2024年5月浙江省鄞州一模数学（含答案）

第第页2024年5月浙江省鄞州一模数学一、选择题（每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．若气温升高2°C记作“+2°C”，则气温下降4°C可记作（）A．−2°C B．−4°C C．4°C D．−6°C2．下列算式，计算结果为a2A．a+a B．2a2−2 C．a×a3．杭州亚运会首创推出“亚运数字火炬手”，最终105000000人参与了“线上火炬传递”，数据105000000用科学记数法表示为（）A．105×106 B．10.5×107 C．4．在如图所示的实物立体图中，主视图是长方形的是（）A． B．C． D．5．小明在学习“特殊平行四边形”一单元后，梳理了如图所示的特殊平行四边形之间的关系．以下选项分别表示A，B，C，D处填写的内容，则对应位置填写错误的选项是（）A．对角线夹角为60° B．对角线垂直C．对角线与一边夹角45° D．对角线相等6．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和业绩四个方面对甲、乙、丙、丁四名应聘者进行了考核得分如下，若给予学历，经验，能力，业绩四个方面在总分中所占的比例分别为20%项目学历经验能力业绩甲85808590乙90858580丙85908085丁80859085A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．如图，一把直尺和两叠杯子放在同一水平桌面上，左、右两叠杯子的上边缘对应在刻度尺上的读数分别是4.5，7，要使右叠杯子的高度与刻度10对齐，还需再叠加同样的杯子个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9 第7题图 第8题图8．A，B两地相距240km，甲货车从A地以40km/ℎ的速度匀速前往B地，到达B地后停止．在甲货车出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止，两车之间的路程ykm与甲货车出发时间xA．两货车2.4小时相遇 B．两货车相遇时，甲货车比乙货车少行驶48kmC．乙货车的速度为60km/ℎ D．乙货车到达A地时，甲货车距离B地96km9．如图，△ABC的顶点A在y轴上，边BC∥x轴，边AB，AC分别与x轴相交于点D，E，原点O正好是△ABC的内心，已知点B−9,−3，则DEA．9 B．10 C．11.25 D．12 第9题图 第10题图10．如图，两个阴影正方形与4个全等的直角三角形拼成正方形ABCD，延长BE交MN于点F，若BE×EF=m,MF×NF=n，则阴影部分的面积之和用含m，A．m2n B．m2m+n C．二、填空题（每小题3分，共18分）11．请写一个比3小的无理数．12．在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率为．13．如图，工人师傅需要按照中心线计算圆弧形弯管的“展直长度”再下料，根据图中的数据可得直管与弯管的总长度是（π取3.14，结果精确到1cm） 第13题图 第14题图14．如图，将线段AB绕点B旋转至BD，点D恰好落在射线AC上，分别以点A，B为圆心，大于线段AB的一半长为半径画弧，过两弧的交点作直线交射线AC于点E，连结BE，量得∠DBE=75°，则∠A的度数是15．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A−2,3,B3,n 第15题图 第16题图16．如图，扇形AOB的圆心角∠AOB>60°，点C在OB上，将△AOC沿AC折叠得到△ADC，CD交弧AB于点E，连结AE，恰有AE=AD，若CE=DE=2，则∠ACD的度数是，⊙O的半径长是三、解答题（17~21题各8分，22~23题各10分，24题12分，共72分）17．（1）计算：1−2+2sin45°−8． 18．如图是由36个边长为1的小正方形组成的9×4的网格，△ABC的顶点即是网格的顶点．（1）求tan∠ABC（2）在图中找一个格点D，利用△ABD和△ABC说明“有两条边和一个角相等的两个三角形全等”是假命题．19．观察前后两个差为4的整数的平方差：①52−12=8×3；②（1）写出第n个等式，并进行证明．（2）问2024是否可以写成两个差为4的整数的平方差？如果能，请写出这两个整数；如果不能，请说明理由．20．惊蛰一般在每年的3月5日或6日，古有关于惊蛰的谚语“雷打惊蛰前，二月雨连连；雷打惊蛰后，旱天到春后”（这里的二月指的是农历二月）．小宁收集到如下数据：2010~2024年3月份降水里（毫米）年际变化统计图降水量情况年数降水量的平均数降水量的中位数降水量超过125毫米7__________165毫米降水量不超过125毫米878.75毫米__________小宁进一步了解到历年的平均降水量为125毫米，他对以上数据进行了整理：（1）填空上表：（2）小宁查询降水量较高的7年中，降水量超过中位数165毫米的三年，确实是惊蛰前打雷．这三年三月份的平均降水量比一般情况（降水量125毫米）多几毫米？若按日均6毫米降水量计算，多几天下雨？21．如图，菱形ABCD中，点P在对角线BD上，过点P分别作CD，BC的平行线交BC，CD于点E，（1）求证：AB=PE+PF；（2）连结AP，若∠ABC=60°,∠APE=150°，判断PE与PF的数量关系，并说明理由．22．请阅读信息，并解决问题：问题芙蓉大桥检修后需要更换吊杆及相关装饰品查询信息深圳有许多桥，有一座坐落于罗湖区的桥—芙蓉大桥，如图，是芙蓉大桥的一个拱，其外形酷似竖琴．桥拱固定在桥面上，拱的两侧安装了17对吊杆（俗称“琴弦”）此段桥长120米，拱高25米．处理信息如图是芙蓉大桥其中一拱的主视图，A，B分别表示是桥的起点和终点，桥拱可看成抛物线，拱的两端C，D位于线段AB上，且AC=BD．一根琴弦固定在拱的对称轴OH处，其余16根琴弦对称固定在OH两侧，每侧各8根．记离拱端C最近的一根为第1根，从左往右，依次记为第2根，第3根，…OH为第9根，…测量数据测得上桥起点A与拱端C水平距离为20米，最靠近拱端C的“琴弦”EF高9米，EF与OH之间设置7根“琴弦”，各琴弦的水平距离相等，记为m米．解决问题任务1：建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；任务2：求琴弦EF与拱端C的水平距离CE及m的值．任务3：若需要在琴弦EF与OH之间垂直安装一个如图所示高为17m的高音谱号艺术品，艺术品底部在桥面AB上，顶部恰好扣在拱桥上边缘，问该艺术品顶部应该安装在哪两根琴弦之间？23．已知二次函数y=ax2+bx+c（1）若a=1，（2）若b=4a，点P−3,y1,Q3,（3）若点Mm,1,N−m,24．如图1，AB与⊙O相切于点B，点D是直径BC上一点，连结AD并延长分别与⊙O相交于点E，F，连结BE，CF，恰有（1）判断△CDF的形状并说明理由；（2）若⊙O的直径为10，sinA=35（3）如图2，DE=2CD，作BH⊥AD于H，连结①求ABBF②求证：BH=CH；③求sin∠BFE第（3）问的3个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自身实际选择其中一个问题进行解答．选择①正确得2分，选择②正确得3分，选择③正确得6分．多选，则取最高分，不累计得分．

