人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形复习题-折叠问题（含详解）

第18章平行四边形复习题--折叠问题一、单选题1．如图，将▱ABCD沿对角线折叠，使点B落在B′处，若∠1=48°，∠2=32°，则∠B的度数为（）A． B． C． D．2．如图，已知矩形ABCD，将△BCD沿对角线BD折叠，记点C的对应点为，若∠AD＝20°，则∠BDC的度数为（）A．55° B．50° C．60° D．65°3．如图，菱形的对角线相交于点O，，，将菱形按如图所示的方式折叠，使点B与O重合，折痕为，则五边形的周长为（）A． B． C． D．4．如图，在正方形中，为的中点，为上一点（不与，重合），将沿所在的直线折叠，得到，连接．当时，的值是（

）A．1 B． C． D．5．如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在点E处．若，，则的度数为（

）

A． B． C． D．6．如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，则重叠部分的面积为（）A．12 B．10 C．8 D．67．如图，将边长为4，锐角为的菱形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点处，记为，则的长度为（

）A． B． C．3 D．8．如图，欧几里德在《几何原本》中记载了用这样一个图，一张边长为2的正方形纸片，先折出、的中点、，再折出线段，然后通过沿线段折叠使落在线段上，得到点的新位置点，并连接、．则此时的长是（）A． B． C． D．9．如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝4，AD＝2，把平行四边形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长度为（

）A． B． C． D．10．如图，矩形中，E是的中点，将沿直线折叠后得到．延长交于点F，若，，则的长为（

）

A．1.8 B．2 C． D．2.211．如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．12．如图，在正方形中，点在边上，点分别是的中点，连接，现将∆ADE沿所在的直线折叠，使得点的对应点D/落在线段上．以下四个结论：

①；②；③连接，则是等边三角形；④若正方形面积为12，则．其中正确的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题13．如图，将平行四边形ABCD先沿折叠，再沿折叠后，A点落在线段上的处，C点落在E处，连接，．若恰有，则．

14．如图已知矩形，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，延长交于点，连接．若点是的中点，，求的长是．15．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线上的点G处（不与B、D重合），折痕为，则；若，则的长为．

16．如图，在矩形纸片中，，，先将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使点A落在边上的点E处，折痕为，再沿过点F的直线折叠，使点D落在上的点M处，折痕为，则两点间的距离为.

17．如图，在平行四边形ABCD中，E是边上一点，将沿AE折叠至处，与交于点F，若，，则的度数为．18．矩形中，，，对角线、相交于点O，点E为上一点，将沿折叠，使点D落在对角线的点F处，则线段的长为．19．如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为．20．如图菱形的边长为4，，将菱形沿折叠，顶点C恰好落在边的中点G处，则．21．如图，将四边形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在上的点处．折痕为；再将，分别沿，折叠，此时点，落在上的同一点处，；若四边形是平行四边形，则的值为．

22．如图，矩形中，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为．23．菱形中，，E，F分别在，边上，将菱形沿折叠，点A，D的对应点分别是，D/，且经过B点，若，则．

24．已知正方形的边长为12，点P是边上的一个动点，连接，将沿折叠，使点A落在点上，延长交于E，当点E与的中点F的距离为2时，则此时的长为．三、解答题25．如图，把平行四边形纸片沿折叠，点C落在点处，与相交于点E．求证：26．如图1，在矩形纸片中，，，折叠纸片使B点落在边上的点E处，折痕为．过点E作交于F，连接．（1）求证：四边形为菱形；（2）当点E在边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．①当点Q与点C重合时（如图2），求菱形的边长②若限定P、Q分别在边、上移动，菱形的面积的最大值为______；最小值为______．27．如图，将平行四边形折叠，使得点落在点处，点落在点处，折痕为，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，，求平行四边形的面积．28．数学活动课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展活动．【操作】：操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；操作二：在上选一点（点不与重合），沿折叠，使点落在正方形内部处，把纸片展平，连结，延长交于点，连结．【琛究】：（1）如图①，当点在上时，______．（2）改变点在上位置，如图②，判断线段之间有怎样的数量关系，并说明理由．【应用】：若正方形纸片的边长为，当时，的长为______．29．图，在菱形中，，E，F分别是的中点，点G，H分别在上，且，分别沿折叠菱形，点B，D的对应点分别为点M，N，连接．

