2025年中考数学二轮复习-专题16二次函数与特殊几何图形【课件】

专题十六二次函数与特殊几何图形

类型一二次函数与特殊三角形

（1）如图①，在直线l上确定一点P，使得以A，B，P为顶点的

三角形是等腰三角形→分别以A，B为圆心，AB的长为半径作圆与直

线l交于点P＋作AB的垂直平分线与直线l交于点P→简记为“两圆一

垂线”.（2）如图②，在直线l上确定一点P，使得以A，B，P为顶点的

三角形是直角三角形→分别过A，B作AB的垂线交直线l于点P＋作以

AB为直径的圆交直线l于点P→简记为“一圆两垂线”.1.

[2024·遂宁改编]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与

x轴分别交于点A（－1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，－3），P，C两点关于抛物线的对称轴对称，Q为抛物线上一点.（1）求二次函数的解析式；解：（1）二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.（2）若△OPQ是以点P为直角顶点的直角三角形，求点Q的坐标.

2.

如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A（－3，0），B（4，0）两

点，与y轴交于点C，连接AC，BC.

M为线段OB上的一个动点，过点

M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q.

（1）求抛物线的解析式.

（2）过点P作PN⊥BC，垂足为N.

设点M的坐标为（m，0），请用

含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值.最

大值是多少？

（3）点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为

顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存

在，请说明理由.（3）∵点A（－3，0），C（0，4），∴AC＝5.设

点Q（m，－m＋4）.①当AC＝CQ时，如图，过点Q作QE⊥y轴于点E，则CQ2＝EQ2＋

CE2，即m2＋[4－（－m＋4）]2＝52，

②当AC＝AQ时，AQ＝AC＝5.在Rt△AMQ中，[m－（－3）]2＋（－

m＋4）2＝52，解得m＝1或0（舍去），∴Q（1，3）.

3.

如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴

交于点C，其中B（1，0），C（0，3）.（1）求二次函数的解析式；解：（1）二次函数的解析式为y＝x2－4x＋3.（2）Q是对称轴l上一点，且点Q纵坐标为m，当△QAC是锐角三角形

时，求m的取值范围.解：（2）如图，过点C作CE⊥AC交对称轴于点E，过点A作AF⊥AC交对称轴于点F，作以AC为直径的圆交对称轴于M，N两点，则△AEC，

△AMC，△ANC，△AFC是直角三角形.∵△QAC是锐角三角形，∴点Q应在线段EM，NF上（端点除外）.设直线x＝2上的动点坐标为（2，m）.∵A（3，0），C（0，3），∴AC2＝18.①当∠ACE＝90°时，AC2＋CE2＝AE2，∴18＋（m－3）2＋（2－0）2＝m2＋（2－3）2，解得m＝5，∴E

（2，5）.②当∠CAF＝90°时，AC2＋AF2＝CF2，∴18＋m2＋（2－3）2＝（m－3）2＋（2－0）2，解得m＝－1，∴F

（2，－1）.③当动点（2，m）在圆上时，（m－3）2＋（2－0）2＋m2＋（2－3）2

＝18，即m2－3m－2＝0，

类型二二次函数与特殊四边形

在解决抛物线与平行四边形、矩形、菱形、正方形相结合的问题

时，关键要结合点的平移规律描述点的坐标＋线段中点坐标公式＋特

殊平行四边形的几何特征→建立特殊点的坐标参量方程组→确定特殊

点坐标，同时，要注意分类讨论.（1）如图①，“三定点（A，B，C）＋一动点（D）”→利用

点的平移规律描述动点D坐标.

（3）若遇到矩形、菱形、正方形时，在（2）的坐标参量方程组

中，再附加一个矩形（对角线相等）、菱形（一组邻边相等）、正方

形（一组邻边相等＋对角线相等）的特性建立坐标参量方程.1.

如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A（－1，0），C（0，3）两

点，并交x轴于另一点B，M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点

D.

（1）求抛物线的解析式.解：（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.（2）若P是抛物线上一动点，则在对称轴上是否存在点Q，使得以

D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所

有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由.解：（2）易得对称轴为直线x＝1，M（1，4），D（0，2）.设Q

（1，n），P（m，－m2＋2m＋3）.

2.

如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点

A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC.

（1）求抛物线的解析式.解：（1）抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.（2）已知E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使

以点B，C，E，F为顶点四边形为矩形？若存在，求出点F的坐标；

若不存在，请说明理由.解：（2）由（1）易得A（－1，0），B（3，0），C（0，3）.设E

（1，n），F（s，t）.分以下两种情况讨论：如图①，当BC为矩形的边时，由矩形的对角线交点为对角线的中点及

矩形的对角线相等，

（1）求抛物线和直线AC的解析式；解：（1）抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3，直线AC的解析式为y＝x＋3.（2）若P是直线AC上的动点，Q是平面内一点，当以B，C，P，Q

为顶点的四边形是菱形时，求点Q的坐标.

类型三二次函数与圆

在解决抛物线与圆相结合的问题时，关键要利用抛物线上的动点

坐标描述与圆相关的线段→结合圆的相关性质建立动点坐标参量方程

→确定特殊点坐标.1.

如图，抛物线y＝x2－2x－3的对称轴与x轴交于点M，☉M与y轴相

切，P是抛物线上一动点，作PQ与☉M相切于点Q