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：若气温升高2°C记作“+2°C“，则气温下降4°C可记作−4°C，故答案为：B．

【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，另一个为负，结合题意即可求解.2．【答案】C【解析】【解答】A、a+a=2a，此选项不符合题意；B、2a2与C、a×a=aD、a6故答案为：C．

【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可判断求解；

B、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知2a2和2不是同类项，所以不能合并；

C、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可判断求解；

D、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可判断求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：105000000=1.05×10故答案为：C．

【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：A、该圆锥的主视图是等腰三角形，此选项不符合题意；B、球的主视图是圆，此选项不符合题意；C、该几何体的主视图是等腰梯形，此选项不符合题意；D、圆柱的主视图是长方形，此选项符合题意.故答案为：D．

【分析】主视图是从物体正面看所得到的图形；认真观察实物图，按照三视图的要求画图即可．5．【答案】A【解析】【解答】解：A．对角线夹角为60°的平行四边形不一定是矩形，故A错误；B．对角线垂直的平行四边形是菱形，故B正确；C．对角线与一边夹角45°的矩形是正方形，故C正确；D．对角线相等的菱形是正方形，故D正确．故答案为：A．

【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定定理解答即可．6．【答案】D【解析】【解答】解：甲的得分：85×20%乙的得分：90×20%丙的得分：85×20%丁的得分：80×20%∵86>85=85>84，∴被录用的是丁．故答案为：D.

