曲线上存在互相垂直的两条切线问题探究（教师版）

曲线上存在互相垂直的两条切线问题探究曲线上存在两条互相垂直的切线问题，这类问题外地考的会比较多一些，上海看到的类型题会少一些。一般可以分为两类：①斜率存在的情况下，则②导函数的上确界为正，下确界为负，且满足乘积小于等于1的情况。一、上海考题：①（2025年建平高三3月月考试卷21题）已知函数y=fx,若点P是函数y=fx的图像的两条互相垂直的切线的交点:则点P是函数y=fx的“特征点”,记y=(1)若fx=sinx,x(2)若fx=x2,求证:函数(3)若fx=x3−ax2,记函数y=fx的所有点组成的集合为【解析】(1)假设fx=sinx,x∈0,设为x=x1和因为f′所以f′由于cosx的值域为−所以cosx1cosx2=−1只能在或者cosx1=−1和又因为x∈所以x1=0x2当x1=0时,f所以切线方程为y−0=1×当x2=π时,所以切线方程为y−由y=xy=−x所以“特征点”为π2,π2.当因此Mf(2)证明：设“特征点”Px0,y0是fx在x因为fx=x2所以fx在x=x1和x即y=联立y=2x1x即P1又因为两条切线相互垂直,所以f′所以x1所以fx的所有“特征点”在一条定直线y(3)因为Mf所以由题意可知不存在fx该点是“特征点”,先证明:对任意的实数a,若fx“特征点”,则该点本身一定是切点,反证法:假设该点Qx1则存在切线y=f函数图象交于点Q,所以y1化简得x1因为x1≠x2同理可得x1所以x1=假设Ax2,y2,则由上可知x3=a−2f因为f′所以3x即3x设t=3x22−2axt由题意可知fx图象上的点都不是“特征点”即不存在这样的点B,所以方程4t2+a2t设gt=4t,所以当t=−a28时,gt取最小值1−a416,要使得g(t)=0无解,只需1−②（2023年上海闵行二模21题）如果曲线y=fx存在相互垂直的两条切线,称函数y=fx是“正交函数”.已知fx=x2+ax+(1)当f′1=0时,求实数(2)当a=−8,x0=8时,是否存在直线l2满足l1⊥(3)当a≥−5时,如果函数y=fx是“正交函数”,求满足要求的实数a的集合D；若对任意a∈D,曲线y=fx都不存在与l【解析】（1）由题设,函数定义域为0,+∞,且f由f′1=4+（2）当a=−8时,f′x=即l1的斜率k1=334,假设l2存在,则则f′x=k2有解,即2x+该方程化简为33x2−130x+33=0,解得（3）令ℎx=f′x当x∈0,1时当x∈1,+∞时设曲线y=fx的另一条切线的斜率为①当a≥−4时,f′x=2x②当−5≤a<−4时,fx趋近于0或x趋向于正无穷大时,f′x所以f′x在0,1、故当x∈0,x1或当x∈x1,x2时即曲线y=fx因为a∈[−由②知,曲线y=f不妨设x0满足f′x0f′又4+所以f′故2t0+1t0立,所以t0+1t0又f′x0=2x−因为12所以x0综上可知,对任意满足−5≤a<−4的所有函数不存在与l1垂直的切线l2全国考题：①(2024年北京朝阳区一模)已知函数fx=12sin2x.若曲线y=fx在点A【解析】f′x=cos2x即cos2x1⋅cos2x2=−1或cos2x1=−1所以x1−x2=−π2+k1−k2②(2021・新高考II)已知函数fx=|ex−1|,（x1<0,x2>0）,函数fx的图象在点【解析】当x<0时,fx=可得在点Ax1,1−切线AM的方程为y−令x=0,可得y=1−ex当x>0时,fx=e可得在点Bx2,ex令x=0,可得y=ex2−由fx的图象在A,B处的切线相互垂直,可得即为x1所以AMBN故答案为