2021数学类初赛试题A-参考答案

第十三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参考答案(数学A类,2021年)姓名:姓名:准考证号:所在院校:考场号:座位号:专业:,考试形式:闭卷考试时间:150分钟满分:100分,题号一二三四五六总分满分2020得分注意:1.所有答题都须写在标准答题纸上,写在本试卷或其它纸上均无效.2.密封线左边请勿答题,密封线外不得有姓名及相关标记.3.如答题空白不够,可写在当页背面,并标明题号.,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线得分评阅人得分评阅人绕z轴旋转所得的旋转曲面方程.解答.设点M1(0,0,0),方向1=(0,0,1),则z轴为直线L1:,直线L2,2=(a,b,c).——(1).当a=b时,L2与L1共面.分以下三种情况讨论.c=0时,L2与L1垂直,此时所得的旋转面是z=1的平面.,12,即c0时,L2与L1平行或者相交于一点,于是有以下两种情形.2).当L2平行于L1时,所得的旋转曲面是一个圆柱面x2+y2=2.3).当L1与L2相交于一点时,所得的旋转面为一个圆锥面,顶点为它们的交点2与L1不共面时,首先考虑L2与L1不垂直时的情形.设M0(x0,y0,z0)为L2上的任意一点,M(x,y,z)为过M0的旋转曲面上的纬圆上的任意一点,则有=Az2+Bz+C,其中经计算可得x2+y2=Az2+2Bz+C姓名:姓名:准考证号:所在院校:考场号:座位号:专业:得到它是旋转单叶双曲面.当L1与L2为异面直线而且垂直时,c=0.所得旋转曲面是一个挖去一个圆盘(半径为L1与L2之间的距离的平面.,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线,,34得分评阅人二、(本题15分)设B⊂Rn(n≥2)是单位开球ß函数u,v在B上连续,在B内二阶连续可导,满足得分评阅人2(x)+v2(x)≤1(8x∈B).证明.记w=w(x)=u2(x)+v2(x),则w满足问题显然ßw(x)∈C2(B)∩C(B).所以ßw(x)必然在B上达到最大值.设最大值点为x1.若x11)=0,−△w(x1)≥0.于是由(1)得到,在x1处ß0≤−△w≤2(1−w)w−2(j▽uj2+j▽uj2)≤2(1−w)w.而w(x1)≥0,故上式表明w(x1)≤1.若x1)ßw(x1)=0.综合之ß恒有0≤w≤1,x∈B.(12分)(15分)2姓名:准考证号:所在院校:考场号:座位号:专业:得分评阅人,三、(本题15分)设f(x)=x2021+a2020x2020+a2019x2019+···+a2x2+a1x+a0为整系数多项式,a00.姓名:准考证号:所在院校:考场号:座位号:专业:得分评阅人,证明.设f(x)=0的2021个根分别为x1,x2,...,x2021.由于a00,所以xi0,密封线答题时不要超过此线,密封线答题时不要超过此线,的根.继续由Vieta定理,,,所以2,56得分评阅人四、(本题20分)设P为对称酉矩阵,证明:存在可逆复矩阵Q使得P=QQ-1.得分评阅人解答.设P为n阶矩阵.因为P为酉矩阵,自然为正规矩阵,所以存在酉矩阵U使得U-1PU=D为对角阵.设n为复数满足β=Qi,1≤i≤n,令由Lagrange插值公式知存在复系数多项式f(x)使得f(Qi)=βi,1≤i≤n,从而且现在DT=D,PT=P,UT=U-1,所以姓名:准考证号:所在院校:考场号:座位号:专业:,D=DT=(U-1PU)T=UTPT(U-1)T=U-1PU=U姓名:准考证号:所在院校:考场号:座位号:专业:,从而U-1U与D可交换.又E=f(D),所以E也与U-1U可交换,即EU-1U=U-1UE,或写为UEU-1=UEU-1.由于P为酉矩阵,即TP=I,这里I为单位矩阵,再由U也是酉矩阵得到密封线答题时不要超过此线,所以对任意1≤i≤n,QiQi=1,即复数Qi的模为1,从而复数βi的模也是1,故βi=βi-1,由此得到E=E-1.令Q=UEU-1,则显然Q可逆且有密封线答题时不要超过此线,-1=UEU-1,又Q-1=U-1U-1=UEU-1,所以QQ-1=(UEU-1)2=UE2U-1=UDU-1=P.2,,78得分评阅人收敛.任取A>ε>0,由Weierstrass判别法,∞e-tαxsinxdt关于x∈[ε,A]一致收敛,因此,结合(1),利用一致收敛性,或控制收敛定理,得到∞dx∞e-tαxsinxdt=∞dt∞e-tαxsinxdx.姓名:姓名:准考证号:所在院校:考场号:座位号:专业:,密封线答题时不要超过此线密封线答题时不要超过此线,,从而最后得到注:可以利用第二型曲线积分计算,对于Q>1,在以0为顶点的锥形区域D:={reiθIr>0,θ∈(0,β)}内,定义Lnz如下:Ln(reiθ)=lnr+iθ,8reiθ∈D,其中则易见Lnz可以连续地把定义域延伸到D的边界.又易见,在D内成立Lnz在D内解析.9令zα:=eαLnz,(z∈D),则eizα在D内解析在D上连续.任取R>0,考虑DR:=BR(0)∩D,则izαdz=0.由此即得eixαdx=eirαeiαβeiβdr—eiRαeiαθiReiθdθ=eiβe-rαsin(αβ)eirαcos(αβ)dr—iRe-Rαsin(αθ)eiRαcos(αθ)eiθdθ易见有常数C>0使得于是,可得姓名:准考证号:所在院校:考场号:座位号:专业:得分评阅人,六、(本题20分)设f,g为R上的非负连续可微函数,满足:8x∈R,成立fI(x)>6+f(x)-f2(x),I(x)≤6+g(x)-g姓名:准考证号:所在院校:考场号:座位号:专业:得分评阅人,fI(t)>6+f(t)-f2(t)=(3-f(t))(2+f(t))>2ε,8t≤x.于是密封线答题时不要超过此线,f(x)-f(t)>2ε(x-t),8t≤x.密封线答题时不要超过此线,从而=-∞.与f非负矛盾.因此,存在ξ<x使得f(ξ)>3-ε.(2)任取x∈R,由连续性,我们只要证明对任何ε∈(0,1),成立f(x)>3-ε.由(1),存在ξ<x使得f(ξ)>3-ε.令h(t)=f(t)-(3-ε),我们有I(t)=fI(t)>(3-f(t))(2+f(t))>-(2+f(t))h(t),8t∈R.记F(t)=∫(2+f(s))ds,则,(eF(t)h(t))I=eF(t)(hI(t)+(2+f(t))h(t))>0,8t∈R.,eF(x)h(x)>eF(ξ)h(ξ)