高考数学复习第八章立体几何初步第2节空间几何体的表面积与体积

第2节空间几何体表面积与体积1/33最新考纲了解球、棱柱、棱锥、台表面积和体积计算公式.2/331.多面体表(侧)面积

多面体各个面都是平面，则多面体侧面积就是全部侧面面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.知

识

梳

理3/332.圆柱、圆锥、圆台侧面展开图及侧面积公式2πrl

圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝_______S圆锥侧＝______S圆台侧＝_________πrlπ(r1＋r2)l4/333.空间几何体表面积与体积公式S底h4πR25/336/331.思索辨析(在括号内打“√”或“×”)解析(1)锥体体积等于底面面积与高之积三分之一，故不正确.(2)球体积之比等于半径比立方，故不正确.答案(1)×

(2)×

(3)√

(4)√诊

断

自

测7/332.(必修2P27练习1改编)已知圆锥表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆半径为(

)解析由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm).答案

B8/33答案

A9/33答案B10/335.(·天津河西区质检)已知一个四棱锥底面是平行四边形，该四棱锥三视图如图所表示(单位：m)，则该四棱锥体积为________m3.答案

211/33考点一空间几何体表面积【例1】(1)(·全国Ⅱ卷)如图是由圆柱与圆锥组合而成几何体三视图，则该几何体表面积为(

)A.20π B.24π C.28π D.32π12/33(2)(·全国Ⅰ卷)某多面体三视图如图所表示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体各个面中有若干个是梯形，这些梯形面积之和为(

)A.10 B.12 C.14 D.1613/33解析(1)几何体是圆锥与圆柱组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4.14/33答案(1)C

(2)B15/33规律方法1.由几何体三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间位置关系及度量大小.(2)还原几何体直观图，套用对应面积公式.2.(1)多面体表面积是各个面面积之和；组合体表面积注意衔接部分处理.(2)旋转体表面积问题注意其侧面展开图应用.16/33【训练1】(1)某几何体三视图如图所表示，则该几何体表面积等于(

)17/33A.17π B.18π C.20π D.28π18/33解析

(1)由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所表示.19/33答案

(1)B

(2)A20/33考点二空间几何体体积21/33(2)(·山东卷)一个由半球和四棱锥组成几何体，其三视图如图所表示.则该几何体体积为(

)22/33答案

(1)C

(2)C23/33规律方法1.求三棱锥体积：等体积转化是惯用方法，转换标准是其高易求，底面放在已知几何体某一面上.2.求不规则几何体体积：惯用分割或补形思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解.3.若以三视图形式给出几何体，则应先依据三视图得到几何体直观图，然后依据条件求解.24/33【训练2】(1)某几何体三视图如图所表示，且该几何体体积是3，则正视图中x值是(

)(2)(·郑州质检)已知三棱锥四个面都是腰长为2等腰三角形，该三棱锥正视图如图所表示，则该三棱锥体积是________.25/3326/33考点三多面体与球切、接问题(典例迁移)【例3】

(经典母题)(·全国Ⅲ卷)在封闭直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V最大值是(

)27/33解析由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10.要使球体积V最大，则球与直三棱柱部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC内切圆半径为r.球与三棱柱上、下底面相切时，球半径R最大.答案

B28/33【迁移探究

】

若本例中条件变为“直三棱柱ABC－A1B1C16个顶点都在球O球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O表面积.

解将直三棱柱补形为长方体ABEC－A1B1E1C1，

则球O是长方体ABEC－A1B1E1C1外接球.

∴体对角线BC1长为球O直径.故S球＝4πR2＝169π.29/33规律方法1.与球相关组合体问题，一个是内切，一个是外接.球与旋转体组合通常是作它们轴截面解题，球与多面体组合，经过多面体一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题.2.若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥三条侧棱两两垂直，可结构长方体或正方体确定直径处理外接问题.30/33【训练3】(1)(·全国Ⅰ卷)已知三棱锥S－ABC全部顶点都在球O球面上，SC是球O直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC体积为9.则球O表面积为________. (2)(·佛山一中月考)已知A，B是球O球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上动点.若三棱锥O－ABC体积最大值为36，则球O表面积为(

) A.36π B.64π C.144π D.256π31/33解析(1)如图，连接OA，OB，因为SA＝AC，SB＝BC，所以OA⊥SC，O