贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高一下学期3月统考数学试卷（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1贵州省六盘水市水城区2024-2025学年高一下学期3月统考数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.2.已知集合，则集合中的元素个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】由，由，故，故中的元素个数是4.故选：C.3.若向量，且，则（）A.28 B. C. D.【答案】D【解析】由向量，因为，可得，即，解得.故选：D.4.已知点是线段上靠近点的一个三等分点，则点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得，，设，则，所以，即，解得.故选：B.5.如图1，这是杭州第19届亚运会会徽，名为“潮涌”.如图2，这是“潮涌”的平面图，若，则图形的面积与扇形的面积的比值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设扇形的圆心角为，可得扇形的面积为，扇形的面积为，因为，所以，即，所以图形的面积与扇形的面积的比值.故选：D.6.已知向量，且的夹角为锐角，则的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由夹角公式，的夹角为锐角，即，即，解得；当共线时，，解得，此时满足，此时两向量夹角为，于是的夹角为锐角时，.故选：A.7.某企业研发一款新产品，计划第一年投入研发经费10万元，此后每年投入的研发经费比上一年增长.若第年投入的研发经费首次超过20万元，则（）（参考数据：）A.4 B.5 C.7 D.8【答案】B【解析】依题意可得第年投入的研发经费为万元，令，即，所以，所以，又，所以的最小值为，即第年投入的研发经费首次超过20万元.故选：B.8.若向量满足，且向量与向量的夹角为，则的最大值是（）A. B.40 C.64 D.【答案】D【解析】因为，且向量与向量的夹角为，设，其中，则，其中，因为，当时，有最大值.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.我们把既有大小又有方向的量叫作向量 B.单位向量是相等向量C.零向量与任意向量平行 D.向量的模可以比较大小【答案】ACD【解析】对于A，我们把既有大小又有方向的量叫作向量，A正确，对于B，单位向量是长度为1的向量，方向不确定，故不一定是相等向量，B错误，对于C，零向量与任意向量平行，C正确，对于D，向量的模长是实数，故可以比较大小，D正确.故选：ACD.10.已知向量和均不共线，且，则向量可以是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】由题意得，不共线.A∵，∴不共线，A正确.B.∵，∴，故为共线向量，B错误.C.∵，∴不共线，C正确.D.∵，∴，故为共线向量，D错误.故选：AC.11.已知函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（）A.B.的图象关于直线对称C.的值域为D.在上单调递减【答案】ABD【解析】对于A：因为，因为函数的最小正周期为；则函数的最小正周期为，所以的最小正周期为，所以，则，此时，则，符合题意，故A正确；对于B：因为，则，所以的图象关于直线对称，故B正确；对于C：因为的最小正周期为，所以只需研究函数在上的值域即可，当，则，此时，则，所以，所以；即值域为，故C错误；对于D：当时，则，因为在上单调递减，所以在上单调递减，故D正确.

故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是__________.【答案】【解析】∵向量，，则，，所以在向量方向上的投影向量为.13.已知为正六边形的中心，且，则__________.【答案】【解析】由正六边形性质可知，为正三角形，且，所以，，所以.14.已知函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则当时，_______．【答案】【解析】令，则可得，因为函数是定义在R上的偶函数，所以，又因为，所以，所以，所以为函数的周期，当时，，由题意可得.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量满足.（1）若向量的夹角为，求的值；（2）若，求向量的坐标.解：（1）因为，且向量夹角为，则，则.（2）设，因为，且，则，解得或，所以或.16.已知函数（，且），且．（1）求的值；（2）判断的奇偶性并证明你的结论；（3）若不等式恒成立，求t的取值范围．解：（1）函数中，由，得，而，所以.（2）由（1）知，函数的定义域为R，，所以是R上的奇函数.（3）函数都是R上的增函数，则是R上的增函数，不等式，因此，即，则，解，得或；解，即，得.于是，所以t的取值范围是.17.如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，在线段上.（1）若是线段的中点，且，求；（2）若是线段的中点，且，求梯形的面积；（3）若，且，求的值.解：（1）取的三等分点（靠近），连接，易知四边形为平行四边形，所以，所以，在中，，所以，所以为直角三角形，，所以，所以，，在中，，由余弦定理可得：，所以，即.（2）以为原点，所以直线为轴，过且垂直的直线为轴，建立如图所示的坐标系：设等腰梯形的高为，则有，所以，所以，解得，所以.（3）当时，由（2）可知，所以，，，设，则，所以，解得，所以，所以.18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.①若，求的值；②若对任意的恒成立，求的取值范围.解：（1）由得，，∵，∴，.由得，，∴，故，设函数的最小正周期为，由图象得，，∴，故，∴.（2）①由题意得，.∵，∴，，∴.②∵，∴，∴，故.∵对任意的恒成立，∴恒成立，即，∴，即，∴的取值范围是.19.在平行四边形中，与交于点.（1）若，求