2025年中考数学解答题专题系列：一次函数综合

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025年中考数学解答题专题系列：一次函数综合1．如图，已知直线与坐标轴交于两点，直线与坐标轴交于两点，两直线的交点为．(1)求两直线的交点坐标；(2)轴上存在点T，使得，求出此时点T的坐标．2．小明用的练习本可以到甲超市购买，也可以到乙超市购买．已知两超市的标价都是每本1元，但甲超市的优惠条件是购买10本以上，从第11本开始按标价的7折卖；乙超市的优惠条件是每本都按标价的卖．(1)当小明要买20本时，到哪家超市购买较省钱？(2)写出在甲超市购买，总价（元）与购买本数x（本）的关系式．(3)小明现有31元，只去一个超市购买，最多可以买多少本练习本？3．已知甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，甲车先以60千米时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．甲、乙两车各自距A地的路程与行驶时间之间的函数关系如图所示．(1)求两车相遇后，甲车距A地的路程y与行驶时间x之间的函数关系式；(2)当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．4．对于三个数，用表示这三个数中最大数，例如：，解决问题：(1)如果，则的值为___________；(2)如果，求的取值范围(3)如图，在同一坐标系中画出了三个一次函数的图象：和请观察这三个函数的图象，①在图中画出对应的图象（加粗）；②求的最小值．5．如图所示，已知正比例函数与一次函数的交点P的坐标为，其中，满足，且与轴交于点；

(1)求点的坐标；(2)求直线与直线的函数解析式；(3)求的面积．6．某地出租车计费方法如图所示，表示行驶里程，（元）表示车费，请根据图象回答下面的问题：(1)该地出租车的起步价是______元；(2)当时，求关于的函数关系式；(3)若某乘客一次乘出租车的车费为40元，求这位乘客乘车的里程．7．在我国，函数的概念最早由清代数学家李善兰引入并翻译，李善兰著作《代数学》采用的就是函数的“解析式”定义，即“包含变量的表达式”，对于函数概念，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，而“函”同“含”，是包含之意．于是，李善兰将“包含变量的表达式”翻译为“函数”．如《代数学》第七卷中有“凡式中含天，为天之函数”（在古代以天、地、人、物四元表示未知数）．在初中阶段的函数学习中，我们历经“确定函数的表达式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．现在我们定义：若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．例如：．(1)若函数过点和，求k和b的值；(2)已知函数（a为常数），当时，y有最小值5，求a的值；(3)已知关于x的方程有三个解，求m的取值范围．8．已知直线和直线的图象如图所示，(1)求点A，B的坐标；(2)已知直线和直线相交于点C，求的面积．9．如图，函数的图象与轴，轴分别相交于点，，直线经过点和点，直线，相交于点．(1)求点的坐标；(2)求的面积(3)点在直线上，使得，求点的坐标；(4)在负半轴上是否存在一点使是以为腰的等腰三角形，若存在直接写出点坐标________10．在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，直线与轴交于点，点为折线段上的一个动点，设点的横坐标为，点与不重合，过点作垂直于点所在直线，交轴于点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连结．(1)求点的坐标；(2)当点落在直线上时，求的值；(3)设与重合部分图形的面积为，请写出与之间的函数关系式：(4)当点在线段上，且经过的某一个顶点和点的直线平分的一个内角或一个外角时，直接写出的值．11．如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，直线：分别与x轴、y轴交于点C、点D，直线与相交于点P．(1)求点P的坐标；(2)求的面积．12．如图在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．(1)求直线的函数解析式；(2)若为直线上一动点，的面积为3，求点的坐标．13．已知：如图，直线和直线相交于点，直线的图象分别与轴，轴相交于点，直线与轴相交于点．(1)求点的坐标；(2)点为线段上的一个动点，连接．①若，求点的坐标；②点是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．14．如图，一次函数的图象与x轴相交于点，的图象与x轴相交于点，这两个函数的图象相交于点A．(1)求k，b的值和点A的坐标；(2)结合图象，直接写出时x的取值范围；(3)求的面积．15．如图1，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别与轴、轴交于点、．(1)分别求出点、、的坐标；(2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式；(3)在（2）的条件下，设是直线上的点，在平面内是否存在其它点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《2025年中考数学解答题专题系列：一次函数综合》参考答案1．