹣6=0 C．x﹣2y+7=0 D．x﹣2y﹣7=0【答案】B【详解】试题分析：设出直线方程的截距式，把经过的点P（1，4）的坐标代入得a与b的等式关系，把截距的和a+b变形后使用基本不等式求出它的最小值．解：设直线的方程为=1（a＞0，b＞0），则有，∴a+b=（a+b）×1=（a+b）×（）=5+≥5+4=9，当且仅当，即a=3，b=6时取=．∴直线方程为2x+y﹣6=0．故选B．1．（23-24高三下·安徽六安·模拟）已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线的方程为（

）A．B．C．或D．或【答案】D【分析】分直线过原点与不过原点两种情况求解可得直线的方程.【详解】根据题意，分2种情况讨论:①直线过原点，设直线方程为，又由直线经过点，所以，解得，此时直线的方程为，即；②直线不过原点，设其方程为，又由直线经过点，则有，解可得，此时直线的方程为，故直线的方程为或.故选：D.2．（24-25高二上·江苏镇江·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可.【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则①，则直线过原点，则直线方程为：②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为：综上所述：该直线方程为或故选：D3．（2025高三·全国·专题练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，又因为直线过点，所以直线的斜率为，所以直线方程为，即，当直线不过原点时，设直线方程为，因为点在直线上，所以，解得，所以直线方程为，故所求直线方程为或.故D项正确.故选：D4．（23-24高三下·浙江·开学考试）直线过抛物线的焦点，且在轴与轴上的截距相同，则的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得抛物线的焦点为，设直线方程为，代入直线方程求得的值，即可求解.【详解】由抛物线的焦点为，又由直线在轴与轴的截距相同，可得直线方程为，将点代入，可得，所以直线的长为.故选：A.5．（23-24高二上·河南开封·期中）若直线经过点，则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（

）A．2 B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，由条件可得，再结合基本不等式即可得到当取最小值的条件，即可得到结果.【详解】因为直线经过点，则，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值为，此时，则.故选：D6．（2024·陕西西安·一模）过点，在轴上的截距和在轴上的截距相等的直线方程为．【答案】或【分析】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得.【详解】当直线过原点时，直线在轴上的截距和在轴上的截距相等，则直线方程为；当直线不过原点时，设直线方程为，则，解得，直线方程为，所以所求直线方程为或.故答案为：或7．（23-24高二上·广东广州·期末）已知直线过点且与x轴、y轴分别交于两点，O为坐标原点，则的最小值为.【答案】【分析】先表示出直线的截距式，利用直线过点，得到，借助基本不等式，即可求得最小值.【详解】直线与与x轴、y轴分别交于，可设直线的截距式，直线过点，，且，，当且仅当，即时，取得最小值.故答案为：.8．（24-25高三·全国·专题训练）设直线l的方程为（），若直线l的斜率为，则；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则.【答案】51【分析】将一般式化为斜截式以及截距式即可求解.【详解】因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为，由题意得，解得.直线l的方程可以化为，由题意得，解得.故答案为：5，1易错点03：判断直线的位置关系考虑不全面典例（23-24高二下·四川泸州·期末）直线与直线平行，则【答案】2【分析】两直线斜率存在时，由两直线平行，可得斜率相等，进而可求解.【详解】由，可得，所以直线的斜率为，所以的斜率存在，且为由两直线平行，可得，解得或，经检验，，两直线重合，符合题意.故答案为：2.【易错剖析】本题容易忽略对直线是否重合的检验而出错.【避错攻略】1.两条直线平行的判定（1）对于斜率分别为k1，k2的两条不重合直线l1，l2，有l1∥l2⇔k1＝k2.【解读】①l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合．②k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在)．③l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在．（2）已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则：l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)．2.两条直线垂直关系的判定对应关系l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2图示【解读】(1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在．(2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2.(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率．易错提醒：1.利用斜率公式来判定两直线垂直的方法(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在；再看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直；若不相等，则进行第二步．(2)二代：就是将点的坐标代入斜率公式．(3)求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．2.若已知点的坐标含有参数，利用两直线的垂直关系求参数值时，要注意讨论斜率不存在的情况．3.根据直线平行求参数时一定要检验重合的情况.1．（24-25高三上·贵州·阶段练习）已知直线与直线互相垂直，则为（

