2024年浙江省“山海联盟”初中学业水平考试6月联考数学试题（含答案）

第第页2024年浙江省“山海联盟”初中学业水平考试6月联考数学试题一、选择题（本题共有10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．对称美是我国古代平衡思想的体现，常用于标识的设计上，使对称美惊艳了千年时光．下列校徽图标不属于轴对称图形的是（）A． B．C． D．2．中国空间站离地球的远地点距离约为347000m，其中347000A．34.7×104 B．3.47×104 C．3．一次函数y=−2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．在一次评比中，甲同学的面试成绩为84分，笔试成绩为92分，若分别赋予笔试、面试成绩的权为2：3，则计算甲同学的平均分正确的是（）A．84+922 B．C．84×2+92×32+3 D．5．不等式组2x−1≤53x+4>−2A． B．C． D．6．某课外密码研究小组接收到一条密文：8x(m密文…m−nm+nx−yx+y8x…明文…我爱中华大地…把密文8x(mA．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大7．如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（）A．42 B．43 C．62 第7题图 第9题图8．下表是一个二次函数的自变量x与函数值y的4组对应值：x…−1124…y…−7353…则下列说法正确的是（）A．函数图象的开口向上 B．函数图象与x轴无交点C．函数的最大值为5 D．当x>3时，y的值随x值的增大而减小9．如图，D是等边三角形ABC的边AC上一点，作AE⊥BD于点E，若BC=7，∠AEC=150°，则CD的长为（）A．3 B．52 C．73 10．已知二次函数y=x2−4x+3的图象经过点P，点P的横坐标为m，当m≤x≤4时，总有−1≤y≤4mA．4+13 B．4−13 C．4±13二、填空题（本题共有6小题，每小题3分，共18分）11．计算：−2212．现有六张背面完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字1，2，3，4，5，6，把这六张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上，任意抽取一张卡片，抽取的卡片的数字为奇数的概率为13．如图是一个矩形木框ABCD，AB=30cm，BC=60cm，若在点A，C处钉一根木条用来加固，则木条的长至少是cm． 第13题图 第16题图14．已知关于x的一元二次方程x2−ax+6a=0有两个不同的解，其中一个解是x=3a，则该方程的另一个解是15．毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金比5−12=2sin18°．已知顶角为3616．如图是直径AB=10的半圆，O为圆心，点C在半圆弧上，sin∠AOC=45，P为AB的中点，AP与BC相交于点Q，则点Q到直线AB的距离等于三、解答题（本题共有8小题，共72分）17．小孙同学化简分式2x−1解：原式=2=2+3=5你认为小孙的解答过程是否正确?如果不正确，请指出是从第几步开始出错的，并写出此题正确的解答过程.18．某数学学习小组计划制作一个款式如图1所示的风筝．图2是其示意图，已知两条侧翼AB,AC的长均为60cm，夹角∠BAC为100°，AD平分∠BAC，求B,C两点间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）19．若以50千克为基准，超过基准的千克数记为正数，不足基准的千克数记为负数．称量6筐水果的重量，甲组为实际称量数据，乙组为记录数据，如下表所示（单位：千克）：组别序号123456甲485247495354乙−22−3−134（1）将乙组数据画成折线图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，写出x甲②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较20．在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数：abc3=1+24=2×1×25=2×1×2+15=2+312=2×2×313=2×2×3+17=3+424=2×3×425=2×3×4+19=4+540=2×4×541=2×4×5+1………（1）当a=11时，b=，c=.（2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）．（3）请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．21．在项目化学习中，甲、乙两小组分别利用函数知识研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为x分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为y1克、y2克，y1x05101520y2523.52014.57y252015105（1）根据上表中各组对应值，在如图所示的平面直角坐标系中画出函数y1（2）在你所学的一次函数、二次函数及反比例函数中，请选择合适的函数来反映y1,y2与（3）在上述实验中，当实验时间为多少分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大？最大为多少克？22．如图，在▱ABCD中，DA=DB，点E,F分别在BA,CB的延长线上，连结DF,EF，若∠DFE=∠C．（1）求证：∠BDF=∠BEF．（2）若∠DFE=60°，CF=5，求BE的长．23．在平面直角坐标系中，设二次函数y=ax（1）若a为整数，二次函数图象过点n,0（其中n是正整数），求抛物线的对称轴．（2）若Mx1,①当x1+x②若对于x1>x24．如图，AB是半径为5的⊙O的直径，C是ABD的中点，连接CD交AB于点E，连接AC,AD，OC．（1）求证：OC⊥AD．（2）若BE=1，求AD的长．（3）如图2，作CF⊥AB于点H，交AD于点F，射线CB交AD的延长线于点G，若OH=1，求AG的长．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：是轴对称图形，故选项A不符合题意；不是轴对称图形，故选项B符合题意；是轴对称图形，故选项C不符合题意；是轴对称图形，故选项D不符合题意；故选B．

【分析】轴对称图形的关键是沿某条直线折叠后图形能够完全重合．2．【答案】C【解析】【解答】解：347000=3.47×故答案为：C.

