第六章平面向量极化恒等式奔驰定理三角形四心问题讲义-高一下学期数学人教A版

专题2极化恒等式，奔驰定理，三角形四心序号考点知识点01极化恒等式知识点02奔驰定理知识点03三角形四心知识点01极化恒等式极化恒等式几何意义:向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系如图在平行四边形中,则总结：此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决，需大家强化学习。例1．（全国·高考真题）设向量满足，，则A．1 B．2 C．3 D．5例2．（2023·全国·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5例3.（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【强化训练】1.如图,在中,已知,点分別在边上,且,若为的中点,则的值为________2.（江苏·高考真题）如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是.

知识点02奔驰定理1.奔驰定理如图，已知O为内一点，则有或者由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”.这个定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用.2.奔驰定理的推论推论是内的一点,且,则3.奔驰定理的证明如图：延长与边相交于点则【练习题型：奔驰定理】例1．已知点P为ABC内一点，PA→+2PB→+3PC→=0A．9：4：1 B．1：4：9 C．1：2：3 D．3：2：1例2．（2023·师大附中期末）已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（

）A． B． C． D．例3．设O为△ABC内一点，且满足关系式OA→+2OB→+3OC→=3AB→+2BC→+CA→，则例4．已知是内部的一点，，，所对的边分别为，，，若，则与的面积之比为（

）A． B． C． D．例5．（多选题）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若、是锐角内的点，、、是的三个内角，且满足，，则（

）A．B．C．D．知识点03三角形四心三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1；三条重心所分六个小三角形面积均相等。三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r.（3）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等.若为的外心，则；或（4）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直.总结．三角形四心与推论：是的重心：是的内心：是的外心： ．是的垂心： ．【练习题型一：重心定理】1．在中，，，且，，则点的轨迹一定通过的（

）A．重心 B．内心C．外心 D．垂心2．设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过的（

）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心3．若为的重心（重心为三条中线交点），且，则___．4．过△ABC重心O的直线PQ交AC于点P，交BC于点Q，，，则n的值为________.5．在中，，，，若是的重心，则______.6.（1）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，则______．（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，，D为BC中点，则____．7．（多选）中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，O为其重心，，，分别是边a，b，c上的高．若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．是钝角三角形【练习题型二：内心定理】1.已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心2．在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（

）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心3．设为的内心，，，，则为________．4．已知点是的内心，若，则______.5．已知，是其内心，内角所对的边分别，则（

）A． B．C． D．6．在△ABC中，，O为△ABC的内心，若，则x＋y的最大值为（

）A． B． C． D．【练习题型三：外心定理】已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的（

）A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心2．已知△ABC中，，点O是△ABC的外心，则________.3．已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（

）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心4．设O为的外心，若，，则___________.5.6.设为的外心，，，分别为角，，的对边，若，，则（

）A． B． C． D．7．已知点O是△ABC的外心，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，，且，则的值为________．【练习题型四：垂心定理】1.点P为所在平面内的动点，满足，，则点P的轨迹通过的A．外心 B．重心 C．垂心 D．内心2．设为的外心，若，则是的（

）A．重心（三条中线交点） B．内心（三条角平分线交点）C．垂心（三条高线交点） D．外心（三边中垂线交点）3．在中，，，为的垂心，且满足，则