江苏省扬州市高邮市2024-2025学年高一下学期期中考试 数学 含解析

江苏省高邮市2024-2025学年高一下学期期中学情调研测试数学试卷一、单选题1．函数的零点是（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．设，是平面内两个不共线的非零向量，已知，，，若，，三点共线，则实数的值为（

）A． B． C． D．4．的值等于（

）A． B．1 C． D．25．如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（

）A． B． C． D．6．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则使得有两组解的a的值可以为（

）A．10 B．8 C．5 D．47．已知的内角，，所对的边分别为，，，若，则角的最大值为（

）A． B． C． D．8．在中，点D是边的中点，且，若点P为平面内一点，则的最小值是（

）A． B． C． D．二、多选题9．下列有关向量的说法，正确的有（

）A．若是等边三角形，则向量，的夹角为60°B．两个非零向量，若，则与共线且反向C．若，，则可作为平面向量的一组基底D．已知非零向量，满足，则A，B，C，D四点构成一个梯形10．已知，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．11．如图，已知的内接四边形ABCD中，，，，则（

）A．四边形ABCD的面积为B．该外接圆的半径为C．过D作交BC于F点，则D．三、填空题12．已知向量，的夹角为45°，且，，则.13．已知，则．14．在非钝角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，点P是的重心且，则角；若，，则.四、解答题15．已知，，其中，.(1)求；(2)求.16．已知是同一平面内的三个向量，其中.(1)若，且，求的坐标；(2)若，且与垂直，求在方向上的投影向量（用坐标表示）.17．如图，在平面四边形ABCD中，，，，，.(1)求线段AC的长度；(2)求的值.18．已知函数的最小正周期为.(1)求的解析式；(2)若关于x的方程在区间上有相异两解，.①求实数m的取值范围；②当时，函数取最大值，设，求.19．“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点P为的费马点，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角B；(2)若，求的值；(3)若，，求实数的最小值.题号12345678910答案CCDADBADBCABD题号11答案BCD1．C根据给定条件，求出零点即可.【详解】由，得，所以函数的零点是.故选：C2．C根据给定条件，逆用差角的余弦公式求解.【详解】.故选：C3．D根据向量共线定理列方程，解方程即可.【详解】由已知，，则，又，，三点共线，则与共线，，即，解得，故选：D.4．A先利用二倍角公式化简以及，再利用诱导公式化简即可代入化简.【详解】，，因，则，则.故选：A.5．D根据向量的线性运算直接化简可得解.【详解】由已知为线段上一点，设，，则，又，则，所以，则，解得，故选：D.6．B根据得到答案.【详解】有两组解，需满足，即，，所以a的值可以为8，B正确，ACD错误.故选：B7．A根据正弦定理进行边角互化，再结合余弦定理可得，根据基本不等式可得最值.【详解】由已知，则在中，由正弦定理可得，则，即，又由余弦定理可知，所以，当且仅当，即时等号成立，又，所以，故选：A.8．D结合坐标表示运用向量加法法则将问题转化为求的最小值，建系求解即可.【详解】因为D为的中点，所以，所以不妨以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

因为，则，，设，则，所以，.即：的最小值为.故选：D.9．BC由向量夹角的定义可判断A；左右同时平方可得即可判断B；利用向量共线的坐标运算判断C；由向量共线可得所在直线平行或共线可判断D.【详解】对于A，因是等边三角形，则，由向量夹角的定义可知，，的夹角为120°，故A错误；对于B，，可得，即，即，则，因，则，则与共线且反向，故B正确；对于C，因，则与不共线，则可作为平面向量的一组基底，故C正确；对于D，由，则，则直线或四点共线，故D错误.故选：BC10．ABD对于A：根据题中关系式整理即可；对于B：根据两角和差公式运算求解；对于C：根据象限角的符号性分析判断；对于D：根据倍角公式结合齐次式问题运算求解.【详解】对于选项A：因为，整理可得，即，故A正确；对于选项B：，故B正确；对于选项C：因为，则，可得，可知可能为第一、二、三，四象限，即的符号无法判断，故C错误；对于选项D：因为，故D正确；故选：ABD.11．BCD对于A：在中，利用余弦定理结合圆的性质可得，进而可求得，，再利用面积公式运算求解；对于B：可知四边形的外接圆为即为的外接圆，利用正弦定理求外接圆半径；对于C：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果.对于D：根据几何性质分析可得在方向上的投影向量为，进而可得结果；【详解】对于A：连接，由题意可知，则，在中，由余弦定理可得，即，解得，所以，且，则，即，所以四边形的面积，故A错误；对B：该四边形的外接圆为即为的外接圆，设外接圆的半径为，在中，由正弦定理可得，即，故B正确；对于C：由题意可得：，过作，垂足，则为的中点，可得，在方向上的投影向量即为，所以，故C正确；对于D：过作，垂足，则为的中点，可得，过作，垂足，可得，故，即在方向上的投影向量为，所以，故D正确；故选：BCD.12．利用向量模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】因为向量，的夹角为45°，且，，所以.故答案为：.13．根据题意，分析待求角与已知角的关系，利用诱导公式和二倍角公式直接求解即可.【详解】，．故答案为：.14．2根据题意结合三角恒等变换可得，即可得角A；根据重心可得，根据数量积运算律运算求解即可.【详解】因为，则，整理可得，显然，则，即，又因为，可得；因为点P是的重心，则，可得，即，整理可得，解得或（舍去）.故答案为：；2.15．(1)(2)（1）先根据同角三角函数的基本关系求，再利用二倍角的正切求的值.（2）结合，利用两角差的正弦公式求值.【详解】（1），，.（2），，所以16．(1)或(2)（1）法一：设，根据，求得，进而得到的坐标；法二：设，根据且，列出方程组，求得的值，得到的坐标；（2）由与垂直，得到，列出方程求得，结合投影向量的计算公式，即可求解.【详解】（1）解：法一：因为，可设，因为，可得，解得，所以或.法二：设，因为且，可得，解得或，所以或.（2）解：因为与垂直，可得，所以，可得，解得，所以向量在方向上的投影向量.17．(1)(2)（1）借助面积公式可先求出，再借助余弦定理即可得解；（2）借助正弦定理可得，则可得，再利用正弦定理即可得.【详解】（1），，，，在中，由余弦定理得：，；（2）在中，由正弦定理得：，，，，，在中，由正弦定理得：，，.18．(1)；(2)①；②（1）利用三角函数恒等变换得到，根据最小正周期得到，从而得到函数解析式；（2）①转化为与的图象在区间上有两个交点，求出，画出在区间上的图象，数形结合得到；②解法一：由对称性可得，所以，则有，从而得到方程，平方求出，所以，由三角恒等变换得到；解法二：由对称性可得，所以，由辅助角公式得到时，取最大值，则，由三角恒等变换得到.【详解】（1）由题，因为的最小正周期为，且，所以，解得，所以；（2）①由，即，关于x的方程在区间上有相异两解，，也即函数与的图象在区间上有两个交点，由，得，又在上单调递增，在上单调递减，作出在区间上的图象如图，由图可知，要使函数与的图象在区间上有两个交点，则有，所以实数m的取值范围.②解法一：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，则有，所以，则有，即，也即，整理得，所以，故解法二：由①和正弦函数的对称性可知，与关于直线对称，则有，所以，，其中，则当，即时，取最大值，则，则有19．(1)(2)6(3)（1）由正弦定理进行边化角，用正弦的和差公式和辅助角公式化简计算即可；（2）由余弦定理解得，再利用费马点和三角形面积公式化简即可；（3）设，，，通