高考数学复习第七章数列与数学归纳法第5节直接证明与间接证明(供选用)理

第5节直接证实与间接证实(供选取)最新考纲1.了解直接证实两种基本方法——分析法和综正当；了解分析法和综正当思索过程和特点；2.了解间接证实一个基本方法——反证法；了解反证法思索过程和特点.1/281.直接证实知

识

梳

理充分内容综正当分析法定义利用已知条件和一些数学定义、公理、定理等，经过一系列推理论证，最终推导出所要证实结论成立从要证实结论出发，逐步寻求使它成立______条件，直到最终把要证实结论归结为判定一个显著成立条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止实质由因导果执果索因2/283/282.间接证实间接证实是不一样于直接证实又一类证实方法，反证法是一个惯用间接证实方法.(1)反证法定义：假设原命题________(即在原命题条件下，结论不成立)，经过正确推理，最终得出矛盾，所以说明假设错误，从而证实________________证实方法.(2)用反证法证实普通步骤：①反设——假设命题结论不成立；②归谬——依据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而必定原命题结论成立.不成立原命题成立4/28[惯用结论与微点提醒]分析法与综正当相辅相成，对较复杂问题，经常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间关系，找到处理问题思绪，再利用综正当证实，或者在证实时将两种方法交叉使用.5/28诊断自测1.思索辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)分析法是从要证实结论出发，逐步寻找使结论成立充要条件.(

)(2)用反证法证实结论“a>b”时，应假设“a<b”.(

)(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.(

)(4)在处理问题时，惯用分析法寻找解题思绪与方法，再用综正当展现处理问题过程.(

)6/28解析(1)分析法是从要证实结论出发，逐步寻找使结论成立充分条件.(2)应假设“a≤b”.(3)反证法只否定结论.答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√7/28解析

a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0.答案

D8/283.若a，b，c为实数，且a<b<0，则以下命题正确是(

) A.ac2<bc2 B.a2>ab>b2解析a2－ab＝a(a－b)，∵a<b<0，∴a－b<0，∴a2－ab>0，∴a2>ab.①又ab－b2＝b(a－b)>0，∴ab>b2，②由①②得a2>ab>b2.答案B9/284.用反证法证实命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0最少有一个实根”时，要做假设是(

) A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根10/28解析因为“方程x3＋ax＋b＝0最少有一个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0实根个数大于或等于1”，所以要做假设是“方程x3＋ax＋b＝0没有实根”.答案A11/285.在△ABC中，三个内角A，B，C对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC形状为________.∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，12/286.(·绍兴检测)完成反证法证题全过程.设a1，a2，…，a7是1，2，…，7一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)·(a2－2)·…·(a7－7)为偶数.

证实：假设p为奇数，则a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数.因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝____________＝____________＝0.但0≠奇数，这一矛盾说明p为偶数.13/28解析∵a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，∴(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)也为奇数，即(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)为奇数.又∵a1，a2，…，a7是1，2，…，7一个排列，∴a1＋a2＋…＋a7＝1＋2＋…＋7，故上式为0，∴奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0.答案

(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)

(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)14/28考点一综正当应用【例1】

已知a，b，c>0，a＋b＋c＝1.求证：15/2816/2817/28规律方法用综正当证题是从已知条件出发，逐步推向结论，综正当适用范围：(1)定义明确问题，如证实函数单调性、奇偶性、求证无条件等式或不等式；(2)已知条件明确，而且轻易经过分析和应用条件逐步迫近结论题型.在使用综正当证实时，易出现错误是因果关系不明确，逻辑表示混乱.18/28【训练1】

设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证实：证实

(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设知(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.19/2820/28考点二分析法应用21/28规律方法

(1)逆向思索是用分析法证题主要思想，经过反推，逐步寻找使结论成立充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解关键.(2)证实较复杂问题时，能够采取两头凑方法，即经过分析法找出某个与结论等价(或充分)中间结论，然后经过综正当证实这个中间结论，从而使原命题得证.22/28只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，23/28由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立.于是原等式成立.24/28考点三反证法应用25/2826/28规律方法

(1)当一个命题结论是以“至多”、“最少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确推理下得出矛盾，矛盾能够是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.(2)用反证法证实不等式要把握三点：①必须否定结论；②必须从否定结论进行推理；③推导出矛盾必须是显著.27/28【训练3】

(·郑州一中月考)已知a1＋a2＋a3＋a4>100，求证：a1，a2，a3，a4中最少有一个数大于25.证实假设a1，a2，a3，a4均