浙江省嘉兴市2024-2025学年高三上学期9月基础测试数学试题（含答案）

第第页浙江省嘉兴市2024-2025学年高三上学期9月基础测试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U={x∣1<x<9,x∈N},∁A．2∈A B．3∉A C．6∈A D．7∉A2．在复平面内，复数z1对应的点和复数z2=1+2iA．−3+4i B．−3−4i C．5 D．53．已知向量a=1,2,b=A．−2 B．−1 C．0 D．14．嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀､柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线（Catenary）.已知函数fxA．fx为奇函数 B．fxC．fx在−∞,+∞上单调递增5．已知sinα+β=3cosα−βA．−15 B．−5 C．126．已知四面体P−ABC的每条棱长都为2，若球O与它的每条棱都相切，则球O的体积为（）A．26π B．23π C．7．将数字1,2,3,4,5,6,7,8,9随机填入3×3的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（）A．89! B．129! C．249!8．《测圆海镜》是金元之际李冶所著中国古代数学著作，这是中国古代论述容圆的一部专著，也是论述天元术的代表作.天元术与现代数学中列方程的方法基本一致，先立“天元一”为…，相当于“设x为…”，再根据问题的已知条件列出两个相等的多项式，最后通过合并同类项得到方程a0xn+a1xA．3n2+4n2 B．3n2二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．样本数据20,19,17,16,22,24,26的下四分位数是17B．在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10，平均值为9，第二层的样本量为20，平均值为12，则所抽样本的平均值为11C．若随机变量X∼B5,1D．若随机变量X∼N4,σ2σ>010．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别是F1−c,0,FA．QF2+PFC．椭圆C的离心率为53 D．直线QF11．定义在0,+∞上的函数fx满足fx=f3axx2+a，其值域是A．14 B．12 C．3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若(x−1)5=a013．已知直线y=2x−m与圆C:(x−m)2+y2=4交于A,B两点，写出满足“14．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2,AD=AA1=1，点M满足A1M=λA1C1四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15．记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b+c−ab+c+a（1）求A；（2）若D为BC边上一点，∠BAD=3∠CAD,AC=4,AD=3，求sinB16．如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，侧面PCD⊥底面ABCD,PC=PD=5，点E,G分别是DC,DP的中点，点F在棱AB上且AF=3FB.（1）求证：FG∥平面BPE；（2）求直线FG与平面PBC所成的角的正弦值.17．已知函数fx（1）讨论fx（2）若存在x∈1,+∞，使得函数fx参考数据：7.3<e18．已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点Mt,2（1）求抛物线C的方程；（2）设点Ax1,y1,Bx2,y2（其中x1<（i）求证：点N在定直线上；（ii）若△MAB的面积为6，求点A的坐标.19．当n1,n2,⋯,nk∈N∗，且n1<n2<⋯<nk时，我们把an1,an2（1）写出数列b1（2）数列bn（3）记数列bn的3阶和4阶等差子数列个数分别为A,B，求证：A≤2B

答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】U={x∣1<x<9,x∈N}=2,3,4,5,6,7,8又∁UA={4,5,6}，所以所以2∈A，3∈A，6∉A，7∈A，故选：A【分析】本题考查集合的补集运算.先根据集合的定义，求出全集U=2,3,4,5,6,7,8，再根据集合补集的定义可求出集合A，利用元素与集合的关系进行判断可得：2∈A，3∈A，6∉A，7∈A2．【答案】C【解析】【解答】因为复数z1对应的点和复数z所以z1所以z故选：C【分析】本题考查复数的几何意义，复数的乘法运算.根据复数z1对应的点和复数z2=1+2i对应的点关于实轴对称，利用复数的几何意义可求出z3．【答案】B【解析】【解答】由条件可得a因为a+所以−所以λ+μ=−1故选：B

【分析】本题考查平面向量平行的坐标运算.先利用平面向量平行的坐标运算可求出a+c=4．【答案】D【解析】【解答】A，∵f(−x)=a2eC，又∵f'(x)=12ex则在f'(x)在R上单调递增，且则当x>0时，则f'(x)>0，当x<0时，则∴f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为B.则fx≥f0=a，即D，法一：因为f(x)为偶函数，且最小值为a，2a>a>0，并且根据C中f(x)的单调递减区间为(−∞,0)，单调递增区间为(0,+∞)，且所以fx法二：令∵f(x)=2a,∴a2e再结合指数函数性质知方程f(x)=2a有2个实数根，D正确.，故选：D

