2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（线段周长问题）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（线段周长问题）1．直线与抛物线相交于和，点P是线段上异于C，D的动点，过点P作垂直x轴，交抛物线于点M．(1)求抛物线的解析式；(2)直接写出的x的取值范围；(3)是否存在这样的P点，使的长有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由．2．如图，二次函数的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，且图象经过点，，连接．(1)求a，b的值．(2)P是抛物线上的一点，且位于x轴上方，是否存在点P，使得的面积恰好为4？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．(3)M（不与点A，C重合）是线段上的一个动点，过点M作轴，垂足为D．延长，交抛物线于点E，过点E作，垂足为F，求周长的最大值．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B，A在B的左侧，与y轴交于点C，点P为直线上方抛物线上一动点．(1)求直线的解析式；(2)过点作y轴的平行线交于点M，求线段时点的坐标；(3)过作轴，交于M，当的值最大时，求的坐标和的最大值．4．如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标；(3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标．5．已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点B，C，与y轴交于点A，其中．(1)求抛物线的函数表达式(2)如图1，连接，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点K，过点K作轴，垂足为点E；求的最大值并求出此时点P的坐标；6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图，点是抛物线上位于直线下方一动点，过点作轴的平行线交直线于点，点是轴上的一个动点，连接，当线段长度取得最大值时，求的最大值，及此时点的坐标；(3)如图，将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线，点是新抛物线上一点，连接，当时，请求出点的坐标．7．如图，抛物线与y轴交于，且对称轴，顶点为H．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上位于对称轴左侧x轴上方的一个动点．过点P作x轴的平行线交抛物线于点D，作x轴的垂线交x轴于点F，过点D作x轴的垂线交x轴于点E，四边形的周长为C：①当周长C最大时，求点P的坐标；②如图2，当周长C最大时，点P，D的位置分别记为，将抛物线平移，使其顶点始终在直线，当平移后的抛物线与射线只有一个公共点时，设此时抛物线的顶点横坐标为，求m的值．8．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上；(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使得周长最小，若存在，求出P点的坐标及周长的最小值．9．如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，，．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是上一动点，求的最小值．10．如图，抛物线与x轴交于，两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上是否存在一点M，使的周长最小？若存在，请求出M点的坐标，若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线与轴交于点，，与直线交于，两点，且经过点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点作轴，与直线交于点，作轴，与抛物线交于点．①当时，求的长；②若，直接写出的取值范围．12．抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数经过点A，B．(1)求k，b的值；(2)如图1，过点C的直线交线段于点M，若，直接写出点M的坐标；(3)如图2，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交于点E，，垂足为F．当时，求点F的坐标．13．如图，抛物线经过A，B，C三点．已知点B的坐标为，且．(1)求A，C两点的坐标；(2)求抛物线的解析式；(3)若点P是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点D，当的值最大时，求此时点P的坐标及的值．14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上，．经过点O，A的抛物线L：交AB于点C，点C的横坐标为1．点P在线段AB上，当点P与点C不重合时，过点P作轴，与抛物线交于点Q.以PQ为边向右侧作矩形，且．设点P的横坐标为m时，解答下列问题．(1)求此抛物线L的解析式；(2)当抛物线的顶点落在边上时，求m的值；(3)矩形为正方形时，直接写出m的值．15．已知，如图，抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过A、C两点．(1)直接写出抛物线的解析式；(2)P为抛物线上异于A、C的一点，若点P关于直线的对称点Q落在y轴上，求P点坐标；(3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于M、N两点．①求：的长度；②结合（2）的条件，直接写出的周长的最小值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学压轴题专练：二次函数综合（线段周长问题）》参考答案1．(1)(2)(3)存在，线段有最大值【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求函数解析式，配方法求最值等知识点，解答本题的关键是根据解析式设出点和点的坐标，列出的代数式．（1）将点坐标代入直线解析式，求出的值，然后把坐标代入二次函数解析式，求出，即可求得抛物线的解析式；（2）根据图象即可求解．（3）设动点的坐标为，点的坐标为，表示出的长度，然后利用配方法求出二次函数的最大值，并求出此时的值．【详解】（1）解：∵在直线上，∴，即，∵和在抛物线上，，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）解：∵点和点是抛物线和直线的交点，结合图象可得：的x的取值范围是．（3）解：存在，理由如下：设动点的坐标为，点的坐标为，，，∴抛物线开口向下，有最大值，∴当时，线段有最大值．2．(1)，(2)存在．点，(3)的周长的最大值为【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的面积综合题、二次函数的周长线段综合题，数形结合是解题的关键．（1）把点，分别代入函数解析式得到方程组，解方程组即可；（2）设点，根据题意得到，解一元二次方程即可得到答案；（3）求直线的解析式为．设点，则点，得到，，则的周长．根据二次函数的性质即可求出答案．【详解】（1）∵二次函数的图象经过点，，∴解得（2）存在．由（1），得，，∴二次函数的解析式为．令，得，解得，．∵二次函数的图象与x轴交于点A，B，∴点，，∴．设点，∴，∴，解得，，∴点，．（3）令，得，∴点，设直线AC的解析式为解得∴直线的解析式为．设点，则点，∴．∵点，∴．∵，∴．∵轴，∴∥轴，∴，∴，∴，∴的周长．∵∴当时，的周长有最大值，最大值为，∴的周长的最大值为．3．(1)(2)(3)点的坐标为和的最大值为【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．（1）先根据抛物线的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；（2）设点的坐标为，则，再根据建立方程，解方程求出的值，由此即可得；（3）设点的坐标为，则点的坐标为，先求出，再利用二次函数的性质求出最小值，由此即可得．【详解】（1）解：当时，，解得或，∵抛物线与轴交于点和点，在的左侧，∴，，当时，，∴，设直线的解析式为，将点，代入得：，解得，∴直线的解析式为．（2）解：设点的坐标为，由（1）可知，，∵点为直线上方抛物线上一动点，∴，∵过点作轴的平行线交于点，∴，∴，∵，∴，解得，∴，∴点的坐标为．（3）解：由题意，设点的坐标为，则点的坐标为，∴，∵，∴，∴，由二次函数的性质可知，当时，的值最大值，最大值为，此时，综上，点的坐标为和的最大值为．4．(1)(2)(3)点的坐标为或【分析】（1）先由一次函数求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；（2）过点P作轴交直线于点F，求出，得到，设点P的坐标为，则，得到，求出抛物线的对称轴为直线，得到，则，解方程求出答案；（3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况分别画出图形，分别进行解答即可．【详解】（1）解：当时，，解得，当时，，∴点，，经过点，，

