贵州省六盘水市2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试题PAGEPAGE1贵州省六盘水市2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.以下选项中，都是向量的是（）A.时间、海拔 B.质量、位移C.加速度、体积 D.浮力、速度【答案】D【解析】时间、海拔、质量、体积均只有大小，没有方向，不是向量.位移，加速度，浮力、速度既有大小又有方向，向量.故选：D.2.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为，，所以，，故.故选：C.3.下列命题正确的是（）A.平面内所有的单位向量都相等 B.模为0的向量与任意非零向量共线C.平行向量不一定是共线向量 D.若满足，且同向，则【答案】B【解析】对于A，单位向量的模为1，方向不一定相同，A错误；对于B，模为0的向量与任意非零向量共线，B正确；对于C，平行向量一定是共线向量，C错误；对于D，向量的模能比较大小，而向量不能比较大小，D错误.故选：B.4.如图，已知为平行四边形内一点，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，∴.故选：A.5.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故选：C.6.已知幂函数的图象经过点与点，若，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设，因为幂函数的图象经过点与点，所以，解得，所以，所以.故选：C.7.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O是某窗的平面图，O为圆心，点A在圆O的圆周上，点P是圆O内部一点，若，且，则的最小值是（）A.3 B.4 C.9 D.16【答案】A【解析】因为，所以，所以，即，则．因为点P是圆O内部一点，所以，所以，则，当且仅当时，等号成立，故的最小值是3.故选：A.8.已知函数满足，，且，则的值为（）A.96 B. C.102 D.【答案】C【解析】根据题意，函数满足，可得函数关于点成中心对称，又由函数满足，即，所以函数关于对称，所以函数既关于成轴对称，又关于点成中心对称，所以，且函数的周期，又因为，所以，可得，所以，.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.对任意向量、，下列关系式中恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】对A：根据数量积的运算律可得：恒成立，A正确；对B：根据，可得恒成立，B正确；对C：，其中为的夹角，∵，可得，∴恒成立，C正确；对D：根据向量减法可得：，当且仅当同向或中有零向量时等号成立，故不恒成立，D错误.故选：ABC.10.已知正实数满足，则（）A.的最大值为 B.的最小值为6C.的最大值为4 D.的最小值为【答案】ACD【解析】对于A，因为，所以，因为为正实数，所以，解得，由二次函数的性质可知:当时，的最大值为，故A正确；对于B，，当且仅当时取等号，故B错误；对于C，正实数，，当且仅当时取等号，所以的最大值为4，故C正确；对于D，因为，所以，当且仅当，即时取等，故D正确.故选：ACD.11.已知函数为奇函数，则下列说法正确的是（）A.B.若，如果当时，函数的值域是，则C.若，则不等式的解集为D.若，如果存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是【答案】AD【解析】对于A：因为为奇函数，所以，则，因为，所以，A正确.对于B：令，则由，得.因为在上单调递减，所以当时，在上是严格增函数，所以，所以，B错误.对于C：当时，，则由，得，所以，解得，C错误.对于D：当时，在上单调递减，所以在上的取值范围是.由题意知与的交集为非空，所以，解得，D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则_____．【答案】1【解析】由得，则.13.艾宾浩斯遗忘曲线是1885年由艾宾浩斯提出的，其描述了人类大脑对新事物遗忘的规律，该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响.设初次记忆后经过了小时，那么记忆率近似的满足，.某学生学习一段课文，若在学习后不复习，1天后记忆率为，6天后记忆率为，则该学生在学习后不复习，4小时后记忆率约为______（保留两位小数）【答案】【解析】由题可，所以.故4小时后的记忆率约为.14.已知函数，，对任意的a，b，，都存在以，，为三边的三角形，则称该函数为三角形函数.若函数是三角形函数，则实数m的取值范围是______.【答案】【解析】当时，；当时，，令，则，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，又，所以，即.不妨设，则对任意的a，b，，都存在以，，为三边的三角形，等价于对任意的a，b，，都有，等价于.当，即时，，即，所以；当，即时，，即，所以；当，即时，，即，所以综上，实数m的取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15.已知向量，，，且.（1）求在上的投影向量；（2）求与的夹角.解：（1）因为向量，，，且，所以在上的投影向量为.（2）因为向量，，，且，所以，所以，记与的夹角为，则，又，所以与的夹角为.16.已知函数是定义在上的偶函数，当时，．（1）求函数的解析式；（2）求不等式的解集．解：（1）若，则，由题意可得，又因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以，所以.（2）当时，令，即，解得，则；当时，令，即，解得，则．综上所述，不等式的解集为．17.给出以下三个条件：①直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，②，③对任意的．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．已知函数，_____．（1）求的表达式；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数解，求实数的取值范围．解：（1）．（1）若选条件①，直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则，解得，则．若选条件②，则，则．因此．又，所以，则．若选条件③，对任意的，则有，解得，又，所以，则．（2）将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，再将的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到图象．由，得．即函数的单调递增区间为，又，所以函数在上单调递增，在上单调递减；因为，因为关于的方程在区间上有且只有一个实数解，所以函数的图象与直线在区间上有且只有一个交点，则或．18.设为的重心，过作直线分别交线段于（不与顶点重合）．若．（1）求的值；（2）求的取值范围．解：（1）连接并延长交于．则是的中点，如图所示：设，则，．又，，．又三点共线，故存在实数，使，，即，由不共线可得消去得：，即．（2）因，解得，设，，则当时，取最大值；当或2时，等于2，故的取值范围为．19.若对定义域内任意，都有，则称函数为“步长”增函数．（1）已知函数，判断是否为“2步长”增函数，并说明理由；（2）若函数是“步长”增函数，求的最小值；（3）若函数为上的“2024步长”增函数，求实数的取值范围．解：（1）函数是“2步长”增函数．理由如下：因为的定义域为