2024年广东省中山市纪中教育集团中考二模数学试题（含答案）

第第页2024年广东省中山市纪中教育集团中考二模数学试题一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）1．已知一个乒乓球的标准质量为2.70g，把质量为2.72g的乒乓球记为+0.02，则质量为2.59g的乒乓球应记为（）A．+0.11 B．+0.1 C．−0.1 D．−0.112．新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一，下列新能源车标中，不是轴对称图形的是（）A． B．C． D．3．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4500000000人，将这个数用科学记数法表示为（）A．0.45×107 B．4.5×107 C．4．如图，某人从A地出发，沿正东方向前进至B处后右转30°，再直行至C处．此时他想仍按正东方向行走，则他应（）A．先右转30°，再直行 B．先右转150°，再直行C．先左转30°，再直行 D．先左转150°，再直行 第4题图 第6题图5．下列四个几何体中，三视图中不含矩形的是（）A． B． C． D．6．如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，BC，AB各部分长度的比满足ACBCA．黄金分割数 B．平移 C．平均数 D．轴对称7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小兰购买了四张“二十四节气”主题邮票，其中“立春”有两张，“雨水”和“惊垫”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是（）A．12 B．13 C．148．2023年10月28日，全国和美乡村篮球大赛——“村BA”总决赛在贵州省台江县台盘村落下帷幕，广东中山沙溪队取得首届全国“村BA”大赛总冠军．某县“村BA”赛区预选赛规定每两个球队之间都要进行一场比赛，共要比赛15场．设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．xx+1=15 B．xx−1=15 C．9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数是（）A．110° B．115° C．120° D．125° 第9题图 第10题图10．如图，点H是平行四边形OABC内一点，AH与x轴平行，BH与y轴平行，BH=3，∠BHC=135°，S△BHC=6，若反比例函数y=kx(x>0)的图像经过A．63 B．12 C．83二、填空题（共5个小题，每小题4分，满分20分）11．因式分解：x2－36=.12．计算：4×713．“春节”期间，某服装商店举行促销活动，全部商品八折销售，小华购买一件标价为140元的运动服，打折后他比按原价购买节省了元．14．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．15．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB=6，AP=3，BC=8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为．三、解答题（共4个小题，每小题6分，满分24分）16．计算：−117．如图，点E是矩形ABCD的边BC上的一点，且AE=AD．（1）尺规作图（请用2B铅笔）：作∠DAE的平分线AF，交BC的延长线于点F，连接DF．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）试判断四边形AEFD的形状，并说明理由．18．深中通道是粤港澳大湾区核心交通枢纽工程，该项目计划于2024年6月开通，开通后将会促进粤港澳大湾区城市群的互联互通．深中通道开通后，预计从中山翠亨新区到深圳宝安机场的车程将从原路线的100公里缩短为30公里，平均速度提高为原来的1.2倍，通勤时间将减少1.5小时．请问原路线的平均速度为多少？19．如图，一次函数y=kx+bk≠0的图象与反比例函数y=mxm≠0的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为−3,4，点（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）当kx+b>mx时，求四、解答题（共3个小题，每小题8分，满分24分）20．明代科学家徐光启所著的《农政全书》是中国古代四大农书之一，其中记载了中国古代的一种采桑工具——桑梯，如图1，其示意图如图2，已知AB=AC=1.8米，AD=1.5米，AC与AB的张角∠BAC记为α．为保证采桑人的安全，α可调整的范围是30°≤α≤60°，BC为固定张角α大小的锁链．（1）求锁链BC的最大值．（2）若α=42°，将桑梯放置在水平地面上，求此时桑梯顶端D到地面的距离（结果保留一位小数．参考数据：sin69°≈0.93，cos69°≈0.36，21．“书香润石室，阅读向未来”，为了让同学们获得更好的阅读体验，学校图书馆在每年年末，都将购进一批图书供学生阅读．为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A“艺术类”，B“文学类”，C“科普类”，D“体育类”，E“其他类”，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）此次被调查的学生人数为___________名；（2）请直接补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是___________度；（4）李老师准备从甲、乙、丙、丁四位学生代表中随机选择两位进行面对面的访问调查．请用列表或画树状图的方法，求李老师选中乙、丙这两位同学的概率．22．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若cos∠PAB=1010，BC=1五、解答题（共2个小题，第23题10分，第24题12分，满分22分）23．如图，平面内的两条直线l1、l2，点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2），特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T（AC，AB）=3，则T（BC，AB）=；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=90°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）.24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4a≠0与x轴交于A−4,0、B（1）求抛物线的解析式．（2）点P是线段AO上一点，过点P作PQ⊥x轴交抛物线于点Q，交线段AD于点E，点F是直线AD上一点，连接FQ，FQ=EQ，求△FEQ的周长最大值．（3）如图2，已知H1,0，将抛物线上下平移，设平移后的抛物线在对称轴右侧部分与直线AD交于点N，连接HN，当△AHN

