高考数学复习第二章函数导数及其应用第4讲函数的奇偶性与周期性配套理

第4讲函数奇偶性与周期性1/34考纲要求考点分布考情风向标1.结合详细函数，了解函数奇偶性含义.2.会利用函数图象了解和研究函数性质年新课标第3题考查函数奇偶性和单调性；年新课标第16题考查函数奇偶性、最值；年纲领第13题考查函数周期性；年新课标Ⅱ第15题考查函数奇偶性与周期性；年新课标Ⅰ第5题考查抽象函数奇偶性；年新课标Ⅰ第13题考查函数奇偶性；年新课标Ⅱ第14题利用函数奇偶性求函数值本节复习时应结合详细实例和函数图象，了解函数奇偶性、周期性、对称性概念，明确它们在研究函数中作用和功效.重点处理综合利用函数性质处理相关问题2/34函数定义等价形式图象性质奇函数对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)f(－x)＋f(x)＝0关于原点对称偶函数对于函数f(x)定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)f(－x)－f(x)＝0关于_____对称1.函数奇偶性y轴3/342.函数周期性

对于函数f(x)，假如存在一个非零常数T，使得定义域内每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数周期.4/341.(年新课标Ⅱ)偶函数

y＝f(x)图象关于直线x＝2对称，f(3)＝3，则f(－1)＝_______.3

解析：因为y＝f(x)图象关于直线x＝2对称，所以f(1)＝f(3)＝3.又因为y＝f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝3.5/342.(年新课标Ⅱ)已知函数

f(x)是定义在R上奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝_______.12

解析：∵f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，且f(x)是R上奇函数，∴f(2)＝－f(－2)＝12.6/34则()3.若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x定义域均为R，

A.f(x)与g(x)均为偶函数

B.f(x)为偶函数，g(x)为奇函数

C.f(x)与g(x)均为奇函数

D.f(x)为奇函数，g(x)为偶函数B解析：∵f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，∴f(x)为偶函数.而g(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数.7/344.设f(x)为定义在R上奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋A2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝( A.－3 C.1

)B.－1D.3

解析：因为f(x)为定义在R上奇函数，所以有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.所以当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，即f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2×1－1)＝－3.8/34A9/34考点1判断函数奇偶性

例1：(1)(年新课标Ⅰ)设函数

f(x)，g(x)定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则以下结论中正确是(

)A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数10/34解析：依题意，得对任意x∈R，都有f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，所以，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－[f(x)g(x)]，f(x)g(x)是奇函数，A错；|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，|f(x)|g(x)是偶函数，B错；f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－[f(x)|g(x)|]，f(x)|g(x)|是奇函数，C正确；|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，|f(x)g(x)|是偶函数，D错.答案：C11/34(2)(年广东)以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数是()答案：A解析：

记f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数.依题可知B，C，D依次是奇函数、偶函数、偶函数.故选A.12/34(3)(年北京)以下函数中为偶函数是()

解析：依据偶函数定义f(－x)＝f(x)，选项A为奇函数，选项B为偶函数，选项C定义域为(0，＋∞)，不含有奇偶性，选项D既不是奇函数，也不是偶函数.故选B.

答案：BA.y＝x2sinxB.y＝x2cosxC.y＝|lnx|D.y＝2－x13/34(4)(年湖南)设函数

f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()

A.奇函数，且在(0,1)上是增函数

B.奇函数，且在(0,1)上是减函数

C.偶函数，且在(0,1)上是增函数

D.偶函数，且在(0,1)上是减函数

解析：f(x)定义域为(－1,1)，关于原点对称.又f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.显然，f(x)在(0,1)上单调递增.故选A.

答案：A14/34(5)以下函数为奇函数是()15/34答案：A16/34

【规律方法】判断函数奇偶性方法：

①定义法：第一步先看函数f(x)定义域是否关于原点对称，若不对称，则为非奇非偶函数.第二步直接或间接利用奇偶函数17/34②图象法：利用奇偶函数图象对称性来判断.分段函数奇偶性判断惯用图象法；

③复合函数奇偶性判断：若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数奇偶性可依据若干个函数奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”；④抽象函数奇偶性判断：应充分利用定义，巧妙赋值，经过合理、灵活变形配凑来判断.18/34【互动探究】1.(年广东肇庆三模)在函数y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝y＝xsinx中，偶函数个数是()A.3个C.1个B.2个D.0个B19/34考点2依据函数奇偶性求参数值(范围)答案：120/34

(2)(年湖南)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.

解析：由题意知，f(x)定义域为R，所以f(－1)＝f(1).从21/34答案：D22/34

【规律方法】已知函数奇偶性，求函数解析式中参数值常惯用待定系数法：先利用f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数恒等式，再利用恒等式性质列方程求解.23/34考点3函数奇偶性与周期性综合应用

例3：(1)(年山东)已知f(x)是定义在R上偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.

解析：由

f(x＋4)＝f(x－2)，得T＝6,f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6.

答案：624/34A.－2B.－1C.0D.225/34所以f(6)＝f(1).又因为当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x).所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.答案：D26/3427/34由①②，得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.答案：－1028/34

【规律方法】本题考查函数奇偶性与周期性，属于基础题.在包括函数求值问题中，可利用周期性f(x)＝f(x＋T)，化函数值自变量到已知区间或相邻区间，若是相邻区间，则再利用奇偶性转化到已知区间上，由函数式求值即可.29/34【互动探究】A2.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f()＝()A.－2B.2C.－98D.98

解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期周期函数.∴f()＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1).又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f()＝－2.30/34

易错、易混、易漏⊙函数对称性质判断例题：定义在R上奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(－x)，当A.减函数，且f(x)<0B.减函数，且f(x)>0C.增函数，且f(x)>0D.增函数，且f(x)<031/34

解析：因为