高考数学复习第八章立体几何初步第5节垂直关系

第5节垂直关系1/45最新考纲1.以立体几何定义、公理和定理为出发点，认识和了解空间中线面垂直相关性质与判定定理；2.能利用公理、定理和已取得结论证实一些空间图形垂直关系简单命题.2/451.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直定义

假如一条直线和一个平面内______一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.知

识

梳

理任何3/45(2)判定定理与性质定理两条相交直线l⊥αl⊥bα⊥αα

αb

αb⊥α平行4/452.直线和平面所成角 (1)定义：一条斜线和它在平面上______所成______叫作这条直线和这个平面所成角，一条直线垂直于平面，则它们所成角是______；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成角是0°角. (2)范围：_________.射影直角锐角5/453.二面角 (1)定义：从一条直线出发____________所组成图形叫作二面角； (2)二面角平面角：以二面角棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作__________两条射线，这两条射线所成角叫作二面角平面角. (3)二面角范围：[0，π].4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直定义

两个平面相交，假如它们所成二面角是__________，就说这两个平面相互垂直.两个半平面垂直于棱直二面角6/45(2)判定定理与性质定理

文字语言图形表示符号表示判定定理假如一个平面经过另一个平面一条______，那么这两个平面相互垂直性质定理假如两个平面相互垂直，则在一个平面内垂直于它们______直线垂直于另一个平面垂线交线l⊥αl

βl⊥αl

βα⊥βα∩β7/45[惯用结论与微点提醒]1.两个主要结论 (1)若两平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内任何一条直线(证实线线垂直一个主要方法).2.使用线面垂直定义和线面垂直判定定理，不要误解为“假如一条直线垂直于平面内无数条直线，就垂直于这个平面”.8/453.线线、线面、面面垂直间转化9/451.思索辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.(

) (2)垂直于同一个平面两平面平行.(

) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内任意一条直线垂直于另一个平面.(

) (4)若平面α内一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β.(

)诊

断

自

测10/45解析(1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则有l⊥α或l与α斜交或l

α或l∥α，故(1)错误.(2)垂直于同一个平面两个平面平行或相交，故(2)错误.(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误.(4)若平面α内一条直线垂直于平面β内全部直线，则α⊥β，故(4)错误.答案(1)×

(2)×

(3)×

(4)×11/452.(教材习题改编)以下命题中不正确是(

) A.假如平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β B.假如平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C.假如平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D.假如平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

解析依据面面垂直性质，A不正确，直线l∥平面β或l

β或直线l与β相交.

答案

A12/453.(·湖南六校联考)已知m和n是两条不一样直线，α和β是两个不重合平面，下面给出条件中一定能推出m⊥β是(

) A.α⊥β且m

α B.m⊥n且n∥β C.m∥n且n⊥β D.m⊥n且α∥β

解析由线线平行性质传递性和线面垂直判定定理，可知C正确.

答案

C13/454.(·全国Ⅲ卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD中点，则(

) A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC解析如图，由题设知，A1B1⊥平面BCC1B1且BC1

平面BCC1B1，从而A1B1⊥BC1.又B1C⊥BC1，且A1B1∩B1C＝B1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E

平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1.答案C14/455.边长为a正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC长为________.解析如图所表示，取BD中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′－BD－C平面角，即∠A′OC＝90°.答案

a15/45考点一线面垂直判定与性质【例1】

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC中点.证实： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE.16/45证实(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD

平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE

平面PAC，∴CD⊥AE.17/45(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD

平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB

平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，又PD

平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.18/45规律方法

1.证实直线和平面垂直惯用方法有：(1)判定定理；(2)垂直于平面传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)；(3)面面平行性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4)面面垂直性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l

β⇒l⊥α).2.证实线面垂直关键是证线线垂直，而证实线线垂直则需借助线面垂直性质.所以，判定定理与性质定理合理转化是证实线面垂直基本思想.19/4520/45证实因为AB为圆O直径，所以AC⊥CB.由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos30°＝3，所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AB.因为PD⊥平面ABC，CD