【分析】根据加权平均数的计算公式，分别求出甲、乙、丙、丁的最终得分，比较得分的大小，根据平均分越高成绩越好即可判断求解．7．【答案】A8．【答案】D【解析】【解答】解：A、由图可知，乙货车4小时到达A地，∴乙货车速度为240÷4=60(km/ℎ)，∵240÷(40+60)=2.4ℎ∴两货车2.4小时相遇，

∴此选项不符合题意；B、∵2.4×(60−40)=48(km)，∴两货车相遇时，甲货车比乙货车少行驶48km，

∴此选项不符合题意；C、由图可知，乙货车4小时到达A地，

∴乙货车速度为240÷4=60（km/h），

∴此选项符合题意；

D、∵240−40×4=80(km)，∴乙货车到达A地时，甲货车距离B地80km，

∴此选项不符合题意故答案为：D．

【分析】A、观察图形，根据路程÷时间可求得乙货车的速度，再用总路程÷甲乙两辆货车的速度和即可求得两货车相遇的时间；

B、结合A的结论，用两货车相遇的时间×甲乙两辆货车的速度差几颗求解；

C、观察图形，根据路程÷时间可求得乙货车的速度；

D、观察图形，用总路程减去甲货车4小时行驶的路程即可求解.9．【答案】B【解析】【解答】解：设BC交y轴于点F，连接OB，作DI⊥OB于点I，则∠BID=90°∵AB，AC分别与x轴相交于点D，E∴∠AOD=∠AOE=90°∵原点O是△ABC的内心∴AO平分∠BAC，BO平分∠ABC∴∠DAO=∠EAO，∠DBO=∠CBO∵AO=AO∴△DAO≌△EAO(SAS)∴DO=EO∵BC∥x轴∴∠DOB=∠CBO，∠BFO=∠AOD=90°∴∠DBO=∠DOB∴DO=DB∵B(−9,−3)，∴BF=9，OF=3∴BO=∴BI=OI=∵∴DO=DB=∴DE=2DO=2×5=10故答案为：B．

【分析】设BC交y轴于点F，连接OB，作DI⊥OB于点I，由原点O是△ABC的内心得∠DAO=∠EAO，∠DBO=∠CBO，从而推出DO=EO，根据BC∥x轴，可推出∠DBO=∠DOB，则DO=DB，再结合点B的坐标并用勾股定理可求得BO的长，由等腰三角形的三线合一得BI=OI=12BO求出BI的长，由锐角三角函数BIDB=cos∠DBO=10．【答案】A【解析】【解答】解：阴影部分的面积之和=ME2+E∵BE×EF=m，∴BE=m∴BE∵图中是4个全等的直角三角形，∴∠MNE=∠BEG,∠MNE+∠EMN=90°，∵∠BEG=∠MEF，∴∠MEF=∠MNE，∵∠MEF+∠FEN=90°，∴∠EMN=∠FEN，∴△EFM∽△NFE，∴EF∴EF∵MF×NF=n，∴EF∴BE故答案为：A．【分析】由图形的构成可得阴影部分的面积之和为BE2．根据BE×EF=m，可得用EF2表示的BE2的代数式，由题意，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得11．【答案】3（答案不唯一）．【解析】【解答】解：根据无理数的定义，可知3为无理数，且3<3故答案为：3（答案不唯一）．

【分析】根据无理数的定义“无限不循环小数叫做无理数”并结合题目的限定条件，直接写出一个符合条件的无理数即可．12．【答案】2【解析】【解答】解：由题意可得摸出的球为红球的概率为2故答案为：27