解得抛物线的函数解析式为：（2）过点P作轴交直线于点F，∵∴，∵∴，∵，∴，∵，∴，设点P的坐标为，则，∴，∵，∴抛物线的对称轴为直线，∴，∴，解得（不合题意，舍去）∴（3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，如图，当点P在直线上方时，∵轴，∴，∵点，关于直线对称，∴，∴，∴，把代入得到，则，∴点P的纵坐标为1，把代入得到，解得（不合题意，舍去）∴，∴，∴点Q的坐标为，同理，如图，当点P在直线下方时，∵，∴点P的纵坐标为1，把代入得到，解得（不合题意，舍去），，∴，∴，∴点Q的坐标为，综上可知，点Q的坐标为或．【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、轴对称的性质、待定系数法求函数解析式、一次函数和二次函数的交点问题、解直角三角形等知识，综合性强，分情况讨论是解题的关键．5．(1)；(2)的最大值为4，此时点P的坐标为．【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点A坐标，进而求出直线解析式，设出点P坐标，进而表示出点K，点E的坐标，则可表示出，据此利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解；把代入中得：，∴，∴抛物线的函数表达式为（2）解：在中，当时，，∴，设直线的解析式为，则，∴，∴直线的解析式为，设，则，∴，∴，，∴，∵，∴当时，有最大值，最大值为4，∴的最大值为4，此时点P的坐标为．6．(1)(2)的最大值为，此时点的坐标为(3)点的坐标为或【分析】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合等等，正确作出辅助线并利用分类讨论的思想求解是解题的关键．（1）抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，待定系数法求解析式，即可求解；（2）先求得直线的解析式为．设，则，得出的关系式，进而得出当点，，三点在一条直线上时，取得最大值为，延长，交轴于点，得出为等腰直角三角形，进而得出点的坐标为；（3）根据平移得出新抛物线的解析式，设直线与轴交于点，证明，，根据相似三角形的性质得出的坐标，进而求得直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解．【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，，，该抛物线的函数表达式为；（2）设直线的解析式为，，，直线的解析式为．设，则，点是抛物线上位于直线下方一动点，，，当时，取得最大值为，此时点．点是轴上的一个动点，，当点，，三点在一条直线上时，取得最大值为，延长，交轴于点，如图，则轴，，，，，，，为等腰直角三角形，，为等腰直角三角形，，．当线段长度取得最大值时，的最大值为，此时点的坐标为；（3），将抛物线，先向右平移个单位长度，再像上平移个单位长度，得到新抛物线的解析式为．设直线与轴交于点，如图，，，，，，，，，，，，，，．，，，，，．设直线的解析式为，，，直线的解析式为．，，．点的坐标为或7．(1)抛物线的解析式为；(2)①当C最大时，点P的坐标为；②或．【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；（2）①设点P的横坐标为p，根据对称性得出点D的横坐标为，求出，，则周长，求出最大值即可；②求出直线的解析式为，直线的解析式为，得出平移后抛物线的解析式为，分两种情况：当抛物线平移后对称轴右侧部分与射线只有一个公共点时，当抛物线平移后对称轴左侧部分与射线只有一个公共点时，这个公共点在线段上，求出n的取值范围即可．【详解】（1）解：根据题意得，，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：①∵，∴；令，则，解得，，由（1）知，抛物线的对称轴为直线．设点P的横坐标为p，由对称性可知，点D的横坐标为，