【分析】本题考查函数的奇偶性，函数的最值，函数的单调性，函数与方程的综合应用.先求出f(−x)，进而可得f(−x)=fx，利用函数的奇偶性可判断A选项；先求出导函数可得f'(x)=12exa−e−xa，利用指数函数的性质可得f'(x)在R上单调递增，进而可推出当x>0时，则f'(x)>05．【答案】C【解析】【解答】因为tanαtanβ=−15，所以sin又sin所以sin所以tanα+tanβ=sin故选：C

【分析】本题考查三角函数的恒等变换.先利用正切的定义可将tanαtanβ=−15化简为sinαsinβ=−156．【答案】B【解析】【解答】将正四面体P−ABC补成一个正方体球O与正四面体的棱都相切．

则球O与正方体的内切球，正方体边长为a，∴故选：B.

【分析】本题考查球的内接几何体问题.先将正四面体P−ABC补成一个正方体球O与正四面体的棱都相切．设正方体边长为a，利用勾股定理可列出方程a27．【答案】A【解析】【解答】符合题意的填写方法有如下8种：

而9个数填入9个格子有9!种方法所以所求概率为P=8故选：A．

【分析】本题考查古典型概率.先根据题意的填写方法的种数，据此可得9个数填入9个格子有9!种方法，利用古典型概率计算公式写出计算式子可求出答案.8．【答案】D【解析】【解答】令Tn当n≥1时，2T两式相减可得Tn−2当n=0时，T0=a所以f1故选：D.

【分析】本题考查数列求和.令Tn=f2，进而可得：Tn=f2=a09．【答案】A,B,D【解析】【解答】A.从小到大排序得：16，17，19，20，22，24，26，由7×25%B，10×9+20×1230C，由二项分布可得：PX=2D，由正态分布的对称性可得：Px>6故选：ABD

【分析】本题考查百分位数的定义，加权平均数，二项分布，正态分布.先求出数的位置为：7×25%=74=1.75，进而可求出下四分位数，据此可判断A选项；利用加权平均数的定义可列出式子10×9+20×1210．【答案】A,C,D【解析】【解答】A，由椭圆的定义可得，PF1+PF2=2aB，如图，连接QF1，PF1，设QF因为PF1+所以PF1=2a−2x因为F1F2为圆的直径，所以∠F1即2a−2x2+3x所以S△PQC，在Rt△PF1F2所以PF12解得；e2=cD，在Rt△PF在Rt△PF所以tan∠所以直线QF1的斜率为故选：ACD

【分析】本题考查椭圆的定义，椭圆的简单几何性质.利用椭圆的定义可得PF1+PF2=2a，QF1+QF2=2a，利用线段的运算可得QF2+PF1=QF1，据此可判断A选项；设11．【答案】A,B,C,D【解析】【解答】因为y∣y=fx,x∈0,1=M，设当x∈1,+A.当a=14时，fx=f3x4xB.当a=12时，fx=f3xtxC和D.当a=34或a=1时，对x∈[0,1],设即对于x∈故f(x)=f(y)∈M，而对于z∈3故存在x∈0,32故f(z)∈M，C正确.D正确.故选：ABCD

【分析】本题考查函数的定义域和值域.当a=14时，再结合x∈1,+∞，通过计算可得：tx=34x+1x∈0,35⊆0,1，据此可判断A选项；当a=12时，再结合12．【答案】−10【解析】【解答】(x−1)5的展开式通项是：C依题意得，5−k=2，即k=3，所以a2故答案为：−10