【分析】利用等可能事件的概率公式进行计算即可求解.13．【答案】297cm【解析】【解答】解：∴圆弧形弯管的长为100π×90180∴直管与弯管的总长度是157+70+70=297(cm)．故答案为：297cm．

【分析】根据弧长公式“L=nπR14．【答案】35°【解析】【解答】解：∵由作图可得，E在AB的垂直平分线上，∴EA=EB，∴∠A=∠EBA，∵由旋转可得：BA=BD，∴∠A=∠BDA，∵∠DBE=75°，∴∠A+∠EBA+75°+∠BDA=3∠A+75°=180°，∴∠A=35°，故答案为：35°.

【分析】由线段的垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得EA=EB，由等边对等角可得∠A=∠EBA，由旋转的性质得AB=DB，由等边对等角可得∠A=∠BDA，再结合三角形的内角和定理即可求解．15．【答案】0,5或0,−3【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点∴m=−2×3=3n，∴m=−6,n=−2，∴A(−2,3),B(3,−2)，∵一次函数y=kx+b的图象过AB两点，−2k+b=33k+b=−2，

解得k=−1∴直线AB解析式为：y=−x+1，设直线AB与y轴交于点C，则C(0,1)，设点P坐标为(0,m)，则有：12即|m−1|=4，解得m=5或m=−3．∴P(0,5)或(0,−3)．故答案为：P(0,5)或(0,−3).

【分析】由题意，先用待定系数法求出两个函数解析式，再根据三角形面积的计算公式列出关于m且含有绝对值的方程，解方程求出m值，即可得到点P坐标．16．【答案】60°；2【解析】【解答】解：连接OE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，，由折叠得：∠ACO=∠DCA=1∵AD=AE,OA=OE，∴AE=OE=OA，∴△AOE是等边三角形，∴∠OAE=60°，∵AD=AE，∴∠D=∠AED，∴∠AOC=∠AED，∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠AOC+∠AEC=180°，∴∠OCD=360°−(∠AOC+∠AEC)−∠OAE=120°，∴∠ACO=∠DCA=1∵AE=AD,AF⊥DE，∴EF=DF=1∵CE=2，∴CF=CE+EF=2+1=3，在Rt△ACF中，AF=CF⋅tan在Rt△AEF中，AE=A∴OA=AE=27∴⊙O的半径长为27故答案为：60°;27．【分析】连接OE，过点A作AF⊥DE，垂足为F，根据折叠可得∠ACO=∠DCA=12∠DCO,∠AOC=∠D,OA=AD，即可得到AE=OE=OA，即可得到△AOE是等边三角形，然后利用等边对等角可得∠D=∠AED，从而得到∠AOC=∠AED，进而可得∠AOC+∠AEC=180°，再利用四边形内角和是360°求出∠OCD=120°，即可得∠ACO=∠DCA=12∠DCO=60°，再在Rt△ACF中，利用解直角三角形求出17．【答案】解：（1）|1−2|+2sin45°−8

=2−1+2×22−22

=2−1+2−22

=−1；

（2）2x−3x+6=1【解析】【分析】（1）先化简各式，由特殊角的三角函数值可得sin45°=22，然后根据实数的运算法则计算即可求解；

18．【答案】（1）解：如图，过点A作AP⊥BC交BC的延长线于点P，

根据题意得：AP=4,BP=6，

∴tan∠ABC=AP（2）解：如图，点D即为所求；根据题意得：AB=AB,AC=AD，此时△ABD和△ABC不全等．19．【答案】（1）解：由52−12=8×3，可得1+42−12=8×1+2；

由62−22=8×4，可得2+4（2）解：可以，理由如下：

令8(n+2)=2024，解得，n=251，

∴2024=2552−2512．

答：存在整数255【解析】【分析】（1）由52−12=8×3，可得1+42−12=8×1+2；由62−2220．【答案】（1）解：降水量超过125毫米的有230、190、140、150、135、180、165，其平均数为17降水量不超过125毫米的有45、55、60、75、80、90、105、120，所以其中位数为75+802故答案为：170毫米，77.5毫米；（2）解：这三年三月份的平均降水量为230+190+1803这三年三月份的平均降水量比一般情况（降水量125毫米）多200−125=75(毫米)，

