浙江省北斗星盟2025届高三下学期适应性考试（三模）数学试卷（含答案）

浙江省北斗星盟2025届高三下学期模拟考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合则A∩B=A.{1,2}B.{0,1,2}C.{-1,0,1,2}D.{-2,-1,0,1,2}2.若复数z满足3.已知单位向量EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)，b满足IEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)+bI=2IEQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)-bI，则向量EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),a)在向量b上的投影向量为()4.“a=2”是“函数f(x)=ln(x2-ax+1)的值域为R”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.若坐标原点O关于动直线l:mx-Y-m+1=0(m∈R)的对称点为A，则点A的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线6.已知函数和函数g(x)=2cos(wx+φ)的图象上相邻的四个交点构成的四边形的面积为，且f(1)=g(1)，则()7.已知函数满足f=2，且对的正整数n的最大值为()A.2026B.2027C.2028D.20298.在平面直角坐标系xOY中，已知曲线C:(x2+Y2)2=2x2-2Y2，若点P为曲线C上的动点，则IOPI的最大值为()二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分.已知A，B每次点球命中的概率分别为PA，PB，(PA,PB∈(0,1))，若5轮比赛后A，B的总得分分别为XA，XB，则下列结论正确的是()A.若E(XA)<E(XB)，则PA<PBB.P(XA=XB=3)≠P(XA:XB=2:3)D.若当且仅当K=2时，P(XA=K)(K=0,1,2,…5)取得最大值，则10.已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，且IAF1I=IF1F2I=2，P为C上位于第一象限内的点，且IPF1I.IPF匕F1PF2的内角平分线交X轴于点M，则下列结论正确的是C.△PF1F2的内切圆半径为若该四棱锥存在内切球，且其内切球球心为O1，其外接球球心为O2，则下列结论正确的是()B.四棱锥PABCD的内切球半径为21C.四棱锥PABCD的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数为奇函数，则a+b=．13.已知且满足则则sin2β=．14.人工智能(ArtificialIntelligence)，英文缩写为AI.是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的科学.某商场在有奖销售的抽奖环节时，采用AI技术生成奖券码：在每次抽奖时，顾客连续点击按键5次，每次点击随机生成数字0或1或2，点击结束后，生成的5个数字之和即为奖券码.并规定：如果奖券码为0，则获一等奖;如果奖券码为3的正整数倍，则获二等奖，其它情况不获奖.已知顾客甲参加了一次抽奖，则他获二等奖的概率四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)棱PB，CD的中点．(1)证明：MN//平面PAD;(2)求平面PMN与平面AMN的夹角的余弦值．16.(本小题15分)(1)若曲线y=f(x)在x=—1处的切线过点(0,—3)，求实数a的值;17.(本小题15分)如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点匕且△AOD和△BOC的外接圆半径相等．(1)若AB=2，求OA的长;18.(本小题17分)已知双曲线且四点A(3,2)，B(2,6)，C(2,—6)，D(3,2)中恰有三点在E(1)求双曲线E的标准方程;(2)如图，P，Q，R分别为双曲线E上位于第一、二、四象限的点，过坐标原点0分别作直线PQ，PR的垂线，垂足分别为M，N，且(i)证明：Q，0，R三点共线;(i)求△PQR面积的最小值．19.(本小题17分)已知数列{bn}的前n项和为sn，且b1=1，2sn=nbn+1，当数列{bn}的项数大于2时，将数列{bn}中各项的所有不同排列填入一个n!行n列的表格中(每个格中一个数字)，使每一行均为这n个数的一个排列.将第i(1≤i≤n!,i∈N)行的数字构成的数列记作{ain}，将数列{ain}中的第j(1≤j≤n,j∈N)项记作aij.若对∀i，j，均有aij≠bj，则称数列{ain}为数列{bn}的“异位数列”，记表格中“异位数列”的个数为M．(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)当数列{bn}的项数为4时，求M的值;(3)若数列{ain}为数列{bn}的“异位数列”，试讨论的最小值．2.B3.D4.A6.C7.C8.B9.ACD11.ABD15.(1)证明：取AB中点E，连接ME，NE，因为底面ABCD为矩形，N为CD的中点，所以EN//AD，因为M为PB中点，所以ME//PA，因为EN∩ME=E，EN、MEC平面MEN，所以平面MEN//平面PAD，因为MNC平面MEN，所以MN//平面PAD．(2)解：由题，直线DA，DC，DP两两垂直，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP所在直线为X，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，P(0,0,4)，M(1,EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),m)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(x),2)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(y),4)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(z),0)EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-),m)同理可得平面AMN的一个法向量为EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up2147483647(-→),n)=(2,2,—1)，EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(-),m)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(-→),n)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up2147483644(-),m)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up2147483644(-→EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(-),m)EQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\up0(-→),n)所以平面PMN与平面DMN的夹角的余弦值为.所以线f(x)在x=—1处的切线方程为将点(0,3)代入得=3，解得a=e．(2)证明：f′(x)=axex—2，设g(x)=axex—2，则g′(x)=a(1+x)ex，当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，g(x)即f′(x)所以存在唯一的x0∈(1,2)，使得f′(x0)=0，即且当x∈(∞,x0)时，f′(x0)<0，f(x)单调递减;当x∈(x0+∞)时，f′(x0)>0，f(x)单调递增;所以当<a<时，函数f(x)在x=x0处取得极小值，即为最小值，所以f(x)≥f(x0)=a(x0—1)ex0—因为△AOD和△BOC的外接圆半径相等，由正弦定理得所以BC=AD，即AD2=(2x)2+y22(2x)y×,(2)在△BOC中，由正弦定理得即在△AOD中，由正弦定理得即 18.解：(1)由题，点A(3,2)，B(2,6)，C(2,—6)，D(3,2)中恰有三点在E上，根据双曲线的对称性，点B(2,6)，C(2,—6)都在双曲线上，又在第一象限内，双曲线的图象是“上升的”，所以点D(3,2)不在双曲线E上，所以点A(3,2)，B(2,6)，C(2,—6)为双曲线上的点，所以E的标准方程为(2)(i)证明：由题可知直线PQ的斜率存在，设PQ:y=kx+m，由题知Δ>0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2所以所以OQ⊥OP，同理可得OP⊥OR，所以Q，O，R三点共线．(ii)因为OP⊥OR，OM⊥PQ，所以△OMQ∽△PMO，所以，所以IPMI·IQMI=IOMI2=2，由(i)知，S△PQR=2S△PQO=IPQI.IOMI=2IPQI，又IPQI=IPMI+IQMI≥2IPMI.IQMI=22，当且仅当IPMI=IQMI=2时等号成立，所以△PQR面积的最小值为4．由2Sn=nbn+1得2Sn+1=(n+1)bn+2，两式作差得2bn+1=(n+1)bn+2所以bn=n．(2)由(1)知，bn=n，所以bj=j(1⩽j⩽n,j∈N)，若数列{ain}为数列{bn}的“异位数列”，则：当ai1=2时，ai2=1，ai3=4，ai4=3;或ai2=3，ai3=4，a同理当ai1=3或ai1=4时，对应的排列各有3种情况，所以M=9．(3)因为数列{ain}为数列{bn}的“异位数列”，所以aij≠bj(1≤i≤n!,1≤j≤n,i,j∈N)，即aij≠j，所以Iaij—bjI=Iaij—jI≥1，所以ΣEQ\*jc3\*hps14\o\al(\s\u