）A． B．或0 C． D．或0【答案】B【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，解得或.故选：B2．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知直线，，则“”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两直线平行求出的值，即可得出结论.【详解】若，则，解得，所以，“”是“”的充要条件.故选：A.3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知，则直线：和直线：的位置关系为．【答案】垂直或重合【分析】求出值，再代入方程并确定位置关系即得.【详解】由，得或，当时，：，：，，，显然，所以直线与垂直；当时，：，：，所以直线与重合．故答案为：垂直或重合1．（24-25高三上·吉林·期末）设，则“直线与直线平行”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用充分不必要条件的定义以及两直线平行求参数的方法求解.【详解】因为，所以，则有，解得，当时，，，则重合，当时，，，则平行，所以等价于，所以“直线与直线平行”能推出“”，“”不能推出“直线与直线平行”，所以“直线与直线平行”是“”的充分不必要条件，故选：A.2．（23-24高二上·河南·期末）已知直线与垂直，则（

）A．0 B．0或 C． D．0或【答案】B【分析】根据两直线垂直的条件，列出等式，即可求出结果.【详解】因为，则有，解得或，故选：B.3．（24-25高三上·云南·阶段练习）若两平行直线与之间的距离是，则（

）A．或11 B．或16 C．1或11 D．1或16【答案】C【分析】根据两直线平行求出，再由距离公式求出，即可得解.【详解】因为直线与平行，所以，解得，则直线，即为，又与之间的距离是，所以，解得或；所以或.故选：C4．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线和互相垂直，且，则的最小值为．【答案】/【分析】根据两直线垂直得到，再利用基本不等式求解.【详解】因为，所以，即，因为，，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为．故答案为：．5．（24-25高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知直线，直线，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意结合垂直关系可得直线的斜率，进而可得倾斜角.【详解】因为直线的斜率，且，可知直线的斜率所以的倾斜角为．故选：D．6．（24-25高三上·上海·随堂练习）已知是直线：外一点，则方程与的倾斜角（

）A．相等 B．互余 C．互补 D．不相等【答案】A【分析】根据直线一般式判断两直线位置关系，即可判断.【详解】由直线方程，即，又：，又在直线外，所以，则，所以直线与平行，即两直线倾斜角相等，故选：A7．（2024高三上·山东济南·专题练习）直线，，当时，直线与之间的距离为.【答案】【分析】当时，，求出，将不符合题意的值舍去，再由两平行线间的距离公式求出之间的距离.【详解】当时，，解得；当时，两直线重合，不符合题意，应舍去.当时，即直线与之间的距离：.故答案为：8．（24-25高二上·天津·期中）已知直线与直线平行，则实数a的值为.【答案】【分析】根据直线平行建立方程，验根，可得答案.【详解】由题意可得，则，，解得或，当时，直线与直线重合，不符合题意；当时，，显然成立，符合题意.故答案为：.9．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知的三个顶点是，求：(1)边所在的直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程．【答案】(1)(2)【分析】(1)由两点式可直接得出.(2)由斜率之积为，再用点斜式求出.【详解】（1）由两点式可知化简可得即为边所在的直线的方程，（2）因为边上的高垂直，所以斜率为，又点在高线上，所以由点斜式可知即题型二：圆的方程、直线与圆的位置关系易错点04：忽略圆的一般方程的限制条件典例（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据点在圆外以及圆的一般式满足的系数关系即可列不等式求解.【详解】由于点在圆的外部，故，解得，故选：C【易错剖析】本题容易忽略圆的一般方程的限制条件而出错.【避错攻略】1、圆的一般方程一般地，圆的标准方程可以化为在这个方程中，如果令，，，则这个方程就表示成的形式，其中，，都是常数，形如上式的圆的方程称为圆的一般方程，其中为圆心，为半径．2、圆的一般方程的特点（1）项的系数相同且不等于0（和的系数如果是不为1的非零常数，只需在方程两边同时除以这个常数即可）；（2）不含项；（3）．3、一般方程与标准方程关系把方程配方得，根据圆的标准方程可知：（1）当时，方程只有实数解．它表示一个点．（2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．（3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆．4.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系已知点，和圆的一般方程（）则位置关系代数关系点在圆A上点在圆A内点在圆A外5、方程表示圆的两种判断方法（1）配方法：对形如的二元二次方程可以配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．（2）定义法：判断是否大于零，确定它是否表示圆．易错提醒：不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：（1）当F＝0时，圆过原点．（2）当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．（3）当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．（4）当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．1．（2024·吉林·三模）已知曲线C：表示圆，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将一般方程转化为标准方程后可求参数的取值范围.【详解】圆的标准方程为：，故即或，故选：D.2．（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）若点在圆的外部，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用点与圆的位置关系列式求解即得.【详解】由点在圆的外部，得，解得，所以的取值范围是.故选：B3．（24-25高二上·浙江·阶段练习）已知点关于直线对称的点Q在圆C：外，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】设，利用点关于线对称列方程求得Q坐标，代入圆方程得出不等式计算即可.【详解】设点关于直线对称的点，则，解得.因为在外，所以，可得且表示圆可得，即得综上可得.故选：C.1．（24-25高二上·山西·阶段练习）若点在圆：的外部，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据点与圆的位置关系，以及圆的一般方程满足的条件，即可求解.【详解】根据题意可得解得或.故选：D2．（24-25高三上·广西梧州·阶段练习）已知圆关于直线对称，则圆的半径为（