【分析】本题考查二项式的通项.利用二项式的通项可得：(x−1)5的展开式通项是：C5kx5−k13．【答案】−5或5【解析】【解答】圆心为C(m,0)，C到直线y=2x−m的距离为d=2m−0−m又AB=23，圆半径为2，则m2故答案为：5或−5．【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先利用点到直线的距离公式进行计算可得圆心为C(m,0)，C到直线y=2x−m的距离为d=2m−0−m5=14．【答案】2−【解析】【解答】作MN⊥AC，垂足N，则MN⊥底面ABC，再作NE⊥AB,NF⊥BC，垂足分别为E,F，则α=∠MEN,β=∠MFN，又正方体中AB=2,AD=AA设NE=x，0≤x≤1，则当x=0，易知α=π2，tanβ=12，此时当x=1，易知β=π2，tanα=1，此时α+β=3π当x≠0且x≠1时，tanα=1所以tanα+β设t=2−x∈1,2，则tan当且仅当t=102，即x=2−10t=1时tan(α+β)=−1，t=2时tan且t∈[1,102)时tan(α+β)递减，综上，tan(α+β)<0恒成立，即π所以当x=2−102时，α+β取到最小，此时综上可知当x=2−102时，故答案为：2−10【分析】本题考查二面角的定义，利用基本不等式求最值.作MN⊥AC，垂足N，则MN⊥底面ABC，再作NE⊥AB,NF⊥BC，垂足分别为E,F，则α=∠MEN,β=∠MFN，设NE=x，0≤x≤1，则NF=21−x，分三种情况：当x=0，当x=1；可依次求出λ的值，当x≠0且x≠1时，利用正切的定义可得tanα=1x,tanβ=121−x，利用两角和的正切公式可得：tanα+β=2−x−2x2+2x−1，设15．【答案】（1）因为b+c−ab+c+a=(b+c)所以cosA=b因为0<A<π，所以A=2π​​​​​​（2）法①：由（1）得，A=2π3，因为∠BAD=3∠CAD，所以如图在△ACD中，由余弦定理C=3+16−23×4×3在△ACD中由正弦定理CDsin∠DAC=ADsinC，即因为0<C<π3，故在△ABC中sinB=sinA+C法②：同解法①CD=7，在△ACD中由正弦定理CD即712=又因为∠ADC=∠BAD+∠B=B+π2，即cosB+法③同上CD=7，在直角△ABD中BD=c2由（1）问知a2=b2+c2+bc，所以c2+3+法④如图由（1）知A=2π3，则因为S△ABC12×4csin2π3=12×3在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，即【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.（1）将式子b+c−ab+c+a=bc.利用平方差公式进行展开化简可得；b2（2）法①：根据∠BAD=3∠CAD，可求出∠CAD=π6，利用余弦定理可列出方程CD2=AD2+AC2−2AD⋅ACcos∠DAC，据此可求出CD=7，利用正弦定理可列出方程CDsin∠DAC=ADsinC，通过化简可求出sinC=327，进而可求出cosC，再根据sinB=sinA+C，利用两角和的正弦公式进行展开可求出答案；

法②：由法①得CD=7，在△ACD中利用正弦定理可列出式子CDsin∠DAC=ACsin∠ADC，化简后可求出sin∠ADC=27，进而可求出cos∠ADC，再根据∠ADC=B+π2，利用诱导公式可求出BD=7，利用正弦的定义可求出sinB=217；

法③：由法①得CD=7（1）b+c−ab+c+a=(b+c)所以cosA=b因为0<A<π，所以A=2π（2）法①：由（1）得，A=2π3，因为∠BAD=3∠CAD，所以如图在△ACD中，由余弦定理C=3+16−23×4×3在△ACD中由正弦定理CDsin∠DAC=ADsinC，即因为0<C<π3，故在△ABC中sinB=sinA+C法②：同解法①CD=7，在△ACD中由正弦定理CD即712=又因为∠ADC=∠BAD+∠B=B+π2，即cosB+法③同上CD=7，在直角△ABD中BD=c2由（1）问知a2=b2+c2+bc，所以c2+3+法④如图由（1）知A=2π3，则因为S△ABC12×4csin2π3=12×3在△ABC中，由正弦定理asinA=bsinB，即16．【答案】（1）解法一：取PE的中点H，连接GH,BH，因为点G是DP的中点，

