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11第十二届全国大学生数学竞赛初赛试题参考答案【解】利用等价无穷小：当x→0时，有所以【2】设函数f(x)=(x+1)ne−x2，则f(n)(−1)=.【解】利用莱布尼兹求导法则，得【3】设y=f(x)是由方程arctanln2+确定的隐函数，且满足f(1)=1，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为.所以f,(1)=0，曲线y=f(x)在点【解】令u=x+y，得22令du，则F,所以【5】设f(x)，g(x)在x=0的某一邻域U内有定义，对任意x∈U，f(x)≠g(x)，【解】根据极限的保号性，存在x=0的一个去心领域U1，使得x∈U1时f(x)>0，g(x)>0.当x→0时，有ex−1x，ln(1+x)x，利用等价无穷小替换，得x→0f(x)−g(x)x→0f(x)−g(x)x→0f(x)−g(x)限n!an.33三、(本题满分10分)设f(x)在[0,1]上连续，f(x)在(0,1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1.证明：(1)存在x0∈(0,1)使得f(x0)=2−3x0；(2)存在ξ,η∈(0,1)，且ξ≠η,使得[1+f,(ξ)][1+f,(η)]=4.【解】(1)令F(x)=f(x)−2+3x，则F(x)在[0,1]上连续，且F(0)=−2，(2)在区间[0,x0]，[x0,1]上利用拉格朗日中值定理，存在ξ,η∈(0,1)，且ξ≠η,使得所以当f=φ,且x=a=−by2时，求f上式中以换u得2f,,+4u3f,,=2a3b………………5分44围：0≤θ≤2τ.注意到在曲线Γ上dz=0，所以I=−8costdt=−4costdt=8costcostdt.身)之和，其中[x+1]表示不超过x+1的最大整数，并计算f(2021).55(1)证明数列{un}收敛，并求极限(2)证明级数条件收敛；(3)证明当p≥1时级数收敛，并求级数的和.所以存在正整数N，当n>N时，从而故由莱布尼兹判别法知nun收敛.66此条件收敛.

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