）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】先由圆的一般式得到圆心坐标，再利用圆的对称性得到关于的方程，进而再将圆的一般式化为标准方程，从而得解.【详解】由，可得圆的圆心为.因为圆关于直线对称，所以由圆的对称性可知，圆心在直线上，则，解得，故圆，可化为，所以圆的半径为.故选：A.3．（2025·河南·模拟预测）已知圆截直线所得弦的长度小于6，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将圆的方程化为标准方程，再利用直线与圆相交的性质与圆的弦长公式得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】因为圆，可化为，则其圆心为，半径为，且，即，圆心到直线的距离为，因为直线与圆相交，且所得弦的长度小于6，所以，解得，综上，，即.故选：D.4．（2024高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（

）A．{t|－1＜t＜}B．{t|－＜t＜1}C．{t|－1＜t＜}D．{t|1＜t＜2}【答案】B【详解】由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1.5．（23-24高三上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】由题意得，圆的标准方程为，故，，又点在圆外，所以，，或，所以m的取值范围为．故选：D.6．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）（多选）已知直线与圆有两个交点，则整数的可能取值有（

）A．0 B． C．1 D．3【答案】AC【分析】利用圆心到直线的距离小于半径可求参数的范围，从而可得正确的选项.【详解】圆即为：，故圆心，半径为，因为直线与圆有两个不同的交点，故，故，结合选项可知AC符合题意.故选：AC.7．（24-25高三上·陕西宝鸡·期中）已知，方程表示圆，则．【答案】【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件，列式求解即得.【详解】依题意，解得或2，当时，方程为，即表示圆，符合题意；当时，方程为，即，得，不表示圆，不符合题意，综上，.故答案为：.8．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知点在圆外，则的取值范围是．【答案】【分析】根据一般方程的定义，以及点与圆的位置关系，即可求解．【详解】由题意得，解得.故答案为：．易错点05：处理直线与圆的位置关系时忽略对斜率的讨论典例（24-25高三上·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，上存在两点关于直线对称.(1)求的半径；(2)过坐标原点的直线被截得的弦长为2，求的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意点在直线上，即可求出，从而得解；（2）首先求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出所对应的直线方程，即可得解.【详解】（1）圆，即，则圆心为，半径，因为上存在两点关于直线对称，所以点在直线上，所以，解得，所以的半径；（2）由（1）可得，圆心为，因为过坐标原点的直线被截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为，即；综上可得直线的方程为或.

【易错剖析】本题容易忽略斜率不存在的情况而造成漏解.【避错攻略】1、直线与圆的位置关系及判断（1）三种位置关系：相交、相切、相离．（2）两种判断方法：①eq\x(代数法)eq\o(→,\s\up9(联立方程得方程组消去x或y),\s\do7(得一元二次方程，Δ＝b2－4ac))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0⇔相交,Δ＝0⇔相切,Δ＜0⇔相离))②eq\x(几何法)eq\o(→,\s\up9(圆心到直线的距离为d),\s\do7(半径为r))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＜r⇔相交,d＝r⇔相切,d＞r⇔相离))2、圆的切线与切线长（1）过圆上一点的圆的切线①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.（2）过圆外一点的圆的切线过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.（3）切线长①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq\f(2ar,d).易错提醒：（1）过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．（2）设直线的点斜式时一定要分析斜率不存在的情况，以防考虑问题不全面而出错.1．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（

）A． B．或C． D．或【答案】D【分析】分切线斜率存在与不存在讨论即可.【详解】，则其圆心坐标为，半径为2，由于，可知点1,2在圆外，当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意，当切线斜率存在时，设切线方程为，即，则，解得，此时直线方程为，即.综上所述，切线方程为：或.故选：D.2．（24-25高三上·广东湛江·期中）（多选）已知圆，点，下列说法正确的是（

）A．点A在圆外B．点是的定点C．已知，过点B作圆的最短弦长为D．过点作圆:的切线，则的方程为【答案】ABC【分析】先根据圆的标准方程得出圆心及半径，根据点到圆心的距离判断A,再根据直线求出定点判断B,应用几何法求过点B的最短弦长判断C,根据点在圆外有两条切线判断D.【详解】圆的圆心为，半径为，A选项，，得出点A在圆外，A正确；B选项，直线，过定点，B正确；C选项，当弦垂直于时，弦长最短，，最短弦长为，C正确；对于D，点在圆外，过A点作圆的切线有2条，还有一条直线过点，且与圆相切，D错误.