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：2.59g比标准质量少0.11g，记为−0.11，故答案为：D．【分析】根据正负数的意义即可求出答案.2．【答案】B【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，不符合题意；B.不是轴对称图形，符合题意；C.是轴对称图形，不符合题意；D.是轴对称图形，不符合题意；故答案为：B．【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．3．【答案】C【解析】【解答】解：4500000000=4.5×10故答案为：C．【分析】根据科学记数法：a×10n（1≤a<10，n为整数），先确定4．【答案】C【解析】【解答】解：如图，由题意知：AB∥CD，∠MBC=30°，∴∠DCN=∠MBC=30°，∴他应该先左转30°，再直行．故答案为：C．【分析】由题意知：AB∥CD，∠MBC=30°，再根据平行线的性质即可求出答案.5．【答案】C【解析】【解答】解：A选项的三棱柱的侧视图会出现矩形，不符合题意；B选项的圆柱的侧视图会出现矩形，不符合题意；C选项的圆锥主视图、侧视图、俯视图都不会出现矩形，符合题意；D选项的正方体主视图、侧视图、俯视图都是正方形，正方形是特殊的矩形，不符合题意；故答案为：C．【分析】根据简单结合体的三视图逐项进行判断即可求出答案.6．【答案】A【解析】【解答】解：∵BC，AB各部分长度的比满足ACBC∴点C为AB的黄金分割点，故答案为：A．【分析】根据黄金分割的定义即可求出答案.7．【答案】A【解析】【解答】解：“立春”有两张，“雨水”和“惊垫”各一张，从中随机抽取一张恰好抽到“立春”概率是24故答案为：A．【分析】根据概率公式即可求出答案.8．【答案】D【解析】【解答】解：设参加比赛的球队有x支，由题意可得，12故答案为：D．【分析】设参加比赛的球队有x支，根据题意，找到等量关系，列出方程即可.9．【答案】A【解析】【解答】解：连接BE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠AED=20°，∴∠BED=70°，∴∠BCD=180°−70°=110°，故答案为：A．【分析】连接BE，根据圆周角定理可得∠AEB=90°，再根据角之间的关系可得∠BED=70°，再根据圆内接四边形性质即可求出答案.10．【答案】D【解析】【解答】解：过点C作CE⊥y轴，延长BH交CE于点F，∵AH与x轴平行，BH与y轴平行，∴∠AHB=90°，∠ADE=∠ABH，∵四边形OABC为平行四边形，∴AB∥OC，AB=OC，∴∠COE=∠ADE=∠ABH，在△COE和△ABH中，∠AHB=∠CEO∠COE=∠ABH∴△COE≌△ABH(AAS∴OE=BH=3，CE=AH∵S∴CF=43∵∠BHC=135°，∴∠CHF=45°，∴HF=CF=43点H的纵坐标为53设C(m,3)，则∵反比例函数y=kx(x>0)的图象经过C∴k=3∴m=53∴C(53∴k=15，故答案为：D．【分析】过点C作CE⊥y轴，延长BH交CE于点F，根据直线平行性质可得∴∠AHB=90°，∠ADE=∠ABH，再根据平行四边形性质可得AB∥OC，AB=OC，则∠COE=∠ADE=∠ABH，再根据全等三角形判定定理可得△COE≌△ABH(AAS)，则OE=BH=3，CE=AH，根据三角形面积可得CF=43，则HF=CF=43，点H的纵坐标为511．【答案】（x＋6）（x－6）【解析】【解答】解：x2－36=（x＋6）（x－6）；故答案为：（x＋6）（x－6）.【分析】利用平方差公式分解即可.12．【答案】2【解析】【解答】解：4×故答案为：27【分析】根据二次根式的乘法即可求出答案.13．【答案】28【解析】【解答】解：设节省了x元，根据题意，得140−x=140×0.8，解得x=28．故答案为：28．【分析】设节省了x元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.14．【答案】0或1【解析】【解答】解：①若m=0，则函数y=2x+1，是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1，是二次函数．根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1．故答案为：0或1．【分析】需要分类讨论：①若m=0，则函数为一次函数；②若m≠0，则函数为二次函数．由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且m不为0，即可求出m的值．15．【答案】10+2【解析】【解答】解：如图，作P关于AB的对称点P'，连接P'Q，交AB于E，连接PE，作P'F⊥BC于F，PH⊥BC于H，连结AC，