【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×103．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得该一次函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限故答案为：C【分析】根据一次函数的图象与系数的关系结合一次函数的解析式即可得到该一次函数图象经过第一、二、四象限，从而即可求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得计算甲同学的平均分为84×3+92×2故答案为：D【分析】根据加权平均数的计算方法结合题意进行计算即可求解.5．【答案】D【解析】【解答】解：2x−1≤5由①得，x≤3，由②得，x>−2，故此不等式组的解集为：−2<x≤3．在数轴上表示为：故选D．

【分析】不等式解集的口诀，同大取大，同小取小，小于大的且大于小的取中间，小于小的后大于大的无解，同时在数轴上表示时注意解集方向和空心圆圈和实心圆圈的区别．6．【答案】D【解析】【解答】解：由题意得8x(m2−n2)−8y(故答案为：D【分析】根据题意运用提公因式法和公式法因式分解，进而即可求解。7．【答案】D【解析】【解答】解：如图，记弦与圆的交点分别为A,E,C,D，连接OC,OD，过O作OB⊥AD于B，∴BC=12CE∵大圆的一条弦有一半在小圆内，∴AE=BE=BC=CD，∴OB∴122∴BD∴3BC解得：BC=33∴CE=63故选：D

【分析】由垂径定理知，垂直于弦的直径平分弦，可过点圆心向弦作垂线段构造直角三角形，再利用勾股定理即可．8．【答案】D【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为y=ax将−1,−7，1,3，2,5代入函数解析式得：a−b+c=−7a+b+c=3解得：a=−1b=5∴二次函数解析式为y=−x∴函数图象的开口向下，故A错误，不符合题意；令y=0，则−x∵Δ=∴函数图象与x轴有交点，故B错误，不符合题意；∵y=−x∴函数的最大值为214∴当x>3时，y的值随x值的增大而减小，故D正确，符合题意；故选：D．

【分析】观察表格，实际给出了抛物线上四个点的坐标，利用待定系数法即可确定函数表达式，再进行判断即可．9．【答案】C【解析】【解答】解：延长ED到F使EF＝EC，∵AE⊥BD，∴∠AED=∠AEB＝90°

∵∠AEC=150°，∴∠CEF=60°，∠BEC=120°∴△CEF是等边三角形，∴∠EFC＝∠ECF=60°,EC=EF=CF，

∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC＝AC、∠ACB=∠ABC=∠BAC=60°，∴△AFC≌△BEC(SAS)，∴∠AFC=∠BEC=120°，BE=AF∵∠AFE=∠AFC−∠EFC＝60°，

∵∠AEF=90°，∴cos∠AFE=cos60°=EFAF=12，即AF＝2EF，∴AE＝3EF

设CE＝x，则BE＝AF＝2x,BF=BE+EF=3x，AE＝3x

则在Rt△ABE中：AE2+BE2＝AB2、即3故选C．

【分析】有60度角时常作等边三角形来构造全等三角形或相似三角形来解决问题，本题求CD的值，因为AC已知，可转化为求AD的值，由于AD是直角三角形ADE的斜边，可分别求AE、DE的值，此时可通过证明全等和相似予以解决。10．【答案】D【解析】【解答】解：∵y=xa=1>0，∴抛物线的开口向上，顶点坐标为2,−1，对称轴是直线x=2，∴当x=2时，y取得最小值−1，∵当m≤x≤4时，总有−1≤y≤4m，∴−1若0<m≤2，则当x=4时，y=4m，即有4m=4解得：m=3若−14≤m≤0，则当x=m即有4m=解得：m=4±13∴这种情况不存在，综上所述，当m≤x≤4时，总有−1≤y≤4m，则m=3故答案为：D.