故选：ABC.3．（2025高三·全国·专题练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，且，则直线的方程为．【答案】或【分析】根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解。【详解】由题知，圆的圆心为，半径为2．当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，符合题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即所以圆心到直线的距离为，解得直线的方程为．综上可知，直线的方程为或．故答案为：或．1．（2024·河南新乡·一模）若直线与圆的两个交点为，且，则（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】B【分析】根据圆的弦长可求出圆心到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解.【详解】圆的圆心，半径，由题意圆心到直线的距离，则，解得或.故选：B.2．已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线垂直的斜率关系，即可由斜率与倾斜角的关系求解.【详解】圆心为，所以,所以过的切线的斜率为，设倾斜角为，则，由于，故，故选：D3．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先得到直线恒过定点，且定点在圆内部，然后由圆心到直线的距离最大时，弦长最小，为0时，弦长最大求解.【详解】解：由题可得，圆，圆心，半径．因为直线，即，令的系数为0，即，解得，即直线恒过定点．因为，所以定点在圆内部，

设圆心到直线的距离为，则弦长．当时，弦长最大，即过点的最长弦长为圆的直径；当最大时，（提示：当最大时，为圆心与弦的中点连线的长度），此时弦长最小，最小值为．综上，线段的长度的取值范围为．故选：C．4．（24-25高三上·宁夏吴忠·期中）已知圆，直线过点且与圆相切，则直线的方程为．【答案】和【分析】根据相切，结合点到直线的距离，分类讨论即可求解.【详解】圆的圆心和半径分别为，当直线无斜率时，此时：，与圆相切，符合题意，当直线有斜率时，设，此时圆心到直线的距离为，解得，此时直线方程为，即，综上可得和故答案为：和5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）直线被圆截得的弦长为，则.【答案】0或10【分析】由圆方程得出圆心和半径，再由弦长公式以及点到直线距离公式计算可得结果.【详解】易知圆的圆心为，半径为设圆心到直线的距离为，由弦长公式可得，解得；所以圆心到直线的距离，解得或.故答案为：0或106．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，动点满足，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的标准方程；(2)求过点且与曲线相切的直线的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）设，由，得动点的轨迹方程；（2）利用圆心到直线的距离等于半径，求切线方程.【详解】（1）设，则，，由，得，所以曲线的标准方程为.（2）曲线是以为圆心，1为半径的圆，过点的直线若斜率不存在，直线方程为，满足与圆相切；过点的切线若斜率存在，设切线方程为，即，由圆心到直线距离，解得，则方程为.过点且与曲线相切的直线的方程为或.7．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知圆，圆经过点，且与圆C相切于点.(1)求圆的标准方程；(2)已知直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线l的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）先判断两圆的位置关系，由此设圆心，半径为，然后列方程组求解即可；（2）方法一设出直线的方程，利用点到直线的距离公式结合几何法求弦长可得；方法二利用几何法求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与不存在的时候，存在时结合点到直线的距离公式求解即可；【详解】（1）圆与圆相切于，且过点，圆与圆外切，且圆心在直线上.设圆心，半径为，则，解得.圆的标准方程为.（2）方法一：由题意可知，直线的斜率不为0，设直线的方程为：，即设圆心到直线的距离为，则，解得，或，直线的方程为，或方法二：设圆心到直线的距离为，则，①直线的斜率不存在时，的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意②直线的斜率存在时，设为，则直线的方程可表示为，，解得，直线的方程为综上①②，直线的方程为，或.易错点06：曲线方程变形不等价典例（24-25高三上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可.【详解】由知直线l过定点，由曲线，两边平方得，则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点），当直线过点时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时，解得，当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离，解得，要使直线与曲线恰有两个交点，则直线夹在两条直线之间，因此，即实数k的取值范围为.故选：B.【易错剖析】本题容易将曲线化为误认为曲线C为单位圆而出错.【避错攻略】1.截距式与斜率式都可转化为动直线与圆相切时取得最值①截距式：求形如的最值转化为动直线斜率的最值问题②斜率式：求形如的最值转化为动直线截距的最值问题③距离式：求形如的最值转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.2.根据直线与圆的位置关系求参数（1）几何法①的最值，设，圆心到直线的距离为由即可解得两个值，一个为最大值，一个为最小值②的最值：即点与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值（2）代数法①的最值，设，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.②的最值：设，则，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于，求得的两个值，一个为最大值，一个为最小值.易错提醒：在用几何法求参数范围时，对曲线方程化简时一定要注意等价化简，即不能造成x、y的取值范围的变大或缩小.1．（24-25高三·全国·课后作业）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．] B． C． D．【答案】A【分析】画出图形，求出直线过定点，数形结合再由圆心到直线的距离等于半径和斜率的定义求解即可；【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示，曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线，当直线与半圆相切时，有，解得，当直线过时，有，因为直线与半圆有两个不同的交点，故，故选：A.2．（24-25高三上·北京顺义·期中）已知直线：，曲线：，则“与相切”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】根据曲线表示的图形并利用点到直线距离公式计算，结合的几何意义可得结论.【详解】易知曲线：可化为，表示圆心为，半径的上半圆；易知直线可化为，当时，圆心到直线的距离为，此时与下半圆相切，如下图所示，不合题意，即必要性不成立；若与相切，可知，解得或；检验可知只有当时，直线与相切，即可得，所以充分性不成立；所以“与相切”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D3．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.【详解】由直线过定点，又由曲线，可得，作出曲线与直线的图象，如图所示，因为直线，可得，又由，解得，若直线与曲线有公共点，则，即实数的取值范围为.故选：B.1．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知直线与圆相交于两点，且为等腰直角三角形，则实数的值为（