平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AB＝D得，CD⊥平面PAB，又PA

平面PAB，所以PA⊥CD.21/45考点二面面垂直判定与性质【例2】

如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC中点，求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD.22/45证实(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面交线AD，PA

平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE

平面PAD，AD

平面PAD，∴BE∥平面PAD.23/45(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD

平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD

平面PAD，∴CD⊥平面PAD，又PD

平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD

平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.24/45规律方法

1.证实平面和平面垂直方法：(1)面面垂直定义；(2)面面垂直判定定理.2.已知两平面垂直时，普通要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线垂线，转化为线面垂直，然后深入转化为线线垂直.25/45【训练2】

(·北京卷)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D为线段AC中点，E为线段PC上一点. (1)求证：PA⊥BD；(2)求证：平面BDE⊥平面PAC；(3)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E－BCD体积.26/45(1)证实

∵PA⊥AB，PA⊥BC，AB

平面ABC，BC

平面ABC，且AB∩BC＝B，∴PA⊥平面ABC，又BD

平面ABC，∴PA⊥BD.(2)证实∵AB＝BC，D是AC中点，∴BD⊥AC.由(1)知PA⊥平面ABC，∵PA

平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.∵平面PAC∩平面ABC＝AC，BD

平面ABC，BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC.∵BD

平面BDE，∴平面BDE⊥平面PAC，27/45(3)解∵PA∥平面BDE，又平面BDE∩平面PAC＝DE，PA

平面PAC，∴PA∥DE.由(1)知PA⊥平面ABC，∴DE⊥平面ABC.∵D是AC中点，∴E为PC中点，28/45考点三平行与垂直综合问题(多维探究)命题角度1多面体中平行与垂直关系证实【例3－1】

(·山东卷)由四棱柱ABCD－A1B1C1D1截去三棱锥C1－B1CD1后得到几何体如图所表示.四边形ABCD为正方形，O为AC与BD交点，E为AD中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证实：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD中点，证实：平面A1EM⊥平面B1CD1.29/45证实(1)取B1D1中点O1，连接CO1，A1O1，因为ABCD－A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，所以四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，又O1C

平面B1CD1，A1O

平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.30/45(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD中点，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD

平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E，EM

平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1

平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.31/45规律方法1.三种垂直综合问题，普通经过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间转化.2.垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直性质及判定综合应用.32/45命题角度2平行垂直中探索性问题【例3－2】

如图所表示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形，BC＝CE，点F为CE中点. (1)证实：AE∥平面BDF.(2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P位置，并加以证实；若不存在，请说明理由.33/45(1)证实连接AC交BD于O，连接OF，如图①.∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC中点，又F为EC中点，∴OF为△ACE中位线，∴OF∥AE，又OF

平面BDF，AE

平面BDF，∴AE∥平面BDF.34/45(2)解当P为AE中点时，有PM⊥BE，证实以下：取BE中点H，连接DP，PH，CH.∵P为AE中点，H为BE中点，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四点共面.35/45∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD

平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE

平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H为BE中点，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM

平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.36/45规律方法

1.求条件探索性问题主要路径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证实；(2)先经过命题成立必要条件探索出命题成立条件，再证实充分性.2.包括点位置探索性问题普通是先依据条件猜测点位置再给出证实，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也能够依据相同知识建点.37/45命题角度3空间位置关系与几何体度量计算【例3－3】

(·天津卷)如图，在四棱锥P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2. (1)求异面直线AP与BC所成角余弦值； (2)求证：PD⊥平面PBC； (3)求直线AB与平面PBC所成角正弦值.38/45(1)解如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成角.因为AD⊥平面PDC，PD

平面PDC，所以AD⊥PD.39/45(2)证实由(1)知AD⊥PD，又因为BC∥AD，所以PD⊥BC.又PD⊥PB，BC∩PB＝B，所以PD⊥平面PBC.(3)解过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成角等于AB与平面PBC所成角.因PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成角.40/45因为AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.41/45规律方法1.本题证实关键是垂直与平行转化，如由AD∥BC，AD⊥PD，得PD⊥BC，进而利用线面垂直判定定理证实PD⊥平面PBC.2.利用综正当求空间线线角、线面角、二面角