(1)(2)或【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．（1）联立两直线解析式求解即可；（2）设，利用，列式计算即可．【详解】（1）解：联立直线和直线可得：，解得：，将代入得：，∴两直线的交点坐标为．（2）解：∵，当时，，当时，，，，设，，，，，或，或，2．(1)小明要买20本时，到两家超市购买的费用相同(2)(3)小明用31元最多可买40本【分析】本题考查了一元一次方程的应用，函数关系式等知识；求出总价y甲与购买本数的关系式是解题的关键．（1）根据两家超市的优惠条件进行计算即可；（2）当时，，求解即可；（3）由（1）（2）知，超过17元时，甲商店每本显然低于乙店，故用31元应到甲商店买，当时，，求解即可．【详解】（1）解：甲超市收款为：（元），乙超市收款为：（元），∴小明要买20本时，到两家超市购买的费用相同；（2）解：当时，，即总价（元）与购买本数x（本）的关系式为；（3）解：由（1）（2）知，超过17元时，甲商店每本显然低于乙店，故用31元应到甲商店买，当时，，解得：，答：小明用31元最多可买40本．3．(1)(2)200千米【分析】本题主要考查了一次函数的应用，读懂图象，求出函数解析式是解答本题的关键．（1）首先根据图像和题意求出，，然后利用待定系数法求解即可；（2）根据题意求出乙车行完全程用时为3.6小时，然后将代入求解即可．【详解】（1）如图所示，

根据题意得，两人相遇的时间为，∴，∵甲车先以60千米/时的速度匀速行驶120千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶3小时到达B地∴，∴设相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式为则有：，解得，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；（2）甲乙两车相遇时，乙车行驶的路程为千米，∴乙车的速度为：（千米/时）∴乙车行完全程用时为：（时）∵∴当时，千米，∴当乙车到达A地时，甲车距A地的路程为200千米．4．(1)或(2)(3)①见解析②的最小值为【分析】此题考查的是新定义，一次函数的图象和性质，理解新定义是解题关键．（1）分情况讨论：，，分别解方程，然后进行验证即可；（2）根据新定义列不等式组求解即可；（3）①三个一次函数图象中，处在上方的直线就是对应的图象；②由图象可以知，的最小值为直线与的交点纵坐标，联立求交点即可得解．【详解】（1）解：，，解得，验证得，成立，，解得，验证得，成立，故答案为：或；（2）解：，解①得：，解②得：故不等式组的解为：；（3）解：①如图所示：②由图象可以知，的最小值为直线与的交点纵坐标，联立，解得：，的最小值为．5．(1)点P的坐标为(2)的函数解析式为；的函数解析式为(3)6【分析】本题考查了待定系数法发求函数解析式，一次函数综合，算术平方根和偶次方的非负性，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）根据算术平方根和偶次方的非负性解答即可；（2）利用待定系数法求函数解析式即可；（3）过点P作，交于N，求出和长，利用三角形的面积公式计算解题．【详解】（1）解：∵，∴，，解得，∴点P的坐标为（2）解：设的函数解析式为，代入点P，解得，∴的函数解析式为；设的函数解析式为，代入点P，点A得；，解得∴的函数解析式为；（3）解：过点P作，交于N，

∵P，∴，点Q为与轴的交点，∴Q，∴，．6．(1)(2)(3)【分析】本题考查分段函数的实际应用，涉及由图象获取信息、待定系数法确定函数表达式、已知函数值求自变量等，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键．（1）由图象即可得到答案；（2）利用待定系数法列方程组求解即可得到答案；（3）由题意可知，当时，列方程求解即可得到答案．【详解】（1）解：由图象可知，该地出租车的起步价是元，故答案为：；（2）解：当时，设关于的函数关系式为，将、代入得到，解得，当时，求关于的函数关系式为；（3）解：由（1）知起步价为元，，由（2）知，当时，求关于的函数关系式为，当时，，解得，答：若某乘客一次乘出租车的车费为40元，这位乘客乘车的里程是．7．(1)；(2)或8(3)【分析】本题考查了绝对值函数、分段函数，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论与数形结合的思想是解此题的关键．（1）利用待定系数法求解即可；（2）分三种请：①当时；②当时；③当时；分别求解即可；（3）设，，依题可知，将，的图象表示在同一坐标系中，结合函数图象即可得解．【详解】（1）解：将坐标和代入函数中，∴，解得：，（2）解：∵，当时，y有最小值为5，∴①当时，由图象可知时，y有最小值为5，，∴，解得：②当时，由图象可知时，y有最小值为0，不符合题意；③当时，由图象可知时，y有最小值为5，∴，解得：综上：或8（3）解：设，，依题可知：，如图所示，将，的图象表示在同一坐标系中，直线恒过定点，当直线过点时，此时恰有2个交点，此时，得：，∴m的取值范围为．8．(1)，(2)12【分析】本题考查了一次函数的几何综合，与坐标轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）观察图象，把代入，得出，把代入，得，即可作答．