∵P关于AB的对称点P'，AP=3，

∴P'E=PE，P'A=AP=3=FB

∴PE+QE的最小值为P'Q，

∴△EPQ周长的最小值为P'Q+PQ，

∵点O是矩形ABCD的对称中心，PQ经过点O，

∴OA=OC，∠AOP=∠COQ，AD//BC，

∴∠PAO=∠QCO，

∴△APO≌△CQO（ASA），

∴CQ=AP=3.

∵BC=8，

∴BQ=BC−CQ=8−3=5，

∴FQ=8，

∵P'F=AB=6，

∴P'Q=FQ2+P'F2=82+62=10，

∵PH=AB=6，HQ=5−3=2，

∴PQ=PH2+HQ2=62+22=210，

∴△EPQ周长的最小值为10+216．【答案】解：−=4+2=4+2=1．【解析】【分析】利用负整数指数幂、绝对值、零指数幂、特殊角的三角函数值、立方根的定义分别化简，再合并即可求出答案.17．【答案】（1）解：如图所示：（2）四边形AEFD是菱形；理由：∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAF=∠AFE，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，∴∠EFA=∠EAF，∴AE=EF，∵AE=AD，∴AD=EF，∵AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形，又∵AE=AD，∴平行四边形AEFD是菱形．【解析】【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可；（2）根据矩形的性质和平行线的性质得出∠DAF=∠AFE，结合角平分线的定义可得∠EFA=∠EAF，则AE=EF，再根据边之间的关系可得AD=EF，由平行四边形判定定理可得四边形AEFD是平行四边形，再根据菱形判定定理即可求出答案.18．【答案】解：设原路线的平均速度为x公里/小时，则新路线的平均速度为1.2x公里/小时，根据题意得，100x解得x=50，经检验，x=50是原分式方程的解，且符合题意，答：原路线的平均速度为50公里/小时．【解析】【分析】设原路线的平均速度为x公里/小时，则新路线的平均速度为1.2x公里/小时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.19．【答案】（1）解：把A−3,4代入y=mx∴m=−12，∴反比例函数解析式为y=−12把B6,n代入y=−12x∴B6,−2把A−3,4、B6,−2代入4=−3k+b−2=6k+b解得k=−2∴一次函数解析式为y=−2（2）解：由函数图象可得，当x<−3或0<x<6时，kx+b>m【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式可得反比例函数解析式为y=−12x，再将点B坐标代入反比例函数解析式可得B6,−2，再根据待定系数法将点A，B坐标代入一次函数解析式即可求出答案.

20．【答案】（1）解：由题意，得：当α=60°，BC的值最大，∵AB=AC=1.8米，∴当α=60°，△ABC为等边三角形，∴BC=1.8米；（2）解：过点D作DE⊥BC，∵AB=AC=1.8米，α=42°，AD=1.5米，∴∠B=12180°−42°在Rt△DEB中，DE=BD⋅sin答：桑梯顶端D到地面的距离为3.1米．【解析】【分析】（1）根据大角对大边，得到当α=60°时，BC的值最大，即可求出答案.

