高考数学总复习7.1不等关系与不等式

§7.1不等关系与不等式[考纲要求]

1.了解现实世界和日常生活中不等关系；2.了解不等式(组)实际背景；3.掌握不等式性质及应用．1/462/462．不等式基本性质3/464/465/466/467/46【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

(5)√8/46【答案】

B9/46A．①②

B．②③C．①④

D．①③【答案】

D10/463．若a，b∈R，若a＋|b|＜0，则以下不等式中正确是(

)A．a－b＞0B．a3＋b3＞0C．a2－b2＜0D．a＋b＜0【解析】

由a＋|b|＜0知，a＜0，且|a|＞|b|，当b≥0时，a＋b＜0成立，当b＜0时，a＋b＜0成立，∴a＋b＜0成立．【答案】

D11/464．(教材改编)以下各组代数式关系正确是________．①x2＋5x＋6＜2x2＋5x＋9；②(x－3)2＜(x－2)(x－4)；③当x＞1时，x3＞x2－x＋1；④x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．【解析】

①2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0，即x2＋5x＋6＜2x2＋5x＋9.12/46②(x－2)(x－4)－(x－3)2＝x2－6x＋8－(x2－6x＋9)＝－1＜0，即(x－2)(x－4)＜(x－3)2.③当x＞1时，x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)＞0，即x3＞x2－x＋1.④x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)＋1＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，即x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)．【答案】

①③④13/4614/4615/46题型一比较两个数(式)大小【例1】

(1)(·长春模拟)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c大小关系是(

)A．c≥b＞a

B．a＞c≥bC．c＞b＞aD．a＞c＞b16/4617/4618/46【答案】

(1)A

(2)B19/46【方法规律】

比较大小惯用方法(1)作差法：普通步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采取配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也能够先平方再作差．20/46(2)作商法：普通步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④结论．(3)函数单调性法：将要比较两个数作为一个函数两个函数值，依据函数单调性得出大小关系．21/46(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b大小关系为________．22/4623/4624/46【答案】

(1)B

(2)a＜b25/4626/46【解析】

只有在a＞b＞0时，A才有意义，A错；B选项需要a，b同正或同负，B错；C只有a＞0时正确；因为a≠b，所以D正确．【答案】

D【方法规律】

处理这类问题惯用两种方法：一是直接使用不等式性质逐一验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式性质判断不等式是否成立时要尤其注意前提条件．27/4628/46【答案】

C29/46题型三不等式性质应用【例3】

已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y取值范围是________，3x＋2y取值范围是________．【解析】

∵－1＜x＜4，2＜y＜3.∴－3＜－y＜－2，∴－4＜x－y＜2.由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，∴1＜3x＋2y＜18.【答案】

(－4，2)

(1，18)30/46探究1

将本例条件改为－1＜x＜y＜3，求x－y取值范围．【解析】

∵－1＜x＜3，－1＜y＜3，∴－3＜－y＜1，∴－4＜x－y＜4.①又∵x＜y，∴x－y＜0，②由①②得－4＜x－y＜0.故x－y取值范围为(－4，0)．31/46探究2

若将本例条件改为“－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3”，求3x＋2y取值范围．32/4633/46【方法规律】

由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)取值范围，可利用待定系数法处理，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)(或其它形式)，经过恒等变形求得m，n值，再利用不等式同向可加和同向同正可乘性质求得F(x，y)取值范围．34/4635/4636/4637/46结构函数y＝xc，∵c＜0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，又a＞b＞1，∴ac＜bc，知②正确；∵a＞b＞1，c＜0，∴a－c＞b－c＞1，∴logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，知③正确．【答案】

(1)C

(2)D38/46易错警示系列7不等式变形中扩大变量范围致误【典例】

设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)取值范围是________．【易错分析】

解题中屡次使用同向不等式可加性，先求出a，b范围，再求f(－2)＝4a－2b范围，造成变量