）A． B．0 C．1 D．或1【答案】D【分析】首先确定圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可.【详解】圆的圆心为，半径，因为为等腰直角三角形，∴圆心到直线的距离，即，解得：,故选：D2．（24-25高二上·湖北·期中）已知实数，满足方程，则的最大值为（

）A． B． C．0 D．【答案】D【分析】根据点和圆、直线和圆的位置关系求得正确答案.【详解】由得，所以在以2,0为圆心，半径为的圆上，表示圆上的点和点连线的斜率，设过的圆的切线方程为，2,0到直线的距离，解得或，所以的最大值为.故选：D3．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先得到直线过定点，作出直线与曲线C，由图求出直线过点时的斜率和直线与曲线C相切时的斜率即可树形结合得解.【详解】由可知直线过定点，曲线两边平方得，所以曲线C是以为圆心，半径为1且位于直线x轴上方的半圆，当直线过点时，直线与曲线C有两个不同的交点，此时，当直线与曲线C相切时，直线和圆有一个交点，圆心到直线的距离，两边平方解得，所以结合图形可知直线与曲线C恰有两个交点，则.故选：B.4．（24-25高三上·辽宁大连·期中）下列选项中，p是q的充要条件的是（

）A．p：或，q：两条直线与平行B．p：直线与曲线有两个不同交点，C．在圆外部，D．p：直线与圆相离，【答案】B【分析】充要条件是指p可以推出q，q也可以推出p，需要根据每个选项中p和q的关系进行分析判断.【详解】对于A，若两条直线与平行，所以，解得或，但是当时，两直线重合，所以，则p是q的必要不充分条件，故A错误；对于B，，可得，，所以，表示圆心为0,1，半径的圆的上半部分，如图所示：直线恒过点，一般式为，因为直线与曲线有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离小于半径，即，解得，当时，左边圆上的端点为，此时斜率为，所以，所以p是q的充要条件，故B正确；对于C，圆半径，即，所以，因为在圆外部，所以，解得，综上，所以p是q的充分不必要条件，故C错误；对于D，圆化为标准式为：，圆心为0,1，半径为，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为，两边平方化简得，综上，所以p是q的充分不必要条件，故D错误；故选：B.5．（24-25高二上·天津北辰·阶段练习）若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】画出曲线和直线图形，利用圆和直线的位置关系再由点到直线的距离即可求得的取值范围.【详解】将曲线整理可得,因此曲线表示的是以2,3为圆心，半径为2的下半圆，若直线与曲线有公共点，如下图所示：当直线在直线的位置，即时，直线与曲线有一个公共点；当直线在直线的位置，即直线与曲线相切，此时，解得，（舍）；只有直线位于两直线之间时，满足题意，即.故选：A6．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个公共点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．或【答案】D【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案.【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，当直线与曲线相切时，则圆心到直线的距离为，可得（正根舍去），当直线过时，，如图，直线与曲线恰有1个公共点，则或.故选：D.7．（24-25高二上·江苏宿迁·开学考试）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线与半圆的位置关系可求的取值范围.【详解】曲线即为半圆：，其图象如图所示，曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线，当直线与半圆相切时，有，解得，当直线过时，有，因