【分析】将二次函数的解析式化为顶点式，然后可以得到二次函数的性质：对称轴是直线x=2，当x=2时，y取得最小值−1，然后根据二次函数的最值，分为0<m≤2和−111．【答案】-8【解析】【解答】−22−(−2)212．【答案】1【解析】【解答】解：由题意得奇数有1，3，5，

∴抽取的卡片的数字为奇数的概率为36故答案为：1【分析】先根据奇数的定义得到奇数有1，3，5，进而根据简单事件的概率结合题意即可求解。13．【答案】30【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，根据勾股定理，则有：AC=A故答案为：305【分析】当直角三角形中两直角边已知时，利用勾股定理可直接计算斜边长，由于边都是正数，所以斜边也是正数．14．【答案】x=2【解析】【解答】解：∵x设另一个解是x2∴x⋅x∵x=3a，∴x故答案为：x=2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合题意得到x⋅x2=15．【答案】5【解析】【解答】解：如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=36°，AD⊥BC，CE⊥AB，AD=H，CE=ℎ，∴BD=CD=12BC，∠BAD=∠CAD=∴∠BCE=90°−∠ABC=18°，∵5−1∴sin18°=5设BC=2a，则CD=a，∴CDAC=sin18°，即aAC解得AC=(5+1)a，由勾股定理得，AD2=ACE2=B∴ℎ2∴ℎH=5故答案为：5【分析】如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠BAC=36°，AD⊥BC，CE⊥AB，AD=H，CE=ℎ，根据等腰三角形的性质得到BD=CD=12BC，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=18°，∠ABC=∠ACB=180°−∠BAC2=72°，进而即可得到∠BCE=90°−∠ABC=18°，再根据黄金比得到sin18°=5−14，设CE2=B16．【答案】10【解析】【解答】解∶分别过C、Q作CM⊥AB，QN⊥AB于M、N，连接OP，∵直径AB=10，∴OA=OB=OP=OC=5，∵sin∠AOC=CM∴CM=4，∴OM=5∴BM=OM+OB=8∵P为AB的中点，OP是半圆的半径，∴OP⊥AB，∵CM⊥AB，QN⊥AB，∴CM∥QN∥PO，∴∠AQN=∠P∴△AQN∽△APO，∴QNPO=AN∴AN=QN，∴ON=OA−AN=5−QN，∴BN=ON+OB=10−QN，同理可得，△BQN∽△BCM，∴QNCM=BN解得QN=10故答案为：103【分析】求Q到直径AB的距离，可过点Q向AB作垂线段QN构造Rt△QNB，由于AOC的正弦值已知，可过点C作AB的垂线段CM构造Rt△COM和Rt△CBM，显然有Rt△CBM~Rt△QBN和Rt△AQN~Rt△APO，因为直径AB已知，解Rt△COM可求出CM长，再借助相似的性质即可。17．【答案】解：小孙的解䈎过程不正确，他是从第一步开始出错的．正确解答过程如下：原式===【解析】【分析】根据分式的混合运算结合题意化简，进而即可求解。18．【答案】解：如图，设AD与BC相交于点E．∵AB=AC=60cm，AD平分∠BAC，∠BAC=100°，∴AE⊥BC，BC=2BE，∠BAE=1在Rt△ABE中，sin∠BAE=∴BE=AB⋅sin∠BAE=AB⋅sin50°≈60×0.77=46.2cm∴BC=2BE=2×46.2=92.4cm答：B，C两点间的距离约为92.4cm．【解析】【分析】由等腰三角形的性质可知AD⊥BC、AD平分BC且∠BAD＝∠CAD，设AD交BC于点E，解Rt△19．【答案】（1）解：画出折线统计图如图所示：；（2）解：①由题意得：x甲②S甲∵S代入x甲S=1∴S【解析】【分析】（1）以表格中的各组数值作为点的坐标，在平面坐标系中描点，再连线即可；

（2）直接使用平均数和方差的公式计算。（1）解：画出折线统计图如图所示：；（2）解：①由题意得：x甲②S甲∵S代入x甲S=1∴S20．【答案】（1）60；61（2）解：(（3）解：[×(【解析】【解答】解：（1）a=5+6，∴b=2×5×6=60，c=2×5×6+1=61，故答案为：60，61【分析】（1）根据表格的数据结合题意即可求解；

（2）根据表格得到(2n+1)221．【答案】（1）解：函数y1（2）解：由图可知、函数y1的图象是抛物线的一部分．所以y1是关于函数y2的图象是直线的一部分，所以y2是关于由题意可设y1=ax2+bx+25100a+10b+25=20400a+20b+25=7解得a=−0.04b=−0.1∴y设y2=kx+mk≠0．把点0,25m=255k+m=20，解得k=−1∴y（3）解：y1−y2=−0.04x2−0.1x+25−−x+25=−0.04x2+0.9x