（1）问题解决：如图①，请判断线段的数量关系和位置关系：；（2）问题探究：如图②，当点M，N分别落在上时，请判断四边形的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：如图③，当点A，M，E恰好在一条直线上时，求的值．30．课本再现：（1）如图，在矩形中，，，是上不与和重合的一个动点，过点分别作和的垂线，垂足分别为，．求的值．如图1，连接，利用与的面积之和是矩形面积的，可求出的值，请你写出求解过程；知识应用：（2）如图2，在矩形中，点，分别在边，上，将矩形沿直线折叠，使点恰好与点重合，点落在点处．点为线段上一动点（不与点，重合），过点分别作直线，的垂线，垂足分别为和，以，为邻边作平行四边形，若，，求平行四边形的周长；（3）如图3，当点是等边外一点时，过点分别作直线、、的垂线、垂足分别为点、、．若，请直接写出的面积．答案一、单选题1．A【分析】由平行线的性质可得∠1=∠B'AB=48°，由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=24°，由三角形内角和定理即可求解．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠AED=∠B'AB=48°，∵将▱ABCD沿对角线AC折叠，∴∠BAC=∠B'AC=24°，∴∠B=180°-∠2-∠BAC=124°，故选：A．2．A【分析】由折叠的性质可知∠BDC=∠BD，故∠ADB=∠BD-∠AD=∠BDC-20°，根据∠ADB+∠BDC=90°，列方程求∠BDC．解：由折叠的性质，得∠BDC=∠BD，则∠ADB=∠BD-∠AD=∠BDC-20°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADB+∠BDC=90°，∴∠BDC-20°+∠BDC=90°，解得∠BDC=55°．故选：A．3．A【分析】根据菱形的性质、勾股定理求得，即可得是等边三角形，，根据等边三角形的性质和折叠的性质得和是等边三角形，即可得，，根据，得是的中位线，可得，即可得解：∵四边形是菱形，∴，，，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∵折叠，∴，，∴，，∴，，∴，，∴和是等边三角形，∴，，∵，，∴是的中位线，∴，∴五边形AEFCD的周长：，故选：A．4．B【分析】本题主要考查正方形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，掌握正方形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．根据正方形的性质，点是的中点，，可判定是等边三角形，由此可推出，，再根据含角的直角三角形的性质即可求解．解：∵四边形是正方形，∴，∵为的中点，∴，∵沿所在的直线折叠，得到，∴，∴，，∵，∴，∴是等边三角形，即，∵，∴，则，∴，在中，，∴，∵，∴，故选：．5．D【分析】根据折叠得出，，根据平行线的性质得出，得出，根据，求出，即可得出，根据三角形内角和定理求出结果即可．解：根据折叠可知，，，∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故选：D．6．B【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，折叠的性质；证明，可得，设，则，在中，由勾股定理构建方程求出，可得的长，然后利用三角形面积公式计算即可．解：由折叠得：，，在矩形中，，，∴，，又∵，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，∴，解得，∴，∴的面积．故选：B．7．B【分析】本题考查了折叠的性质、菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识．过作于点，先求出，，则点与重合，再由折叠的性质得，设，则，然后由勾股定理得，即可得出答案．解：如图，过作于点，，边长为4，锐角为的菱形，，，，，是的中点，，，，，，点与重合，，，由折叠的性质得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，故选：B．8．B【分析】本题考查了折叠问题，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是设，由，可列方程，解得即可得到答案．解：设，则，由题意可知：，是的中点，，，，，，，即，故选：B．9．B【分析】过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质可得△ABC≌△AEC≌△CDA，可以证明四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，可得AC是BE的垂直平分线，利用勾股定理可得AC的长，再根据平行四边形的面积和三角形的面积列式可得BF的长，根据勾股定理可得CF的长，进而可得DE的长．解：如图，过点D和点C作DM⊥AB于点M，CN⊥AB延长线于点N，由翻折对称性和平行四边形的性质可知：△ABC≌△AEC≌△CDA，∴AD＝BC＝CE，∠DAC＝∠BCA＝∠ECA，∴四边形ADEC是等腰梯形，连接BE，∵AB＝AE，CB＝CE，∴AC是BE的垂直平分线，∵，∴CN＝，BN＝1，∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，∴AC＝＝＝2，∴S平行四边形ABCD＝AB•DM＝AC•BF，∴4×＝2BF，∴BF＝，∴CF＝＝＝，在等腰梯形ADEC中，DE＝AC﹣2CF＝2﹣2×＝．故选：B．10．B【分析】连接，根据点E是的中点以及翻折的性质可以求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可证得；设，表示出、，然后在中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．解：如图，连接，

∵E是的中点，∴，∵沿折叠后得到，∴，，∴，∵在矩形中，∴，∴，∵在和中，∴，∴，设，则，，在中，，即，解得：，即；故选：B．11．D【分析】A.由折叠的性质可以知道和分别是和的平分线，同时是平角，所以可知，故选项A正确；B.由题意和折叠的性质可以知道、，就可以得到，选项B正确；C和D.过点作于点，，可得，．设，可以得到，．根据折叠的性质可得，根据勾股定理，求得，即可得到，，所以．故选项C正确，选项D错误．解：A.由折叠可知和分别是和的平分线．又，，故选项A正确．B.又点与点关于对称，，又，，故选项B正确．C和D.如答图，过点作于点．