75÷6=12.5(天)，答：这三年三月份的平均降水量比一般情况（降水量125毫米）多75毫米，若按日均6毫米降水量计算，多12.5天下雨．【解析】【分析】（1）根据算术平均数和中位数的定义“中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数”并结合已知即可求解；

（2）根据平均数的定义可得这三年三月份的平均降水量，然后结合题意即可求解．21．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD，

∴∠CBD=∠CDB，

∵PE∥CD,PF∥BC，

∴四边形PECF是平行四边形，∠CBD=∠FPD，∠BDC=∠BPE

∴PE=CF,∠CDB=∠FPD，

∴PF=DF，

∴PE+PF=CF+DF=CD，

∴AB=PE+PF；（2）解：PE=12PF．理由如下：

∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴∠ABD=∠CBD=∠BDC=∠ADB=∠BPE=12∠ABC=30°，

∵∠APE=150°，

∴∠APB=120°,∠DAP=90°，

∴∠BAP=180°−∠APB−∠ABP=30°，

∴PA=PB，

连接PC，

在△APD和△CPD中，

AD=CD∠ADP=∠CDPDP=DP

∴△APD≌△CPD(SAS)，

∴∠DCP=∠DAP=90°,PA=PC，

∴∠CPE=∠DCP=90°,PB=PC，

∴∠PBE=∠PCE=30°，【解析】【分析】

（1）根据菱形的性质得到AB=BC=CD，由等边对等角得∠CBD=∠CDB，根据平行四边形的性质得到四边形PECF是平行四边形，∠CBD=∠FPD，然后由线段的构成和平行四边形的性质可求解；

（2）根据菱形的性质得到∠ABD=∠CBD=∠BDC=∠ADB=∠BPE=12∠ABC=30°，求得∠APB=120°,∠DAP=90°22．【答案】解：任务1:如图，以桥所在的直线为x轴，以OH所在的直线为y轴建立直角坐标系，则点H为原点，由题意得，O(0,25)，CH=120÷2−20=40，则点C的坐标为(−40,0)，令抛物线的解析式为y=ax将点C(−40,0)代入y=ax1600a+25=0(a≠0)，解得：a=−1则抛物线的解析式为y=−1任务2:∵EF=9（米），∴将y=9代入y=−1x1=−32，∴EH=32（米)，∴CE=40−32=8（米），m=32÷8=4（米），∴琴弦EF与拱端C的水平距离CE为8米，m的值为4米．任务3：将y=17代入y=−1x1=−162∵−24<−162∴该艺术品顶部应该安装在第5根和第6根琴弦之间【解析】【分析】任务1：如图建立平面直角坐标系，则点H为原点，然后运用待定系数法函数解析式即可；任务2：将y=9代入函数解析式即求出EH的长，然后利用线段的和差求出CE长即可解题；任务3：将y=17代函数解析式出x的值，然后判断解题．23．【答案】（1）解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴相交于点(0,1)，

∴c=1．

又a=1,b=4，

∴二次函数为y=x2+4x+1．

又y=x2+4x+1=(x+2)2−3（2）∵b=4a，

∴对称轴直线x=−b2a=−4a2a=−2．

∵a>0，

∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．

（3）由题意得，am2+bm+1=1①，am2−bm+1=m2+2②，∴①+②得，2am2+2=m2+3，

则a=m【解析】【分析】（1）依据题意，由二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴相交于点(0,1)，从而求出c，又a=1,b=4，可得二次函数的解析式，再化成顶点式，根据二次函数的性质即可求解；

（2）依据题意，由b=4a，从而可得对称轴直线x=−b2a=−4a24．【答案】（1）解：△CDF是等腰三角形，理由如下：

∵AB与圆O相切于点B，BC是圆O的直径，

∴∠ABC=90°，

∴∠FDC=∠ADB=9