=−125x−4542+81【解析】【分析】（1）先分别描点再连线，注意两个函数图象的区别，一个是直线、一个是抛物线；

（2）一次函数一般设表达式为y=kx+b而二次函数一般设表达式为y=ax2+bx+c，再分别取两点坐标代入得方程组即可；

（3）因为y（1）解：函数y1（2）解：由图可知、函数y1的图象是抛物线的一部分．所以y1是关于函数y2的图象是直线的一部分，所以y2是关于由题意可设y1=ax2+bx+25100a+10b+25=20400a+20b+25=7解得a=−0.04b=−0.1∴y设y2=kx+mk≠0．把点0,25m=255k+m=20，解得k=−1∴y（3）解：y=−0.04=−1∵−1∴当x=454时，y1答：当实验时间为454分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量之差达到最大，最大为8122．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C．∵DA=DB，∴∠BAD=∠ABD．∵∠DFE=∠C，∴∠DFE=∠ABD．又∵∠DFE+∠BEF=∠ABD+∠BDF，∴∠BDF=∠BEF；（2）解：如图．在DB延长线上截取BG=BF．连结FG．由（1）可知，∠BAD=∠ABD=∠C=∠DFE=60°．∵四边形ABCD是平行四边形，DA=DB，∴BC=DA=DB，∴△BCD是等边三角形，∴∠FBG=∠DBC=60°，∴△FBG是等边三角形，∴BG=BF=FG，∠BFG=60°=∠DFE，∴∠GFD=∠BFE．又∵∠BDF=∠BEF，∴△GFD≌△BFEAAS∴BE=DG．∵BG=BF，DB=BC，∴DG=CF．∵CF=5，∴BE=CF=5．【解析】【分析】（1）由于三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，若∠BDF=∠BEF，则必然有∠DFE=∠DBA，由等边对等角知，∠DBA＝∠DAB，由平行四边形的性质知∠DAB＝∠C，则∠DFE=∠C，结论得以证明；

（2）当∠DFE=60°时，△ABD、△DBC都是等边三角形，因此可延长DB到G，使BG＝BF，则△FBG也是等边三角形，此时可证△GFD≌△BFE，从而把BE转化到DG上，即BE＝DG＝CF。（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD=∠C．∵DA=DB，∴∠BAD=∠ABD．∵∠DFE=∠C，∴∠DFE=∠ABD．又∵∠DFE+∠BEF=∠ABD+∠BDF，∴∠BDF=∠BEF；（2）解：如图．在DB延长线上截取BG=BF．连结FG．由（1）可知，∠BAD=∠ABD=∠C=∠DFE=60°．∵四边形ABCD是平行四边形，DA=DB，∴BC=DA=DB，∴△BCD是等边三角形，∴∠FBG=∠DBC=60°，∴△FBG是等边三角形，∴BG=BF=FG，∠BFG=60°=∠DFE，∴∠GFD=∠BFE．又∵∠BDF=∠BEF，∴△GFD≌△BFEAAS∴BE=DG．∵BG=BF，DB=BC，∴DG=CF．∵CF=5，∴BE=CF=5．23．【答案】（1）解：把代入n,0y=ax2−a+1x，得an2−a+1n=0，解得，n1=0，n2=a+1（2）解：①∵x1+x2=4时，y1=y2，∴Mx1,y1，Nx2,y2两点关于抛物线的对称轴对称，【解析】【分析】（1）令y=ax2−a+1x＝0可得到n的值有两个，分别是0和a+1a，因为a是整数且n是正整数，则a=1，n=2则y=x2−2x＝x−12−1，即对称轴为直线x=1；

（2）①由（1）解：把代入n,0y=ax2解得，n1=0，∵n是正整数，a为整数，∴n1=0（舍去），n∴对称轴为直线x=−−（2）解：①∵x1+∴Mx1,则对称轴为直线x=−−∴a=1②由题意可知，对于任意的x≥2，y随x的增大而增大，可得a>0−解得a≥124．【答案】（1）解：如图，连接OD．∵C是ABD的中点，∴CA∴CA=CD．∵OA=OD，∴CO垂直平分AD，∴OC⊥AD．（2）解：如图．延长CO交AD于点P．连接BD．∵OC⊥AD，∴∠CPA=90°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠ADB=∠CPA，∴OC∥BD，∴△DBE∽△COE，∴BD∵OB=OC=OA=5，BE=1，∴OE=OB−BE=4，AB=10，∴BD=1×5∴在Rt△ABD中，AD=A（3）解：∵CF⊥AB，∴∠CHA=∠CHB=90°．∵OH=1，OC=OA=OB=5，∴AH=6，BH=4，∴CH=O∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC=∠ACH．∵CA=CD，∴∠CAD=∠CDA．∵∠CDA=∠ABC，∴∠CAD=∠AC