，，，易知，，设，，，点是的中点，折叠后点落到上，点与点重合，．易知点共线，．，，解得．，，，故选项C正确，选项D错误．综上，故选：D．12．D【分析】根据折叠的性质得到，根据直角三角形的性质得到，故①正确；根据正方形的性质得到，，求得，故②正确；根据等边三角形的判定定理得到是等边三角形，故③正确；过作于，过作于，解直角三角形得到，故④正确．解：点是的中点，，将∆ADE沿所在的直线折叠，使得点的对应点落在线段上，，，，，故①正确；，，，四边形是正方形，，，，故②正确；如图所示，

，，，是等边三角形，故③正确；过作于，过作于，

，则，正方形面积为12，，，，，，，，，，，故④正确，故选：D．二、填空题13．【分析】由平行四边形的性质得，，由折叠得，，，则，所以，则，于是得，则，，即可求得，于是得到问题的答案．解：∵四边形是平行四边形，∴，，由折叠得，，，∴，∵，∴∠A/EF=90⁰，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．14．【分析】先证明，，再根据“”证明，根据全等三角形性质得出，从而得出，证明，根据勾股定理得出，求出即可解：将沿折叠后得到，∴，∴，，∵四边形是矩形，∴，∴，∵点是的中点，∴，∴，在和中，∴∴，∵点是的中点，∴，在矩形中，，又由折叠可知AB=GB，∴，∴，在中，，，∴，解得：，负值舍去，故答案为：．15．【分析】作于，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，根据勾股定理列出方程，解方程即可.解：解:作于,

由折叠的性质可知，，,∵四边形是菱形，∴，∴为等边三角形,，∴，设,则.在中,，在中,,即，解得,即.故答案为.16．【分析】判定四边形是正方形，即可得到，再根据，即可利用勾股定理求得的长．解：如图所示，连接，

由折叠可得，，又∵∠ABE=90⁰，∴四边形是矩形，又，∴四边形是正方形，，又，，由折叠可得，，中，，故答案为：．17．【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质是解题的关键；由平行四边形的性质得，由由折叠的性质得：，，，在根据三角形的内角和定理及角的和差即可解答；解：四边形是平行四边形，，，由折叠的性质得：，，，，故答案为：18．【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题关键．由矩形的性质和勾股定理，求得，进而得到，由折叠的性质可知，，，，设，利用勾股定理列方程，求出，再利用勾股定理，即可求出线段的长．解：四边形是矩形，，，，，，，在中，，，由折叠的性质可知，，，，，设，则，在中，，，解得：，即，，在中，，故答案为：19．【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，先根据等角对等边，得出，再设，在中，根据勾股定理列出关于的方程，求得的值即可．熟练掌握勾股定理及利用方程的思想是解题的关键．解：由折叠得，，，，，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得，∴的长为，故答案为：．20．【分析】本题考查了菱形的性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程是解题的关键．过点作于点，由菱形的性质和已知条件得出，再设，则，在中，依据勾股定理得到方程，求得的值即可得到的长．解：如图所示，过作，交的延长线于点，∵∠A=60⁰,AD∥BC,∴，设，则，∵是的中点，∴，在中，，解得，故答案为：1.2．21．3022．或1【分析】当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如答图所示．连结，先利用勾股定理计算出，根据折叠的性质得，而当为直角三角形时，只能得到′，所以点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，则，，可计算出，设，则，，然后在中运用勾股定理可计算出．②当点落在边上时，如答图所示．此时为正方形．解：当为直角三角形时，有两种情况：①当点落在矩形内部时，如图所示．连接，在中，，，∴，∵沿折叠，使点落在点处，∴，当为直角三角形时，只能得到，∴点、、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处，∴，，∴，设，则，，在中，∵，∴，解得，∴；②当点落在边上时，如图所示．此时为正方形，∴．故答案为：或．【点拨】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．23．【分析】延长交的延长线于点H，作交的延长线于点G，由菱形的性质得，则，所以，由，得，则，所以四边形是矩形，由折叠得，，所以，，则，设则可求得，所以则，，所以，可求得则即可求得，于是得到问题的答案．解：延长交的延长线于点H，作交的延长线于点G，则，

∵四边形是菱形，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴四边形是矩形，由折叠得，，∴，∴，∴设则∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．24．2.4或6【分析】分两种情况讨论：E点在线段上和E点在线段上.接，先根据折叠的性质和HL得到，.设，则，，求出，把用含有x的式子表示出来.中，根据勾股定理列方程求出x即可.解：①如图1，当E点在线段上时，连接,∵四边形是正方形，∵折叠后，又（HL）∴

设,则，在Rt中，

解得②如图2，E点在线段上时，连接,

设,则，在Rt中解得

故答案为：2.4或6三、解答题25．解：证明：∵四边形为平行四边形，∴，，∵沿折叠，点C落在点处，∴，，在和中∴，∴．26．解：（1）证明：∵折叠纸片使B点落在边上的E处，折痕为，∴点B与点E关