所以GH∥DE，且GH=1正方形中，点E是CD的中点，AF=3FB，所以BF=14AB=所以GH∥BF，且GH=BF，所以四边形BHGF是平行四边形，所以GF∥BH，又GF⊄平面BPE,BH⊂平面BPE，所以FG∥平面BPE.解法二：PC=PD=5，点E是DC的中点，所以PE⊥CD，又侧面PCD⊥底面ABCD，侧面PCD∩底面ABCD=CD,PE⊆平面PCD，所以PE⊥平面ABCD，如图以点E为坐标原点，直线EC,EP为y轴和z轴建立空间直角坐标系，则E所以G0,−3设平面BPE的一个法向量为m=x,y,z，则取y=2得x=−1,z=0，所以n=−1,2,0，所以FG⋅n=−1×−6+2×−3=0，即FG⊥（2）解法一：过点H作HK⊥PC，垂足为K，连接BK，由题意知BC⊥DC，又侧面PCD⊥底面ABCD，侧面PCD∩底面ABCD=DC,BC⊆平面ABCD，所以BC⊥底面PCD，又HK⊆平面PCD，所以BC⊥HK，又BC∩PC=C,BC,PC⊆平面PBC，所以HK⊥底面PBC，所以∠HBK为直线BH与平面PBC所成的角，记直线FG与平面PBC所成的角为θ，由（1）知GF∥BH，所以θ=∠HBK，又由题意知，EH=PH=12PE=2又BE=BC2所以sinθ=sin∠HBK=HK所以直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为635解法二：由（1）知FG设n=x,y,z是平面PBC的一个法向量，则取z=3得x=0,y=4，所以n=所以cos<n设直线FG与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=cos<所以直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为635​​​​​​【解析】【分析】本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角.（1）解法一：取PE的中点H，连接GH,BH，证明四边形BHGF是平行四边形，利用平行四边形的性质可得GF∥BH，利用直线与平面平行的判定定理可证明结论；解法二：利用直线与平面垂直的判定定理可证明PE⊥平面ABCD，以点E为坐标原点，直线EC,EP为y轴和z轴建立空间直角坐标系，求出FG=−6,−3,2,EP=0,0,4,（2）解法一：过点H作HK⊥PC，垂足为K，连接BK，利用直线与平面垂直的定义可证明HK⊥底面PBC，利用直线与平面所成角的定义可得∠HBK为直线BH与平面PBC所成的角，记直线FG与平面PBC所成的角为θ，利用正弦的定义可求出HK，利用勾股定理可求出BE和BH，利用正弦的定义可得：sinθ=sin∠HBK=HK解法二：利用空间向量的定义可得FG=−6,−3,2,BP=−6,−3,4,BC=−6,0,0，设n=（1）解法一：取PE的中点H，连接GH,BH，因为点G是DP的中点，所以GH∥DE，且GH=1正方形中，点E是CD的中点，AF=3FB，所以BF=14AB=所以GH∥BF，且GH=BF，所以四边形BHGF是平行四边形，所以GF∥BH，又GF⊄平面BPE,BH⊂平面BPE，所以FG∥平面BPE.解法二：PC=PD=5，点E是DC的中点，所以PE⊥CD，又侧面PCD⊥底面ABCD，侧面PCD∩底面ABCD=CD,PE⊆平面PCD，所以PE⊥平面ABCD，如图以点E为坐标原点，直线EC,EP为y轴和z轴建立空间直角坐标系，则E所以G0,−3设平面BPE的一个法向量为m=x,y,z，则取y=2得x=−1,z=0，所以n=−1,2,0，所以FG⋅n=−1×−6+2×−3=0，即FG⊥（2）解法一：过点H作HK⊥PC，垂足为K，连接BK，由题意知BC⊥DC，又侧面PCD⊥底面ABCD，侧面PCD∩底面ABCD=DC,BC⊆平面ABCD，所以BC⊥底面PCD，又HK⊆平面PCD，所以BC⊥HK，又BC∩PC=C,BC,PC⊆平面PBC，所以HK⊥底面PBC，所以∠HBK为直线BH与平面PBC所成的角，记直线FG与平面PBC所成的角为θ，由（1）知GF∥BH，所以θ=∠HBK，又由题意知，EH=PH=12PE=2又BE=BC2所以sinθ=sin∠HBK=HK所以直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为635解法二：由（1）知FG设n=x,y,z是平面PBC的一个法向量，则取z=3得x=0,y=4，所以n=所以cos<n设直线FG与平面PBC所成的角为θ，则sinθ=cos<所以直线FG与平面PBC所成的角的正弦值为63517．