浙江省台州市山海协作体2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试卷（含答案）

2024学年第二学期台州市山海协作体期中联考命题：平桥中学黄岩二高1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准X3456PX3456P2.若函数f(x)在x=x,处可导，则A.f'(x。)B.2f3.下列对函数求导运算正确的是()4.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列叙述正确的是()A.函数f(x)在(-,4)上单调递减B.函数f(x)在x=2处取得极小值C.函数f(x)在x=-4处取得极值D.函数f(x)只有一个极值点5.将6本不同的书(包括1本物理书和1本历史书)平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是()A.6B.12C.18D.24A.57.近年来，越来越多的周边游客来参观台州市的神仙临海紫阳街等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件A=“甲和乙至8.已知函数f(x)=(x-1)²(x-4),下面表述不正确的为()二、多项选择题：(本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分)9.下列结论正确的是()A.若随机变量7服从正态分布N(5,o²),且P(n<2)=0.1,则P(2<η<8)=0.8B.若随机变量Y的方差D(Y)=2,则D(3Y+2)=8C.从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为X,D.若随机变量X服从二项分布,且P(X=k)最大，10.对于可以求导的函数y=f(x),如果它的导函数y=f'(x)也是可导函数，那么将y=f'(x)的导函数记为y=f"(x).如果y=f'(x)有零点，则称其为y=f(x)的“驻点”;如果y=f"(x)有零点g(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)进行探究发现，得到如下命题，其中真命题为：()C.若y=f(x)-t有3个零点，则D.存在实数m,n(m<n),使得g(x),对于任意不相等的两实数x₁,x₂∈(m,n),都有11.某同学玩一种跳棋游戏，抛掷一枚质地均匀且标有数字1~6的骰子，规定：若掷得数字小于或等于4,则前进1步；若掷得数字大于4,则前进2步.每次投掷互不影响，记某同学一共前进n步的C.P=3Pa+2-2pa+(neN')D.P₂n>P2mH>Pzm-1(n,meN)三、填空题：(本大题共3小题，每题5分，共15分)13.数学竞赛中，某校有A,B,C,D,E,F共6位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念，假设A,B两人必须相邻且站在正中间，C,D两人不能相邻，则不同的站法共有种(用数字作答)14.设k∈R,函数,若f(x)恰有两个零点，则k的取值范围是_四、解答题：(本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)用0,1,2,3,4五个数字，问：(用数字作答)(1)可以组成多少个无重复数字的四位密码?(2)可以组成多少个无重复数字的四位数?(3)可以组成多少个十位数字比个位数字大的无重复数字的四位偶数?16.(15分)已知二项式(1-2x)",若选条件_(填写序号),(1)求展开式中含x³的项；(2)设(1-2x)"=a₀+ax+a₂x²+…+a,x",求展开式中奇次项的系数和.请在：①只有第4项的二项式系数最大；②第2项与第6项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为64这三个条件中任选一个，补充在上面问题中的线上，并完成解答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.17.(15分)已知函数f(x)=e*-ax-a³.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程；(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0,求a的取值范围.18.(17分)某校举办了一次安全知识竞赛，竞赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛.预赛从8道题中任选4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰.(1)若这8道题中甲同学能答对其中4道，记甲在预赛中答对的题目个数为X,求X的分布列并计算甲进入决赛的概率.(2)决赛需要回答3道同等难度的题目，若全部答对则获得一等奖，奖励200元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励100元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励.假定进入决赛的同学答对每道题目的概率均为p(0<p<1),且每次答题相互独立(i)记进入决赛的某同学恰好获得二等奖的概率为f(p),求f(p)的最大值；(ii)某班共有4名学生进入了决赛，若这4名同学获得总奖金的期望值不小于325元，求此时P的取值范围.19.(17分)若函数f(x)在[a,b]上有定义，且对于任意不同的x,x₂∈[a,b],都有|f(x₁)-f(x₂)<kk₁-x₂|,则称f(x)为[a,b]上的“k类函数”(2)若为[1,e]上的“2类函数”,求实数a的取值范围.2024学年第二学期台州市山海协作体期中联考高二年级数学学科参考答案题号123456789CBDDBACB二、非选择题15.(13分)(2)首位不能为0,则有A4·A³=96个；……………8分(3)由题意，是偶数个位数必须是0,2.①0在个位，十位必须比0大，②2在个位，十位数字必须比2大，千位数不能是0有2×2×2=8种；……………12分则共有24+8=32种情况……………………13分16.(15分)选①只有第4项的二项式系数最大，则展开式中有7项，n=6;选③所有二项式系数的和为64,2"=64,n=6;…3分(任选一种求得n=6即可)(2)令x=1得a₀+a₁+a₂+令x=-1得a₀-a₁+a₂-…+a₆=3⁶=729……………………12分相减得2(a₁+a₃+a₅)=-728,所以a₁+a₃+a₅=-364……15分17.(15分)(1)当a=1时，则f(x)=e-x-1,f'(x)=e-1……………2分可得f(1)=e-2…………………3分即切点坐标为(1,e-2),切线斜率k=e-1,(2)解法一：因为f(x)的定义域为R,且f'(x)=e*-a………………7分①若a≤0,则f'(x)≥0对任意x∈R恒成立，②若a>0,令f'(x)>0,解得x>Ina;令f'(x)<0,解得x<Ina;∴f(x)在(-,Ina)内单调递减，在(Ina,+0o)内单调递增……………10分∴f(x)有极小值f(Ina)=a-alna-a³,无极大值……11分∴g(a)在(0,+0)内单调递增，且g(1)=0………………14分∴不等式a²+lna-1>0等价于g(a)>g(1),解得a>1,∴a的取值范围为(1,+0);……………15分因为f(x)的定义域为R,且f'(x)=e*-a,7分令f'(x)=e*-a=0,可得e⁸=a,可知y=e与y=a有交点，则a>0,……………若a>0,令f'(x)>0,解得x>Ina;令f'(x)<0,解得x<Ina;∴f(x)在(-0,Ina)内单调递减，在(Ina,+00)内单调递增，………10分∴f(x)有极小值f(Ina)=a-alna-a³,无极大值，符合题意，……11分由题意可得：f(Ina)=a-alna-a³<0,即a²+Ina-1>0,∴g(a)在(0,+0)内单调递增，且g(1)=0,…………14分∴不等式a²+Ina-1>0等价于g(a)>g(1)∴a的取值范围为(1,+).………………15分18.(17分)(1)由已知X的取值为0,1,2,3,4,…………1分…………4分…………4分X01234P∴甲进入决赛的概率为;……6分(2)(i)由题意得f(p)=C²p²(1-令f'(p)=6p-9p²=3p(2-3p)=0,解得………9分当时，f'(p)<0,f(p)单调递减，…………11分∴f(p)的最大值为………………12分(ii)由题可设每名进入决赛的学生获得的奖金为随机变量Y,P(Y=100)=C3p²(1-p),P(Y=20可得4E(Y)≥325,即200p³+600p≥325,16分整理得8p³+24p-13≥0,由8p³+24p-13=(8p³-1)+12(2p-1)=(2p-1)(4p²+2p+1+12)≥0,………………………17分19.(17分)有l≤x₁<x₂≤2,2<x₁+x₂<4,所以,……………1分(2)因为f'(x)=axe*-x-Inx-1,…………5分故f(x₁)+2x₁<f(x₂)+2x₂且f(x₁)-2x₁>f(x₂)-2x₂,………………7