（2）过点D作DE⊥BC，根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠B=69°，BD=3.3米，再根据正弦定义即可求出答案.21．【答案】（1）100（2）解：D类的人数为：100−10−20−40−5=25(名)，补全条形统计图如下：；（3）36（4）解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好同时选中乙、丙两位同学的有2种情况，∴恰好同时选中乙、丙两位同学的概率为212【解析】【解答】（1）此次被调查的学生人数为：20÷20%=100(名故答案为：100；（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是：360°×10故答案为：36；【分析】（1）用B的人数除以对应百分比可得样本容量；（2）用样本容量减去其它四类的人数可得D类的人数，进而补全条形统计图；（3）用360乘A“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；（4）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出恰好同时选中乙、丙两位同学的结果，再根据概率公式即可求出答案.22．【答案】（1）解：连接OB，∵AB⊥PO，∴AD=BD，∵OA=OB，OD=OD，∴△OAD≌△OBDSSS∴∠AOD=∠BOD，∵OA=OB，OP=OP，∴△OAP≌△OBPSAS∴∠OBP=∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠OBP=∠OAP=90°，∴PB是⊙O的切线，（2）解：由（1）可知，∠OAP=90°，∴∠PAB+∠BAC=90°，∵AC是⊙O的直径，∴∠BCA+∠BAC=90°，∴∠PAB=∠BCA，∴cos∠PAB=cos∠BCA=BCAC∴AO=1∵AB⊥PO，∴∠DOA+∠BAC=90°，∴∠DOA=∠PAB，∴cos∠DOA=cos∠BCA=AOPO=10【解析】【分析】（1）连接OB，由垂径定理可得AD=BD，根据全等三角形判定定理可得△OAD≌△OBDSSS，则∠AOD=∠BOD，再根据全等三角形判定定理可得△OAP≌△OBPSAS，则∠OBP=∠OAP，再根据切线性质可得（2）根据角之间的关系可得∠PAB+∠BAC=90°，再根据圆周角定理可得∠BCA+∠BAC=90°，则∠PAB=∠BCA，根据余弦定义建立方程，解方程可得AC=10，则AO=1223．【答案】(1)2；解：(2)如图2，过点C作CH⊥AB于H，

则∠AHC=∠CHB=90°，∴∠B+∠HCB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠B+∠A=90°∴∠A=∠HCB，∴△ACH∽△CBH，∴CH：BH=AH：CH，∴CH2=AH·BH，∵T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，∴AH=4，BH=9，∴AB=AH+BH=13，CH=6，∴S△ABC=(AB·CH)÷2=13×6÷2=39；解：(3)如图3，过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，

∵∠ACD=90°，T(AD，AC)=2，∴AC=2，∵∠A=60°，∴∠ADC=∠BDK=30°，∴CD=AC·tan60°=23，AD=2AC=4，AH=12∴DH=4-1=3，∵T(BC，AB)=6，CH⊥AB，∴BH=6，∴DB=BH-DH=3，在Rt△BDK中，∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°，∴DK=BD·cos30°=33∴T(BC，CD)=CK=CD+DK=3+323=【解析】【解答】解：(1)如图1，过C作CH⊥AB，垂足为H，

∵T(AC，AB)=3，∴AH=3，

∵AB=5，∴BH=AB-AH=2，

∴T(BC，AB)=BH=2，

故答案为2；

【分析】（1）过C作CH⊥AB，垂足为H，根据正投影的定义即可求出答案.

（2）过点C作CH⊥AB于H，则∠AHC=∠CHB=90°，根据角之间的关系可得∠A=∠HCB，再根据相似三角形判定定理可得△ACH∽△CBH，则CH：BH=AH：CH，根据正投影定义可得AH=4，BH=9，则AB=AH+BH=13，CH=6，再根据三角形面积即可求出答案.

（3）过C作CH⊥AB于H，过B作BK⊥CD于K，根据题意可得AC=2，再根据含30°角的直角三角形性质可