当时，，∴，由题意可得：四边形是矩形，∴，∴，∵，，∴当时，C取最大值18，此时．∴当C最大时，点P的坐标为；②由①可知，，设的解析式为：，把，代入得：，解得：，∴直线的解析式为，同理由，可求得直线的解析式为，当时，，∴平移后抛物线的顶点坐标为，∴平移后抛物线的解析式为．

当抛物线平移后对称轴右侧部分与射线只有一个公共点时，，整理得，∴，解得：；当抛物线平移后对称轴左侧部分与射线只有一个公共点时，这个公共点在线段上(不包括点H)，当在平移后的抛物线上时，，解得(舍去)，，∴，综上可知，或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的最值问题，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．8．(1)(2)，【分析】（1）根据的坐标，待定系数法求解析式即可；（2）先求得点的坐标，根据抛物线的对称性可得，当△PAD周长确定最小值时，三点共线，进而根据勾股定理求两点坐标距离即可求得最小值，再求解直线的解析式即可得到的坐标．【详解】（1）解：在二次函数的图象上，解得抛物线的解析式为；（2）解：对称轴为如图，连接，关于轴对称的周长等于，当三点共线时，的周长取得最小值，最小值为由抛物线解析式，令，即，解得，，，∴，，的周长的最小值为，，设直线为，∴，解得：，∴直线为，当时，，∴．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数，勾股定理的应用，一次函数的解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．9．(1)(2)【分析】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质和判定，抛物线与坐标轴的交点，二次函数求最值．（1）首先求出，，然后证明出得到，然后利用待定系数法求解即可；（2）依据垂线段最短，利用等积法求解即可．【详解】（1）当时，，∴，即，∵，即∵∴，∵∴∴

∴即把点，点代入，得，

解得：∴；（2）当时，取最小值，∵，则，，解得：，∴的最小值为．10．(1)(2)【分析】本题主要考查了利用抛物线与x轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的性质及图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法得到关于b、c的方程，解方程即可解决问题（1）由抛物线与x轴交点，得到方程的两根，然后利用根与系数即可确定b、c的值，即可得出解析式，（2）点B是点A关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点M，要使的值最小，则点M就是BC与抛物线对称轴的交点，利用待定系数法求出直线的解析式，把抛物线对称轴代入即可得到点M的坐标；【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点．∴方程的两根为或，∴，，∴，，∴该抛物线的解析式（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点M为与对称轴的交点时，的值最小，设直线的解析式为，解得∶，∴直线的解析式为，∵抛物线的对称轴为直线，∴把代入，得．∴抛物线对称轴上存在点符合题意．11．(1)(2)①；②或【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数与不等式综合；（1）先求得点的坐标，进而由待定系数法即可求解；（2）①当时，即，则，即点，则，当时，，即点，则，即可求解；②当且，则，且，即可求解；当且，同理可解【详解】（1）抛物线与轴交于点，，抛物线与直线交于，两点，则点，则，解得：所以抛物线的表达式为：；（2）①由题意：点，当时，即，则，即点，则，当时，，即点，则，则；②点，当时，即，则，即点，则，当时，，即点，则，当且，即则，且，解得：，即；当且，即则，且，解得：，即；综上，或．12．(1)，(2)(3)F点坐标或F点坐标为【分析】（1）先求出，，将代入解方程组即可；（2）设，其中，求解，结合，再建立方程求解即可；（3）过点作轴于点G，过点E作于点H，由（1）得一次函数解析式为：，设，则，则，得到，可得或，得到为等腰直角三角形，在中，由勾股定理得，而，则在中，由勾股定理得，故当时，此时，；当时，此时，；【详解】（1）解：当，，解得：或，∴，当，∴，将代入得：，解得：；（2）解：由（1）得直线为，∵过点C的直线交线段于点M，∴设，其中，∵，∴，∵，∴，解得：，∴；（3）解：过点作轴于点G，过点E作于点H，由（1）得一次函数解析式为：，∵点在直线上，∴设，则，∴，∴，解得：或，∴或，∵，∴，而，∴，∵轴，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴在中，由勾股定理得，又轴，∴，∴在中，由勾股定理得，∴当时，此时，∴；当时，此时∴，综上所述：或；【点睛】本题考查了二次函数与面积的综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．13．(1)，(2)(3)最大值为，此时点【分析】（1）根据点B的坐标得出，则，即可得出点的坐标，结合当时，，可得点C的坐标；（2）将，，代入，利用待定系数法即可求解；（3）先求出直线的解析式，过点P作y轴的平行线交于点H，设点，则点，利用勾股定理可得，则，即可求解．【详解】（1）解：∵点B的坐标为，∴，∵，∴，∴，当时，，∴；（2）将，，代入得：，解得：，∴该抛物线的解析式为：；（3）设直线函数表达式为：，将点，代入得：，解得：，∴直线的表达式为：，过点P作y轴的平行线交于点H，∵，∴，∵轴，∴，则，由，得，设点，则点，∴，∵，∴当时，有最大值，其最大值为，此时点．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，涉及到一次函数，勾股定理，用二次函数关系表示是解题的关键．14．(1)抛物线L的解析式为(2)(3)m的值为或【分析】本题考查了待定系数法求函数