（2）建立方程组，算出点C的坐标，再结合三角形面积公式列式计算，即可作答．【详解】（1）解：∵∴当时，，解得，∴，当时，，∴．（2）解：依题意，，解得：，∴，∴．9．(1)(2)2(3)或(4)或【分析】（1）设直线的表达式：，将点和点代入解析式，解方程组，得到具体的解析式，联立已知构造方程组，解答即可．（2）连接，先求出点C的坐标，然后根据求出结果即可；（3）根据，分别用坐标方式表示三角形的面积，解答即可．（4）先根据两点间距离公式求出，分两种情况：当，当时，分别求出结果即可．【详解】（1）解：设直线的表达式：，将点和点代入，解得：，∴，联立：，解得，∴．（2）解：连接，如图所示：把代入得：，∴点C的坐标为，∴，∴．（3）解：连接，，如图所示：把代入得：，解得：，∴，∵，又∵，∴，∴或，当时，，此时点N的坐标为，当时，，此时点N的坐标为，综上分析可知：或．（4）解：∵，，∴，当时，∵点P在x轴的负半轴上，∴此时点P的坐标为；当时，过点M作轴于点Q，如图所示：∵，∴，∴，∵，轴，∴，∴，∴；综上分析可知：点P的坐标为或．【点睛】本题主要考查了函数交点坐标的计算，方程组的构造，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，两点间距离公式，熟练掌握待定系数法，全等的判定和性质是解题的关键．10．(1)(2)(3)；(4)或或【分析】（1）将直线与直线联立解方程组即可求解；（2）先求出，进而可求，，由，得，进而可得，，，，，由，即可求解；（3）分当时；当时；当时，画出图形，结合图形确定重合部分的图形，分别求解即可；（4）分以下三种情况：①当平分时，②当平分时，③当平分的外角时，结合题意画出图形，正确作出辅助线，根据线段和差列方程逐一求解即可．【详解】（1）解：直线与直线相交于点，，解得，将代入得，；（2）解：直线与轴交于点，当时，，，，，，直线与直线相交于点，，，，，，，，点的横坐标为，，，，，，，，当点落在直线上时，如图所示：，，，，；（3）解：由（2）可知：，当时，在内部，与重合部分图形的面积为的面积，如（2）题图所示，；当时，与重合部分图形的面积为四边形的面积，如图所示：，，，，，四边形为矩形，，，，，；当时，与重合部分图形的面积为的面积，如图所示：，，，，，，，，，同理可证，，，，，综上所述，；（4）解：①当平分时，如图所示：，，，，，，，，，即，；②当平分时，如图所示：作于，延长交于，由前面的过程同法可证明四边形是矩形，，，平分，，，，，同法可得，，即，；③当平分的外角时，如图所示：作于，同理可得，，而，，；综上所述，当点在线段上，且经过的某一个顶点和点的直线平分的一个内角或一个外角时，的值为或或．【点睛】本题是一次函数综合题，考查了求交点坐标，以及重叠部分的面积，角平分线的性质等，比较复杂，此类题要先求特殊位置时对应的m值，做到不重不漏，利用数形结合的思想，先确定重叠部分图形的形状，再求其面积．经过角平分线的点时同样也要充分利用数形结合的思想．11．(1)；(2)6．【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，求一次函数解析式，三角形面积等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）利用待定系数法求出直线的解析式为，联立两直线解析式得，求解即可；（2）求出点B、D的坐标，得到，再利用三角形面积公式即可求解．【详解】（1）解：∵直线交x轴于点，∴，解得：，∴直线的解析式为：，联立两直线解析式得，解得：，∴点P的坐标为；（2）解：∵直线与y轴交于点B，当时，，∴点B的坐标为，∵直线与y轴交于点D，当时，，∴点D的坐标为，∴，∴．12．(1)(2)点P的坐标为或【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键：（1）待定系数法求出函数解析式即可；（2）根据，求出点的坐标即可．【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为：，∵点，的坐标分别为，．把，分别代入，得，解得，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∴，当时，，解得：；当时，，解得：；∴点P的坐标为或．13．(1)(2)①；②或【分析】（1）根据两直线的交点的计算方法，联立方程组求解即可；（2）①根据题意得到，由直线与坐标的交点得到，，则，如图，过点作轴于点，则，且，则有，设，过点作轴于点，则，由面积的计算得到，即可求解；②第一种情况，过点作轴于点，当点落在轴正半轴上（记为点）时，如图，可证，得轴，点Q的纵坐标为5，代入计算即可；第二种情况，当点落在轴负半轴上（记为点）时，如图，由面积的计算得到，在中，由勾股定理，得，由此列式解得，即可求解．【详解】（1）解：依题可得：，解得：，．（2）解：①，，在中，令，则，，在中，令，则，，，如图，过点作轴于点，则，且，，∴，设，过点作轴于点，则，，解得，∴，∴Q的坐标为；②或．第一种情况，过点作轴于点，当点落在轴正半轴上（记为点）时，如图，，，由翻折得，在和中，，，，由翻折得，，轴，∴点Q的纵坐标为5，在中，当时，，；第二种情况，当点落在轴负半轴上（记为点）时，如图，过点作，垂足分别为点，由翻折得，，由（2）①知，即，，在中，由勾股定理，得，，解得，∴，．综上所述，点Q的坐标为或．【点睛】本题主要考查两直线交点与二元一次方程组，一次函数与几何图形面积的计算，折叠的性质，全等三角形的判定和性质等知识的综合，掌握一次函数图象的性质，数形结合，分类