【答案】（1）函数fx=2x−alnx的定义域为0,+当a≤0时，f'x=2−ax>0，所以当a>0时，令f'x=2−ax<0，又x>0，解得令f'x=2−ax>0，解得综上所述，当a≤0时，fx在0,+当a>0时，fx在0,a2（2）方法一：由fx≤gx得2x−alnx≤−因为x∈1,+∞，所以a≥x记函数rx=x记px=2x+3lnx−所以函数px=2x+3又pe因为27=128,所以存在x0∈2,e，使得px0所以当x∈0,x0时，r'x所以r(x)所以a≥r(x)方法二：存在x∈1,+∞，使得函数⇔存在x∈1,+∞，使得函数记ℎx=alnx−x当a≤5时，ℎ'x≤0，所以ℎ当a>5时，存在x0∈1,+所以ℎx在区间1,x0所以ℎx所以ℎ'x0又ℎ2=14ln2−10=2ln2所以a=2x【解析】【分析】本题考查利用导函数研究函数的单调性，函数的恒成立问题.（1）先求函数的定义域可得：函数fx=2x−alnx的定义域为0,+∞，再求出导函数可得：f'x=2−ax，分两种情况：当（2）法一：先进行参变量分离可得：a≥x2+3xlnx，将问题转化为最值问题可得：a≥x2+3xlnxmin，构造函数rx=x2+3xlnxx>1，求导可得：r'x=法二：通过变形可将问题转化为：存在x∈1,+∞，使得函数alnx−x2−3x≥0成立，构造函数ℎx=alnx−x2−3xx≥1，求导可得：ℎ'x=a−2（1）函数fx=2x−alnx的定义域为0,+当a≤0时，f'x=2−ax>0，所以当a>0时，令f'x=2−ax<0，又x>0，解得令f'x=2−ax>0，解得综上所述，当a≤0时，fx在0,+当a>0时，fx在0,a2（2）方法一：由fx≤gx得2x−alnx≤−因为x∈1,+∞，所以a≥x记函数rx=x记px=2x+3lnx−所以函数px=2x+3又pe因为27=128,所以存在x0∈2,e，使得px0所以当x∈0,x0时，r'x所以r(x)所以a≥r(x)方法二：存在x∈1,+∞，使得函数⇔存在x∈1,+∞，使得函数记ℎx=alnx−x当a≤5时，ℎ'x≤0，所以ℎ当a>5时，存在x0∈1,+所以ℎx在区间1,x0所以ℎx所以ℎ'x0又ℎ2=14ln2−10=2ln2所以a=2x18．【答案】（1）因为MF=2，由抛物线的定义得t+p2=2，又因此2p+p2=2，即p​​​​​（2）（i）由（1）知点M的坐标为M1,2，因为∠AMB的角平分线与x所以可知MA,MB的倾斜角互补，即MA,MB的斜率互为相反数，kMA同理kMB=4化简得y1+y所以点N在定直线y=−2上.（ii）kAB=y即x+y−线段AB的长度：AB=2y1−y2可得△MAB的面积为S△MAB因为y1+yS△MAB令t=y1+2∈0,4，则解得t=2或t=−1±13由t=y1+2∈0,4知t=2或t=−1+所求点A的坐标为A0,0，或者A【解析】【分析】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系.（1）根据MF=2，利用焦半径公式计算可得：t+p2=2，再再根据点M在抛物线上可得：2pt=4，据此可列出方程（2）（i）根据题意利用斜率公式计算可得：kMA=4y1+2，kMB=4y2+2，再根据（ii）写出AB直线方程为：x+y−y1−y124=0，利用点到线的距离公式可求出点M1,2到直线AB的距离d=（1）因为MF=2，由抛物线的定义得t+p2=2，又因此2p+p2=2，即p（2）（i）由（1）知点M的坐标为M1,2，因为∠AMB的角平分线与x所以可知MA,MB的倾斜角互补，即MA,MB的斜率互为相反数，kM